数学卷·2018届湖南省娄底市双峰一中高二上学期第三次月考数学试卷（理科）（解析版）

数学卷·2018届湖南省娄底市双峰一中高二上学期第三次月考数学试卷（理科）（解析版）

‎2016-2017学年湖南省娄底市双峰一中高二（上）第三次月考数学试卷（理科）‎ ‎　‎ 一.选择题 ‎1．“ab＞0”是“方程ax2+by2=1表示椭圆”的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎2．已知向量=（1，1，0），=（﹣1，0，2）且k+与2﹣互相垂直，则k的值是（　　）‎ A．1 B． C． D．‎ ‎3．已知A（2，﹣5，1），B（2，﹣2，4），C（1，﹣4，1），则向量与的夹角为（　　）‎ A．30° B．45° C．60° D．90°‎ ‎4．已知Sn是等差数列{an}的前n项和，若a7=9a3，则=（　　）‎ A．9 B．5 C． D．‎ ‎5．若m=+，n=+，则m、n的大小关系是（　　）‎ A．m＞n B．m＜n C．m=n D．m≤n ‎6．下列命题中是真命题的是（　　）‎ ‎①“若x2+y2≠0，则x，y不全为零”的否命题；‎ ‎②“正多边形都相似”的逆命题；‎ ‎③“若m＞0，则x2+x﹣m=0有实根”的逆否命题；‎ ‎④“∃x∈R，x2+x+2≤0”的否定．‎ A．①②③④ B．①③④ C．②③④ D．①④‎ ‎7．已知a，b，c是△ABC三边之长，若满足等式（a+b﹣c）（ a+b+c）=ab，则∠C的大小为（　　）‎ A．60° B．90° C．120° D．150°‎ ‎8．已知双曲线E：﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率是，则E的渐近线方程为（　　）‎ A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±2x ‎9．已知空间四边形OABC，其对角线OB、AC，M、N分别是边OA、CB的中点，点G在线段MN上，且使MG=2GN，用向量，表示向量是（　　）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎10．在各项都不等于零的等差数列{an}中，若m＞1，且am﹣1+am+1﹣am2=0，S2m﹣1=38，则m等于（　　）‎ A．38 B．20 C．10 D．9‎ ‎11．己知直线l的斜率为k，它与抛物线y2=4x相交于A，B两点，F为抛物线的焦点，若，则|k|=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．已知不等式组表示平面区域Ω，过区域Ω中的任意一个点P，作圆x2+y2=1的两条切线且切点分别为A、B，当∠APB最大时， •的值为（　　）‎ A．2 B． C． D．3‎ ‎　‎ 二.填空题 ‎13．数列{an}的通项公式为an=n2+λn，对于任意自然数n（n≥1）都是递增数列，则实数λ的取值范围为　　．‎ ‎14．过抛物线y2=4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，若|AF|=3，则|BF|=　　．‎ ‎15．△‎ ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a，b，c成等比数列，若sinB=，cosB=，则a+c的值为　　．‎ ‎16．已知直线y=﹣x+1与椭圆相交于A，B两点，且线段AB的中点在直线x﹣2y=0上，则此椭圆的离心率为　　．‎ ‎　‎ 三.解答题（10+12+12+12+12+12）‎ ‎17．△ABC在内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知a=bcosC+csinB．‎ ‎（Ⅰ）求B；‎ ‎（Ⅱ）若b=2，求△ABC面积的最大值．‎ ‎18．数列{an}中，a1=8，a4=2，且满足an+2﹣2an+1+an=0‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设Sn=|a1|+|a2|+…+|an|，求Sn．‎ ‎19．某厂生产甲、乙两种产品每吨所需的煤、电和产值如下表所示．‎ 用煤（吨）‎ 用电（千瓦）‎ 产值（万元）‎ 甲产品 ‎7‎ ‎20‎ ‎8‎ 乙产品 ‎3‎ ‎50‎ ‎12‎ 但国家每天分配给该厂的煤、电有限，每天供煤至多56吨，供电至多450千瓦，问该厂如何安排生产，使得该厂日产值大？