2020版高中数学 模块精选综合测试1 新人教B版必修5
1
模块精选综合测试(一)
(时间 120 分钟，满分 150 分)
一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的)
1.若 a<1，b>1，那么下列命题中正确的是( )
A.
1
a>
1
b B.
b
a>1
C.a2
0，dS4>0 B.a1d<0，dS4<0
C.a1d>0，dS4<0 D.a1d<0，dS4>0
【解析】 ∵a3，a4，a8 成等比数列，∴a24＝a3a8，∴(a1＋3d)2＝(a1＋2d)(a1＋7d)，展
开整理，得－3a1d＝5d2，即 a1d＝－
5
3d2.∵d≠0，∴a1d<0.∵Sn＝na1＋
nn－1
2 d，∴S4＝4a1
＋6d，dS4＝4a1d＋6d2＝－
2
3d2<0.
【答案】 B
9.已知数列{an}满足 a1＝1，an＋1＝an＋2n，则 a10 等于( )
A.1 024 B.1 023 C.2 048 D.2 046
【解析】 a1＝1，a2－a1＝2，a3－a2＝22，a4－a3＝23，…，a10－a9＝29，
上面各式相加，得 a10＝1＋2＋22＋…＋29＝
1－210
1－2 ＝210－1＝1 023，故选 B.
【答案】 B
10.设 x，y∈R，a＞1，b＞1.若 ax＝by＝3，a＋b＝2 3，则
1
x＋
1
y的最大值为( )
A.2 B.
3
2 C.1 D.
1
2
【解析】 ∵2 3＝a＋b≥2 ab，∴ab≤3.
由 ax＝by＝3 得 x＝loga3，y＝logb3，
∴
1
x＋
1
y＝
1
loga3＋
1
logb3＝log3a＋log3b＝log3ab≤log33＝1.故选 C.
【答案】 C
11.△ABC 的内角 A，B，C 所
对的边分别为 a，b，c，若∠B＝2∠A，a＝1，b＝ 3，则 c＝( )
A.2 3 B.2 C. 2 D.1
【解析】 由正弦定理得：
a
sin A＝
b
sin B，
∵∠B＝2∠A，a＝1，b＝ 3，
4
∴
1
sin A＝
3
2sin Acos A.
∵A 为三角形的内角，∴sin A≠0.
∴cos A＝
3
2 .
又 0＜∠A＜π，∴∠A＝
π
6 ，∴∠B＝2∠A＝
π
3 .
∴∠C＝π－∠A－∠B＝
π
2 ，∴△ABC 为直角三角形.
由勾股定理得 c＝ 12＋ 32＝2.
【答案】 B
12.一个等比数列前三项的积为 2，最后三项的积为 4，且所有项的积为 64，则该数列
有( )
A.13 项 B.12 项 C.11 项 D.10 项
【解析】 设该数列的前三项分别为 a1，a1q，a1q2，后三项分别为 a1qn－3，a1qn－2，a1qn
－1.所以前三项之积 a31q3＝2，后三项之积 a31q3n－6＝4，两式相乘，得 a61q3(n－1)＝8，即 a21qn－
1＝2.又 a1·a1q·a1q2·…·a1qn－1＝64，所以 an1·q
nn－1
2 ＝64，即(a21qn－1)n＝642，即
2n＝642，所以 n＝12.
【答案】 B
二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，将答案填在题中的横线上)
13.在△ABC 中，BC＝2，∠B＝
π
3 ，当△ABC 的面积等于
3
2 时，sin C＝________.
【导学号：18082143】
【解析】 由三角形的面积公式，得 S＝
1
2AB·BCsin
π
3 ＝
3
2 ，易求得 AB＝1，由余弦
定理，得 AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos
π
3 ，得 AC＝ 3，再由三角形的面积公式，得 S＝
1
2
AC·BCsin C＝
3
2 ，即可得出 sin C＝
1
2.
【答案】
1
2
14.若变量 x，y 满足约束条件Error!则 3x＋y 的最大值是________.
【解析】 画出可行域，如图阴影部分所示，设 z＝3x＋y，则 y＝－3x＋z，平移直线 y
＝－3x 知当直线 y＝－3x＋z 过点 A 时，z 取得最大值.
由Error!可得 A(3,1).
故 zmax＝3×3＋1＝10.
5
【答案】 10
15.国家为了加强对烟酒生产的宏观管理，实行征收附加税政策.现知某种酒每瓶 70 元，
不加附加税时，每年大约产销 100 万瓶，若政府征收附加税，每销售 100 元要征税 k 元(叫
做税率 k%)，则每年的产销量将减少 10k 万瓶.要使每年在此项经营中所收取附加税金不少
于 112 万元，则 k 的取值范围为________.
【解析】 设产销量为每年 x 万瓶，则销售收入每年 70x 万元，从中征收的税金为
70x·k%万元，其中 x＝100－10k.由题意，得 70(100－10k)k%≥112，整理得 k2－10k＋16≤0，
解得 2≤k≤8.
【答案】 [2,8]
16.设数列{an}的前 n 项和为 Sn.若 S2＝4，an＋1＝2Sn＋1，n∈N＋，则 a1＝________，S5
＝________.
【解析】 ∵an＋1＝2Sn＋1，
∴Sn＋1－Sn＝2Sn＋1，
∴Sn＋1＝3Sn＋1，
∴Sn＋1＋
1
2＝3(Sn＋
1
2)，
∴数列{Sn＋
1
2}是公比为 3 的等比数列，
∴
S2＋
1
2
S1＋
1
2
＝3.
