【数学】2020届一轮复习新课改省份专用版4-7正弦定理和余弦定理作业

【数学】2020届一轮复习新课改省份专用版4-7正弦定理和余弦定理作业

课时跟踪检测(二十七)　正弦定理和余弦定理 一、题点全面练 ‎1．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若＝，则B的大小为(　　)‎ A．30°　　　　　　　　 B．45°‎ C．60° D．90°‎ 解析：选B　由正弦定理知，＝，‎ ‎∴sin B＝cos B，∴B＝45°.‎ ‎2．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A＝，＝2sin Asin B，且b＝6，则c＝(　　)‎ A．2 B．3‎ C．4 D．6‎ 解析：选C　由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bc×＝b2＋c2－bc，又＝2sin Asin B，由正弦定理可得＝，即a2＋b2－4c2＝0，则b2＋c2－bc＋b2－4c2＝0.‎ 又b＝6，∴c2＋2c－24＝0，解得c＝4(负值舍去)，故选C.‎ ‎3．(2019·安徽江南十校联考)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且b2＝ac，a2＋bc＝c2＋ac，则的值为(　　)‎ A. B. C．2 D. 解析：选D　由b2＝ac，a2＋bc＝c2＋ac，得b2＋c2－a2＝bc，∴cos A＝＝，则sin A＝.‎ 由b2＝ac，得sin2B＝sin Asin C，∴＝，‎ ‎∴＝＝＝.‎ ‎4．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若＝，(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc，则△ABC的形状为(　　)‎ A．直角三角形 B．等腰非等边三角形 C．等边三角形 D．钝角三角形 解析：选C　∵＝，‎ ‎∴＝，∴b＝c.‎ 又(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc，‎ ‎∴b2＋c2－a2＝bc，∴cos A＝＝＝.‎ ‎∵A∈(0，π)，∴A＝，∴△ABC是等边三角形．‎ ‎5．(2019·四平质检)在△ABC中，已知a，b，c分别为角A，B，C的对边且∠A＝60°，若S△ABC＝且2sin B＝3sin C，则△ABC的周长等于(　　)‎ A．5＋ B．12‎ C．10＋ D．5＋2 解析：选A　在△ABC中，∠A＝60°.∵2sin B＝3sin C，∴由正弦定理可得2b＝3c，再由S△ABC＝＝bc·sin A，可得bc＝6，∴b＝3，c＝2.由余弦定理可得a2＝b2＋c2－2bc·cos A＝7，∴a＝，故△ABC的周长为a＋b＋c＝5＋，故选A.‎ ‎6．(2019·太原模拟)在△ABC中，AB＝2，AC＝3，∠BAC＝90°，点D在AB上，点E在CD上，且∠ACB＝∠DBE＝∠DEB，则CD＝________.‎ 解析：设BD＝x，过点E作EF⊥AB于点F，设∠ACB＝∠DBE＝∠DEB＝θ，则∠EDF＝2θ，DE＝x，∵tan θ＝，∴tan 2θ＝，∴在Rt△EFD中，EF＝xsin 2θ，DF＝xcos 2θ，∵＝，∴＝，∴tan 2θ＝＝，解得x＝，∴AD＝，∴CD＝.‎ 答案： ‎7．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若cos C＝，c＝3，且＝，则△ABC的面积等于________．‎ 解析：∵＝，由正弦定理可知＝⇒tan A＝tan B，则A＝B，∴△ABC为等腰三角形，∴A＋B＋C＝2B＋C＝π，得2B＝π－C，则cos 2B＝－cos C＝－＝1－2sin2B，解得sin B＝，cos B＝，tan B＝.‎ ‎∵AB＝c＝3，∴C到AB的距离h＝×tan B＝×＝，∴△ABC的面积为×AB×h＝.‎ 答案： ‎8．(2019·菏泽模拟)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且acos B－c－＝0，a2＝bc，b＞c，则＝________.‎ 解析：由acos B－c－＝0及正弦定理可得sin Acos B－sin C－＝0.因为sin C＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B，所以－－cos Asin B＝0，因为sin B≠0，所以cos A＝－，即A＝.由余弦定理得a2＝bc＝b2＋c2＋bc，即2b2－5bc＋2c2＝0，又b＞c，所以＝2.‎ 答案：2‎ ‎9．(2019·惠州调研)已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2cos C(acos C＋ccos A)＋b＝0.‎ ‎(1)求角C的大小；‎ ‎(2)若b＝2，c＝2，求△ABC的面积．‎ 解：(1)∵2cos C(acos C＋ccos A)＋b＝0，‎ ‎∴由正弦定理可得2cos C(sin Acos C＋sin Ccos A)＋sin B＝0，‎ ‎∴2cos Csin(A＋C)＋sin B＝0，即2cos Csin B＋sin B＝0，‎ 又0°＜B＜180°，∴sin B≠0，∴cos C＝－，‎ 又0°＜C＜180°，∴C＝120°.‎ ‎(2)由余弦定理可得(2)2＝a2＋22－2×2acos 120°＝a2＋2a＋4，‎ 又a＞0，∴解得a＝2，∴S△ABC＝absin C＝，‎ ‎∴△ABC的面积为.‎ ‎10．(2017·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知△ABC的面积为.‎ ‎(1)求sin Bsin C；‎ ‎(2)若6cos Bcos C＝1，a＝3，求△ABC的周长．