最大日产值为多少？‎ ‎20．给出两个命题：‎ 命题甲：关于x的不等式x2+（a﹣1）x+a2≤0的解集为∅，‎ 命题乙：函数y=（2a2﹣a）x为增函数．‎ 分别求出符合下列条件的实数a的范围．‎ ‎（1）甲、乙至少有一个是真命题；‎ ‎（2）甲、乙中有且只有一个是真命题．‎ ‎21．平行四边形ABCD中，AB=1，AD=，且∠BAD=45°，以BD为折线，把△ABD折起，使平面ABD⊥平面BCD，连接AC．‎ ‎（Ⅰ）求证：AB⊥DC；‎ ‎（Ⅱ）求二面角B﹣AC﹣D的大小．‎ ‎22．已知两点F1（﹣1，0）及F2（1，0），点P在以F1、F2为焦点的椭圆C上，且|PF1|、|F1F2|、|PF2|构成等差数列．‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）如图，动直线l：y=kx+m与椭圆C有且仅有一个公共点，点M，N是直线l上的两点，且F1M⊥l，F2N⊥l．求四边形F1MNF2面积S的最大值．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年湖南省娄底市双峰一中高二（上）第三次月考数学试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一.选择题 ‎1．“ab＞0”是“方程ax2+by2=1表示椭圆”的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【考点】椭圆的标准方程．‎ ‎【分析】由“ab＞0”，不能判断“方程ax2+by2=1表示椭圆”，“方程ax2+by2=1表示椭圆”⇒“ab＞0”，所以∴“ab＞0”是“方程ax2+by2=1表示椭圆”的必要不充分条件．‎ ‎【解答】解：∵由“ab＞0”，不能判断“方程ax2+by2=1表示椭圆”，‎ 例如a＜0，b＜0时，“方程ax2+by2=1不表示椭圆”．‎ ‎“方程ax2+by2=1表示椭圆”⇒“ab＞0”，‎ ‎∴“ab＞0”是“方程ax2+by2=1表示椭圆”的必要不充分条件．‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎2．已知向量=（1，1，0），=（﹣1，0，2）且k+与2﹣互相垂直，则k的值是（　　）‎ A．1 B． C． D．‎ ‎【考点】平面向量数量积的运算．‎ ‎【分析】由向量=（1，1，0），=（﹣1，0，2），求得k+与2﹣的坐标，代入数量积的坐标表示求得k值．‎ ‎【解答】解：∵=（1，1，0），=（﹣1，0，2），‎ ‎∴k+=k（1，1，0）+（﹣1，0，2）=（k﹣1，k，2），‎ ‎2﹣=2（1，1，0）﹣（﹣1，0，2）=（3，2，﹣2），‎ 又k+与2﹣互相垂直，‎ ‎∴3（k﹣1）+2k﹣4=0，解得：k=．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎3．已知A（2，﹣5，1），B（2，﹣2，4），C（1，﹣4，1），则向量与的夹角为（　　）‎ A．30° B．45° C．60° D．90°‎ ‎【考点】空间向量的夹角与距离求解公式．‎ ‎【分析】由题意可得：，进而得到与||，||，再由cos＜，＞=可得答案．‎ ‎【解答】解：因为A（2，﹣5，1），B（2，﹣2，4），C（1，﹣4，1），‎ 所以，‎ 所以═0×（﹣1）+3×1+3×0=3，并且||=3，||=，‎ 所以cos＜，＞==，‎ ‎∴的夹角为60°‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎4．已知Sn是等差数列{an}的前n项和，若a7=9a3，则=（　　）‎ A．9 B．5 C． D．‎ ‎【考点】等差数列的性质．‎ ‎【分析】利用等差数列的通项及求和公式，即可得出结论．‎ ‎【解答】解：∵等差数列{an}，a7=9a3，‎ ‎∴a1+6d=9（a1+2d），‎ ‎∴a1=﹣d，‎ ‎∴==9，‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎5．若m=+，n=+，则m、n的大小关系是（　　）‎ A．m＞n B．m＜n C．m=n D．m≤n ‎【考点】不等式比较大小．‎ ‎【分析】容易求出m2，n2的值，并可比较m2，n2的大小，从而得出m，n的大小关系．‎ ‎【解答】解：，；‎ ‎∵；‎ ‎∴m2＞n2；‎ ‎∴m＞n．‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎6．