又 S2＝4，∴S1＝1，∴a1＝1，
∴S5＋
1
2＝(S1＋
1
2)×34＝
3
2×34＝
243
2 ，
∴S5＝121.
【答案】 1 121
三、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分 10 分)在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 m＝(a2＋c2－
b2，－ 3a)，n＝(tan B，c)，且 m⊥n，求∠B 的值.
6
【解】 由 m⊥n 得
(a2＋c2－b2)·tan B－ 3a·c＝0，
即(a2＋c2－b2)tan B＝ 3ac，得 a2＋c2－b2＝
3ac
tan B，
所以 cos B＝
a2＋c2－b2
2ac ＝
3
2tan B，
即 tan Bcos B＝
3
2 ，即 sin B＝
3
2 ，
所以∠B＝
π
3 或∠B＝
2π
3 .
18.(本小题满分 12 分)在等差数列{an}中，S9＝－36，S13＝－104，在等比数列{bn}中，
b5＝a5，b7＝a7, 求 b6.
【解】 ∵S9＝－36＝9a5，∴a5＝－4，
∵S13＝－104＝13a7，∴a7＝－8.
∴b26＝b5·b7＝a5 ·a7＝32.
∴b6＝±4 2.
19.(本小题满分 12 分)已知数列{log2(an－1)}为等差数列，且 a1＝3，a3＝9.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求数列{an}的前 n 项和 Sn.
【解】 (1)设等差数列{log2(an－1)}的公差为 d.由 a1＝3，a3＝9，得 2(log22＋d)＝
log22＋log28，解得 d＝1，∴log2(an－1)＝1＋(n－1)×1＝n，∴an＝2n＋1.
(2)∵an＝2n＋1，∴Sn＝a1＋a2＋…＋an＝(2＋1)＋(22＋1)＋…＋(2n＋1)＝(2＋22＋…
＋2n)＋n＝
21－2n
1－2 ＋n＝2n＋1＋n－2.
20.(本小题满分 12 分)解关于 x 的不等式 ax2－2≥2x－ax(a∈R).
【导学号：18082144】
【解】 原不等式可化为
ax2＋(a－2)x－2≥0⇒(ax－2)(x＋1)≥0.
(1)当 a＝0 时，原不等式化为 x＋1≤0⇒x≤－1；
(2)当 a>0 时，原不等式化为(x－
2
a )(x＋1)≥0⇒x≥
2
a或 x≤－1；
(3)当 a<0 时，原不等式化为(x－
2
a )(x＋1)≤0.
①当
2
a>－1，即 a<－2 时，原不等式等价于－1≤x≤
2
a；
②当
2
a＝－1，即 a＝－2 时，原不等式等价于 x＝－1；
7
③当
2
a<－1，即－20 时，原不等式的解集为(－∞，－1]∪[2
a，＋∞).
21.(本小题满分 12 分)如图 1，在扇形 AOB 中，圆心角等于 60°，半径为 2，在弧 AB
上有一动点 P(不与点 A，B 重合)，过点 P 引平行于 OB 的直线和 OA 交于点 C，设∠AOP＝θ，
求△POC 的面积的最大值及此时 θ 的值.
图 1
【解】 ∵CP∥OB，∴∠CPO＝∠POB＝60°－θ，∠OCP＝120°.
在△POC 中，由正弦定理得：
OP
sin∠PCO＝
CP
sin θ，即
2
sin 120°＝
CP
sin θ，∴CP＝
4
3sin θ.
又∵
OC
sin60°－θ＝
2
sin 120°，∴OC＝
4
3sin(60°－θ).
∴△POC 的面积为 S△POC＝
1
2CP·OCsin 120°
＝
1
2×
4
3sin θ·
4
3sin(60°－θ)×
3
2
＝
4
3sin θsin(60°－θ)＝
4
3sin θ( 3
2 cos θ－
1
2sin θ)
＝
2
3sin(2θ＋30°)－
3
3 ，θ∈(0°，60°).
∴当 θ＝30°时，△POC 的面积取得最大值
3
3 .
22.(本小题满分 12 分)某厂用甲、乙两种原料生产 A，B 两种产品，制造 1 t A,1 t B 产
品需要的各种原料数、可得到利润以及工厂现有各种原料数如下表：
原料 每种产品所需原料(t) 现有原料数(t)
8
A B
甲 2 1 14
乙 1 3 18
利润(万元/t) 5 3 —
(1)在现有原料条件下，生产 A，B 两种产品各多少时，才能使利润最大？
(2)每吨 B 产品的利润在什么范围变化时，原最优解不变？当超出这个范围时，最优解
有何变化？
【解】 (1)生产 A，B 两种产品分别为 x t，y t，则利润 z＝5x＋
3y，x，y 满足Error!
作出可行域如图：
当直线 5x＋3y＝z 过点 B (24
5 ，
22
5 )时，z 取最大值 37
1
5，即生产 A
产品
24
5 t，B 产品
22
5 t 时，可得最大利润.
(2)设每吨 B 产品利润为 m 万元，则目标函数是 z＝5x＋my，直线斜率 k＝－
5
m，
又 kAB＝－2，kCB＝－
1
3，要使最优解仍为 B 点，
则－2≤－
5
m≤－
1
3，解得
5
2≤m≤15，
则 B 产品的利润在
5
2万元/t 与 15 万元/t 之间时，原最优解仍为生产 A 产品
24
5 t，B 产品
22
5 t，若 B 产品的利润超过 15 万元/t，则最优解为 C(0,6)，即只生产 B 产品 6 t，若 B 产品
利润低于
5
2万元/t，则最优解为 A(7,0)，即只生产 A 产品 7 t.