‎ 解：(1)由题设得acsin B＝，‎ 即csin B＝.‎ 由正弦定理得sin Csin B＝，‎ 故sin Bsin C＝.‎ ‎(2)由题设及(1)得cos Bcos C－sin Bsin C＝－，‎ 即cos(B＋C)＝－.‎ 所以B＋C＝，故A＝.‎ 由题设得bcsin A＝，即bc＝8.‎ 由余弦定理得b2＋c2－bc＝9，即(b＋c)2－3bc＝9，‎ 解得b＋c＝.‎ 故△ABC的周长为3＋.‎ 二、专项培优练 ‎(一)易错专练——不丢怨枉分 ‎1．在△ABC中， 若＝，则△ABC的形状是(　　)‎ A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 解析：选D　由已知＝＝＝，得＝或＝0，即＝或C＝90°.当C＝90°时，△ABC为直角三角形．当＝时，由正弦定理，得＝，∴＝，即sin Ccos C＝sin Bcos B，即sin 2C＝sin 2B.∵B，C均为△ABC的内角，∴2C＝2B或2C＋2B＝180°，∴B＝C或B＋C＝90°，∴△ABC为等腰三角形或直角三角形，故选D.‎ ‎2．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b＝a，a＝2，c＝，则C＝(　　)‎ A. B.或 C. D. 解析：选D　∵b＝a，∴由正弦定理可得sin B＝sin Acos C＋sin Asin C．又sin B＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋cos Asin C，∴cos Asin C＝sin Asin C．由sin C≠0，可得sin A＝cos A，∴tan A＝.由A为三角形内角，可得A＝.∵a＝2，c＝，∴由正弦定理可得sin C＝＝，∴由c＜a，可得C＝，故选D.‎ ‎(二)交汇专练——融会巧迁移 ‎3．[与数列交汇]在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c.若角A，B，C依次成等差数列，且a＝1，b＝，则S△ABC＝(　　)‎ A. B. C. D．2‎ 解析：选C　∵A，B，C依次成等差数列，∴B＝60°，‎ 由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B，得c＝2，‎ ‎∴S△ABC＝acsin B＝，故选C.‎ ‎4．[与三角函数交汇]已知函数f(x)＝cos2x＋sin(π－x)·cos(π＋x)－.‎ ‎(1)求函数f(x)在[0，π]上的单调递减区间；‎ ‎(2)在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知f(A)＝－1，a＝2，bsin C＝asin A，求△ABC的面积．‎ 解：(1)f(x)＝cos2x－sin xcos x－ ‎＝－sin 2x－ ‎＝－sin，‎ ‎∴2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，‎ ‎∴kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，又x∈[0，π]，‎ ‎∴函数f(x)在[0，π]上的单调递减区间为和.‎ ‎(2)由(1)知f(x)＝－sin，‎ ‎∴f(A)＝－sin＝－1，‎ ‎∵△ABC为锐角三角形，∴0＜A＜，‎ ‎∴－＜2A－＜，‎ ‎∴2A－＝，即A＝.‎ 又bsin C＝asin A，∴bc＝a2＝4，‎ ‎∴S△ABC＝bcsin A＝.‎ ‎(三)素养专练——学会更学通 ‎5．[数学运算]已知在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，bcos∠BCA＝a，点M在线段AB上，且∠ACM＝∠BCM.若b＝6CM＝6，则cos∠BCM＝(　　)‎ A. B. C. D. 解析：选B　设∠ACM＝∠BCM＝θ，则∠BCA＝2θ.又a＝bcos∠BCA，b＝6CM＝6，∴a＝6cos 2θ，CM＝1.则由面积关系S△ACM＋S△BCM＝S△ABC，得×6×1×sin θ＋×1×6cos 2θ×sin θ＝×6×6cos 2θ×sin 2θ，∴sin θcos θ(4cos θ－3)(3cos θ＋2)＝0.∵0＜θ＜，∴cos θ＝，故选B.‎ ‎6．[数学建模]线段的黄金分割点定义：若点C在线段AB上，且满足AC2＝BC·AB，则称点C为线段AB的黄金分割点．在△ABC中，AB＝AC，A＝36°，若角B的平分线交边AC于点D，则点D为边AC的黄金分割点．利用上述结论，可以求出cos 36°＝(　　)‎ A. B. C. D. 解析：选B　设AB＝2，AD＝x，又AB＝AC，所以CD＝2－x.由黄金分割点的定义可得AD2＝AC·CD，即x2＝2·(2－x)，解得AD＝－1.在△ABD中，由余弦定理得cos 36°＝＝＝.故选B.‎ ‎7.[直观想象、数学运算]如图，在△ABC中，点P在BC边上，∠PAC＝60°，PC＝2，AP＋AC＝4.‎ ‎(1)求∠ACP；‎ ‎(2)若△APB的面积是，求sin∠BAP.‎ 解：(1)在△APC中，∠PAC＝60°，PC＝2，AP＋AC＝4，‎ 由余弦定理得PC2＝AP2＋AC2－2·AP·AC·cos∠PAC，‎ 所以22＝AP2＋(4－AP)2－2·AP·(4－AP)·cos 60°，‎ 整理得AP2－4AP＋4＝0，‎ 解得AP＝2，‎ 所以AC＝2，‎ 所以△APC是等边三角形，‎ 所以∠ACP＝60°.‎ ‎(2)由于∠APB是△APC的外角，所以∠APB＝120°，‎ 因为△APB的面积是，‎ 所以·AP·PB·sin∠APB＝，‎ 所以PB＝3.‎ 在△APB中，AB2＝AP2＋PB2－2·AP·PB·cos∠APB＝22＋32－2×2×3×cos 120°＝19，‎ 所以AB＝.‎ 在△APB中，由正弦定理得＝，‎ 所以sin∠BAP＝＝.‎