下列命题中是真命题的是（　　）‎ ‎①“若x2+y2≠0，则x，y不全为零”的否命题；‎ ‎②“正多边形都相似”的逆命题；‎ ‎③“若m＞0，则x2+x﹣m=0有实根”的逆否命题；‎ ‎④“∃x∈R，x2+x+2≤0”的否定．‎ A．①②③④ B．①③④ C．②③④ D．①④‎ ‎【考点】四种命题．‎ ‎【分析】①先写出否命题，然后判断．②写出命题的逆命题，然后判断．③写出命题的逆否命题，然后判断．④写出命题的否定，然后判断．‎ ‎【解答】解：①原命题的否命题为：“若x2+y2=0，则x，y全为零，”所以①正确；‎ ‎②“正多边形都相似”的逆命题是：相似的多边形都是正多边形，所以②错误；‎ ‎③“若m＞0，则x2+x﹣m=0中△=1+4m＞0，方程有实根”，命题的逆否命题是真命题，所以③正确；‎ ‎④“∃x∈R，x2+x+2≤0”的否定是：∀x∈R，x2+x+2＞0，是真命题．所以④正确．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎7．已知a，b，c是△ABC三边之长，若满足等式（a+b﹣c）（ a+b+c）=ab，则∠C的大小为（　　）‎ A．60° B．90° C．120° D．150°‎ ‎【考点】余弦定理．‎ ‎【分析】由（a+b﹣c）（a+b+c）=ab可得c2=a2+b2+ab，由余弦定理可得，cosC==可求C的值．‎ ‎【解答】解：∵（a+b﹣c）（a+b+c）=ab，‎ ‎∴c2=a2+b2+ab，‎ 由余弦定理可得，cosC====，‎ ‎∵0°＜C＜180°，‎ ‎∴C=120°，‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎8．已知双曲线E：﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率是，则E的渐近线方程为（　　）‎ A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±2x ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】根据双曲线的离心率，求出=即可得到结论．‎ ‎【解答】解：∵双曲线的离心率是，‎ ‎∴e==，即==1+（）2=，‎ 即（）2=﹣1=，则=，‎ 即双曲线的渐近线方程为y═±x=±x，‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎9．已知空间四边形OABC，其对角线OB、AC，M、N分别是边OA、CB的中点，点G在线段MN上，且使MG=2GN，用向量，表示向量是（　　）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【考点】空间向量的基本定理及其意义．‎ ‎【分析】根据所给的图形和一组基底，从起点O出发，把不是基底中的向量，用是基底的向量来表示，就可以得到结论．‎ ‎【解答】解：∵=‎ ‎=‎ ‎=‎ ‎=‎ ‎∴‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎10．在各项都不等于零的等差数列{an}中，若m＞1，且am﹣1+am+1﹣am2=0，S2m﹣1=38，则m等于（　　）‎ A．38 B．20 C．10 D．9‎ ‎【考点】等差数列的性质．‎ ‎【分析】根据等差数列的性质可知，第m﹣1项与第m+1项的和等于第m项的2倍，代入am﹣1+am+1﹣am2‎ ‎=0中，即可求出第m项的值，然后利用等差数列的前n项和的公式表示出前2m﹣1项的和，利用等差数列的性质化为关于第m项的关系式，把第m项的值代入即可求出m的值．‎ ‎【解答】解：根据等差数列的性质可得：am﹣1+am+1=2am，‎ 则am﹣1+am+1﹣am2=am（2﹣am）=0，‎ 解得：am=0或am=2，‎ 若am等于0，显然（2m﹣1）am=4m﹣2=38不成立，故有am=2‎ ‎∴S2m﹣1==（2m﹣1）am=4m﹣2=38，‎ 解得m=10．‎ 故选C ‎　‎ ‎11．己知直线l的斜率为k，它与抛物线y2=4x相交于A，B两点，F为抛物线的焦点，若，则|k|=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】直线与圆锥曲线的关系．