2020高中数学 课时分层作业13 抛物线的简单几何性质 新人教A版选修2-1

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2020高中数学 课时分层作业13 抛物线的简单几何性质 新人教A版选修2-1

课时分层作业(十三)  抛物线的简单几何性质 ‎(建议用时:40分钟)‎ ‎[基础达标练]‎ 一、选择题 ‎1.方程y=-2所表示曲线的形状是(  )‎ D [方程y=-2等价于故选D.]‎ ‎2.过抛物线C:y2=12x的焦点作直线l交C于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,若x1+x2=6,则|AB|=(  )‎ A.16  B.‎12 ‎  C.10   D.8‎ B [由题意知p=6,故|AB|=x1+x2+p=12.]‎ ‎3.过点(2,4)的直线与抛物线y2=8x只有一个公共点,这样的直线有(  ) ‎ ‎【导学号:46342115】‎ A.1条 B.2条 C.3条 D.4条 B [点(2,4)在抛物线y2=8x上,则过该点与抛物线相切的直线和过该点与x轴平行的直线都与抛物线只有一个公共点,故选B.]‎ ‎4.已知抛物线y2=2px(p>0),过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A,B两点,若线段AB的中点的纵坐标为2,则该抛物线的准线方程为 (  )‎ A.x=1 B.x=-1‎ C.x=2 D.x=-2‎ B [易知抛物线的焦点为F,所以过焦点且斜率为1的直线的方程为y=x-,即x=y+,代入y2=2px得y2=2p=2py+p2,即y2-2py-p2=0,由根与系数的关系得=p=2(y1,y2分别为点A,B的纵坐标),所以抛物线的方程为y2=4x,准线方程为x=-1.]‎ ‎5.设抛物线y2=8x的焦点为F,准线为l,P为抛物线上一点,PA⊥l,A为垂足,如果直线AF的斜率为-,那么|PF|=(  )‎ A.4 B.‎8 C.8 D.16‎ B [设P(x0,y0),则A(-2,y0),又F(2,0)‎ 5‎ 所以=-,即y0=4.‎ 由y=8x0得8x0=48,所以x0=6.‎ 从而|PF|=6+2=8.]‎ 二、填空题 ‎6.直线y=kx+2与抛物线y2=8x有且只有一个公共点,则k=________.‎ ‎0或1 [当k=0时,直线与抛物线有唯一交点,当k≠0时,联立方程消去y得k2x2+4(k-2)x+4=0,由题意Δ=16(k-2)2-16k2=0,∴k=1.]‎ ‎7.2017设抛物线y2=4x的焦点为F,准线为l.已知点C在l上,以C为圆心的圆与y轴的正半轴相切于点A.若∠FAC=120°,则圆的方程为________________.‎ ‎(x+1)2+(y-)2=1 [由y2=4x可得点F的坐标为(1,0),准线l的方程为x=-1.‎ 由圆心C在l上,且圆C与y轴正半轴相切(如图),可得点C的横坐标为-1,圆的半径为1,∠CAO=90°.又因为∠FAC=120°,所以∠OAF=30°,所以|OA|=,所以点C的纵坐标为.‎ 所以圆的方程为(x+1)2+(y-)2=1.]‎ ‎8.抛物线y2=4x上的点到直线x-y+4=0的最小距离为________. ‎ ‎【导学号:46342116】‎  [设与直线x-y+4=0平行且与抛物线y2=4x相切的直线方程为x-y+m=0.‎ 由得x2+(‎2m-4)x+m2=0‎ 则Δ=(‎2m-4)2-‎4m2‎=0,解得m=1‎ 即直线方程为x-y+1=0‎ 直线x-y+4=0与直线x-y+1=0的距离为d==.‎ 即抛物线y2=4x上的点到直线x-y+4=0的最小距离为.]‎ 三、解答题 ‎9.已知抛物线C的顶点在原点,焦点在x轴上,且抛物线上有一点P(4,m)到焦点的距离为6.‎ ‎(1)求抛物线C的方程.‎ ‎(2)若抛物线C与直线y=kx-2相交于不同的两点A,B,且AB中点横坐标为2,求k的值.‎ ‎[解] (1)由题意设抛物线方程为y2=2px,其准线方程为x=-,因为P(4,m 5‎ ‎)到焦点的距离等于P到其准线的距离,所以4+=6,所以p=4,所以抛物线C的方程为y2=8x.‎ ‎(2)由消去y,得k2x2-(4k+8)x+4=0.‎ 因为直线y=kx-2与抛物线相交于不同的两点A,B,则有k≠0,Δ=64(k+1)>0,‎ 解得k>-1且k≠0.