‎ ‎【分析】设出直线方程，把直线方程和抛物线方程联立后得到关于x的一元二次方程，利用根与系数关系得到两个交点的横坐标的和与积，由代入坐标整理后得到直线的斜率与截距间的关系，由两个向量的模相等，结合抛物线定义可求出两个交点横坐标的具体值，代入两根和的关系式得到直线的斜率与截距的另一关系式，解方程组可求解k的值．‎ ‎【解答】解：设直线l的方程为y=kx+m（k≠0），与抛物线y2=4x相交于A（x1，y1），B（x2，y2）．‎ 联立，得k2x2+（2km﹣4）x+m2=0．‎ 所以△=（2km﹣4）2﹣4k2m2=16﹣16km＞0，即km＜1．‎ ‎，．‎ 由y2=4x得其焦点F（1，0）．‎ 由，得（1﹣x1，﹣y1）=2（x2﹣1，y2）．‎ 所以，‎ 由①得，x1+2x2=3 ③‎ 由②得，．‎ 所以m=﹣k．‎ 再由，得，‎ 所以x1+1=2（x2+1），即x1﹣2x2=1④‎ 联立③④得．‎ 所以=．‎ 把m=﹣k代入得，解得，满足mk=﹣8＜1．‎ 所以．‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎12．已知不等式组表示平面区域Ω，过区域Ω中的任意一个点P，作圆x2+y2=1的两条切线且切点分别为A、B，当∠APB最大时， •的值为（　　）‎ A．2 B． C． D．3‎ ‎【考点】平面向量数量积的运算；简单线性规划．‎ ‎【分析】作出不等式组对应的平面区域，根据数形结合求确定当α最小时，P的位置，利用向量的数量积公式，即可得到结论．‎ ‎【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图，要使∠APB最大，‎ 则P到圆心的距离最小即可，‎ 由图象可知当OP垂直直线x+y﹣2=0，此时|OP|==2，|OA|=1，‎ 设∠APB=α，则sin=， =‎ 此时cosα=， •==．‎ 故选：B ‎　‎ 二.填空题 ‎13．数列{an}的通项公式为an=n2+λn，对于任意自然数n（n≥1）都是递增数列，则实数λ的取值范围为　λ＞﹣3　．‎ ‎【考点】数列的函数特性．‎ ‎【分析】数列{an}的通项公式为an=n2+λn，对于任意自然数n（n≥1）都是递增数列，根据函数对称性，单调性，可知：﹣＜，可得范围．‎ ‎【解答】解：∵数列{an}的通项公式为an=n2+λn，对于任意自然数n（n≥1）都是递增数列，‎ ‎∴根据二次函数的性质可得：‎ ‎﹣＜，即λ＞﹣3，‎ 故答案为：λ＞﹣3‎ ‎　‎ ‎14．过抛物线y2=4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，若|AF|=3，则|BF|=　　．‎ ‎【考点】抛物线的简单性质．‎ ‎【分析】设∠AFx=θ，θ∈（0，π）及|BF|=m，利用抛物线的定义直接求出m即|BF|的值．‎ ‎【解答】解：设∠AFx=θ，θ∈（0，π）及|BF|=m，‎ 则点A到准线l：x=﹣1的距离为3．‎ 得3=2+3cosθ⇔cosθ=，又m=2+mcos（π﹣θ）⇔=．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎15．△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a，b，c成等比数列，若sinB=，cosB=，则a+c的值为　3　．‎ ‎【考点】余弦定理．‎ ‎【分析】由a，b，c成等比数列，可得b2=ac，由sinB=，cosB=，可解得ac=13，再由余弦定理求得a2+c2=37，从而求得（a+c）2的值，即可得解．‎ ‎【解答】解：∵a，b，c成等比数列，‎ ‎∴b2=ac，‎ ‎∵sinB=，cosB=，‎ ‎∴可得=1﹣，解得：ac=13，‎ ‎∵由余弦定理：b2=a2+c2﹣2accosB=ac=a2+c2﹣ac×，解得：a2+c2=37．‎ ‎∴（a+c）2=a2+c2+2ac=37+2×13=63，故解得a+c=3．‎ 故答案为：3．‎ ‎　‎ ‎16．已知直线y=﹣x+1与椭圆相交于A，B两点，且线段AB的中点在直线x﹣2y=0上，则此椭圆的离心率为　　．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】联立，得到线段AB的中点为（），设y=﹣x+1与的交点分别为A（x1，y1），B（x2，y2），利用点差法能求出椭圆的离心率．‎ ‎【解答】解：联立，得x=，y=，‎ ‎∴直线y=﹣x+1与x﹣2y=0的交点为，∴线段AB的中点为（），‎ 设y=﹣x+1与的交点分别为A（x1，y1），B（x2，y2），‎ 则， =，‎ 分别把A（x1，y1），B（x2，y2）代入椭圆，得：‎ ‎，两式相减，‎ 得，‎ a2=2b2，∴a=，∴．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ 三.解答题（10+12+12+12+12+12）‎ ‎17．△ABC在内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知a=bcosC+csinB．‎ ‎（Ⅰ）求B；‎ ‎（Ⅱ）若b=2，求△ABC面积的最大值．‎ ‎【考点】余弦定理；正弦定理．‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）已知等式利用正弦定理化简，再利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式变形，求出tanB的值，由B为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出B的度数；‎ ‎（Ⅱ）利用三角形的面积公式表示出三角形ABC的面积，把sinB的值代入，得到三角形面积最大即为ac最大，利用余弦定理列出关系式，再利用基本不等式求出ac的最大值，即可得到面积的最大值．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）由已知及正弦定理得：sinA=sinBcosC+sinBsinC①，‎ ‎∵sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC②，‎ ‎∴sinB=cosB，即tanB=1，‎ ‎∵B为三角形的内角，‎ ‎∴B=；‎ ‎（Ⅱ）S△ABC=acsinB=ac，‎ 由已知及余弦定理得：4=a2+c2﹣2accos≥2ac﹣2ac×，‎ 整理得：ac≤，当且仅当a=c时，等号成立，‎ 则△ABC面积的最大值为××=××（2+）=+1．‎ ‎　‎ ‎18．数列{an}中，a1=8，a4=2，且满足an+2﹣2an+1+an=0‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设Sn=|a1|+|a2|+…+|an|，求Sn．‎ ‎【考点】数列递推式；数列的求和．‎ ‎【分析】（1）首先判断数列{an}为等差数列，由a1=8，a4=2求出公差，代入通项公式即得．‎ ‎（2）首先判断哪几项为非负数，哪些是负数，从而得出当n＞5时，Sn=|a1|+|a2|+…+|an|=a1+a2+…+a5﹣（a6+a7+…+an）求出结果；当n≤5时，Sn=|a1|+|a2|+…+|an|=a1+a2+…+an当，再利用等差数列的前n项和公式求出答案．‎ ‎【解答】解：（1）an+2﹣2an+1+an=0∴an+2﹣an+1=an+1﹣an ‎∴{an+1﹣an}为常数列，‎ ‎∴{an}是以a1为首项的等差数列，‎ 设an=a1+（n﹣1）d，a4=a1+3d，‎ ‎∴，‎ ‎∴an=10﹣2n．‎ ‎（2）∵an=10﹣2n，令an=0，得n=5．‎ 当n＞5时，an＜0；当n=5时，an=0；当n＜5时，an＞0．‎ ‎∴当n＞5时，Sn=|a1|+|a2|+…+|an|=a1+a2+…+a5﹣（a6+a7+…+an）=T5﹣（Tn﹣T5）=2T5﹣Tn，Tn=a1+a2+…+an．‎ 当n≤5时，Sn=|a1|+|a2|+…+|an|=a1+a2+…+an=Tn．‎ ‎∴‎ ‎　‎ ‎19．某厂生产甲、乙两种产品每吨所需的煤、电和产值如下表所示．‎ 用煤（吨）‎ 用电（千瓦）‎ 产值（万元）‎ 甲产品 ‎7‎ ‎20‎ ‎8‎ 乙产品 ‎3‎ ‎50‎ ‎12‎ 但国家每天分配给该厂的煤、电有限，每天供煤至多56吨，供电至多450千瓦，问该厂如何安排生产，使得该厂日产值大？最大日产值为多少？‎ ‎【考点】简单线性规划的应用．‎ ‎【分析】设该厂每天安排生产甲产品x吨，乙产品y吨，可得目标函数为z=8x+12y．根据题意，建立关于x、y的不等式组并作出可行域，利用直线平移的方法可得当x=5且y=7时，目标函数z的最大值为124，由此即可得到本题答案．‎ ‎【解答】解：设该厂每天安排生产甲产品x吨，乙产品y吨，日产值为z，可得 z=8x+12y，‎ 其中x、y满足约束条件 作出可行域，如右图所示 将直线l：z=8x+12y进行平移，由图可知当直线l经过可行域上的点M时，‎ 直线在y轴上的截距最大，目标函数z同时达到最大值 解方程组，得M（5，7）‎ ‎∴z的最大值为zmax=8×5+12×7=124‎ 答：该厂每天安排生产甲产品5吨，乙产品7吨，可得日产值为z的最大值为124万元．