‎ 又==2,‎ 解得k=2或k=-1(舍去),所以k的值为2.‎ ‎10.已知AB是抛物线y2=2px(p>0)的过焦点F的一条弦.设A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中点为M(x0,y0).求证:‎ ‎(1)若AB的倾斜角为θ,则|AB|=;‎ ‎(2)x1x2=,y1y2=-p2;‎ ‎(3)+为定值. ‎ ‎【导学号:46342117】‎ ‎[证明] (1)设直线AB的方程为x=my+,代入y2=2px,可得y2-2pmy-p2=0,‎ y1y2=-p2,y1+y2=2pm,‎ ‎∴y+y=2p(x1+x2)=(y1+y2)2-2y1y2=4p‎2m2‎+2p2,∴x1+x2=2pm2+p,‎ ‎∴θ=90°时,m=0,x1+x2=p,∴|AB|=x1+x2+p=2p=;‎ θ≠90°时,m=,x1+x2=+p,∴|AB|=x1+x2+p=+2p=.‎ ‎∴|AB|=.‎ ‎(2)由(1)知,y1y2=-p2,∴x1x2==;‎ ‎(3)+=+===.‎ ‎[能力提升练]‎ ‎1.已知抛物线x2=2py(p>0)的焦点为F,过F作倾斜角为30°的直线与抛物线交于A,B两点,若∈(0,1),则=(  )‎ A. B. ‎ C. D. 5‎ C [因为抛物线的焦点为F,故过点F且倾斜角为30°的直线的方程为y=x+,与抛物线方程联立得x2-px-p2=0,解方程得xA=-p,xB=p,所以==,故选C.]‎ ‎2.过抛物线C:y2=4x的焦点F,且斜率为的直线交C于点M(M在x轴的上方),l为C的准线,点N在l上,且MN⊥l,则M到直线NF的距离为(  )‎ A. B.2 ‎ C.2 D.3 C [抛物线y2=4x的焦点为F(1,0),准线方程为x=-1.由直线方程的点斜式可得直线MF的方程为y=(x-1).‎ 联立得方程组 解得或 ‎∵点M在x轴的上方,‎ ‎∴M(3,2).‎ ‎∵MN⊥l,‎ ‎∴N(-1,2).‎ ‎∴|NF|==4,‎ ‎|MF|=|MN|==4.‎ ‎∴△MNF是边长为4的等边三角形.‎ ‎∴点M到直线NF的距离为2.‎ 故选C.]‎ ‎3.已知点A(2,0),B(4,0),动点P在抛物线y2=-4x上运动,则·取得最小值时的点P的坐标是________.‎ ‎(0,0) [设P(x0,y0),则=(x0-2,y0),‎ =(x0-4,y0),‎ 所以·=(x0-2)(x0-4)+y,又y=-4x0,‎ 5‎ 所以·=x-10x0+8=(x0-5)2-17,‎ 因为x0≤0,所以当x0=0时,·取得最小值.‎ 此时点P的坐标为(0,0).]‎ ‎4.已知抛物线y2=4x,过点P(4,0)的直线与抛物线相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,则y+y的最小值是________. ‎ ‎【导学号:46342118】‎ ‎32 [y=4x1,y=4x2,则y+y=4(x1+x2)‎ 若过点P(4,0)的直线垂直于x轴,则直线方程为x=4,‎ 此时x1+x2=8,y+y=32,‎ 若过点P(4,0)的直线存在斜率,则设直线方程为y=k(x-4),由得k2x2-(8k2+4)x+16k2=0,‎ 则x1+x2=8+>8,此时y+y>32‎ 因此y+y的最小值为32.]‎ ‎5.已知点A,B是抛物线y2=2px(p>0)上的两点,且OA⊥OB.‎ ‎(1)求两点的横坐标之积和纵坐标之积.‎ ‎(2)求证:直线AB过定点.‎ ‎[解] (1)设点A,B的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则有kOA=,kOB=.‎ 因为OA⊥OB,所以kOA·kOB=-1,所以x1x2+y1y2=0.‎ 因为y=2px1,y=2px2,所以·+y1y2=0.‎ 因为y1≠0,y2≠0,所以y1y2=-4p2,所以x1x2=4p2.‎ ‎(2)证明:因为y=2px1,y=2px2,两式相减得(y1-y2)(y1+y2)=2p(x1-x2),‎ 所以=,所以kAB=,故直线AB的方程为y-y1=(x-x1),‎ 所以y=+y1-,‎ 即y=+.‎ 因为y=2px1,y1y2=-4p2,代入整理得y=+,‎ 所以y=(x-2p),‎ 即直线AB过定点(2p,0).‎ 5‎
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