‎ ‎　‎ ‎20．给出两个命题：‎ 命题甲：关于x的不等式x2+（a﹣1）x+a2≤0的解集为∅，‎ 命题乙：函数y=（2a2﹣a）x为增函数．‎ 分别求出符合下列条件的实数a的范围．‎ ‎（1）甲、乙至少有一个是真命题；‎ ‎（2）甲、乙中有且只有一个是真命题．‎ ‎【考点】命题的真假判断与应用．‎ ‎【分析】根据二次函数的图象和性质可以求出命题甲：关于x的不等式x2+（a﹣1）x+a2≤0的解集为∅为真命题时，a的取值范围A，根据对数函数的单调性与底数的关系，可以求出命题乙：函数y=（2a2﹣a）x为增函数为真命题时，a的取值范围B．‎ ‎（1）若甲、乙至少有一个是真命题，则A∪B即为所求 ‎（2）若甲、乙中有且只有一个是真命题，则（A∩CUB）∪（CUA∩B）即为所求．‎ ‎【解答】解：若命题甲：关于x的不等式x2+（a﹣1）x+a2≤0的解集为∅为真命题 则△=（a﹣1）2x﹣4a2=﹣3a2﹣2a+1＜0‎ 即3a2+2a﹣1＞0，‎ 解得A={a|a＜﹣1，或a＞}‎ 若命题乙：函数y=（2a2﹣a）x为增函数为真命题 则2a2﹣a＞1‎ 即2a2﹣a﹣1＞0‎ 解得B={a|a＜﹣，或a＞1}‎ ‎（1）若甲、乙至少有一个是真命题 则A∪B={a|a＜﹣或a＞}；‎ ‎（2）若甲、乙中有且只有一个是真命题 ‎（A∩CUB）∪（CUA∩B）={a|＜a≤1或﹣1≤a＜﹣}．‎ ‎　‎ ‎21．平行四边形ABCD中，AB=1，AD=，且∠BAD=45°，以BD为折线，把△ABD折起，使平面ABD⊥平面BCD，连接AC．‎ ‎（Ⅰ）求证：AB⊥DC；‎ ‎（Ⅱ）求二面角B﹣AC﹣D的大小．‎ ‎【考点】与二面角有关的立体几何综合题．‎ ‎【分析】（Ⅰ）由已知条件利用余弦定理求出BD=1，从而得到AB⊥BD，由此能够证明AB⊥DC．‎ ‎（Ⅱ）以D为原点，DB为x轴，DC为y轴，过D垂直于平面BDC的直线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角B﹣AC﹣D的大小．‎ ‎【解答】（Ⅰ）证明：在△ABD中，BD2=AB2+AD2﹣2AB•ADcos45°=1，‎ ‎∵AB=1，AD=，且∠BAD=45°‎ ‎∴BD2=1+2﹣2=1，即BD=1，‎ ‎∴AB⊥BD，‎ ‎∴面ABD∩面BDC，∴AB⊥面BDC，‎ ‎∴AB⊥DC．‎ ‎（Ⅱ）解：在四面体ABCD中，以D为原点，‎ DB为x轴，DC为y轴，过D垂直于平面BDC的直线为z轴，‎ 建立如图所示的空间直角坐标系，‎ 由题意得D（0，0，0），B（1，0，0），C（0，1，0），A（1，0，1），‎ 设平面ABC的法向量为，‎ ‎∵，‎ ‎∴，取x=1，得，‎ 设平面DAC的法向量为，‎ ‎∵，‎ ‎∴，取x1=1，得，‎ ‎∴cos＜＞==，‎ ‎∴二面角B﹣AC﹣D的大小为60°．‎ ‎　‎ ‎22．已知两点F1（﹣1，0）及F2（1，0），点P在以F1、F2为焦点的椭圆C上，且|PF1|、|F1F2|、|PF2|构成等差数列．‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）如图，动直线l：y=kx+m与椭圆C有且仅有一个公共点，点M，N是直线l上的两点，且F1M⊥l，F2N⊥l．求四边形F1MNF2面积S的最大值．‎ ‎【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；数列与解析几何的综合；椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】（1）依题意，设椭圆C的方程为，c=1．再利用|PF1|、|F1F2|、|PF2|构成等差数列，即可得到a，利用b2=a2﹣c2得到a即可得到椭圆的方程；‎ ‎（2）将直线l的方程y=kx+m代入椭圆C的方程3x2+4y2=12中，得到关于x的一元二次方程，由直线l与椭圆C仅有一个公共点知，△=0，即可得到m，k的关系式，利用点到直线的距离公式即可得到d1=|F1M|，d2=|F2N|．‎ 法一：当k≠0时，设直线l的倾斜角为θ，则|d1﹣d2|=|MN|×|tanθ|，即可得到四边形F1MNF2面积S的表达式，利用基本不等式的性质即可得出S的最大值；‎ 法二：利用d1及d2表示出及d1d2，进而得到，再利用二次函数的单调性即可得出其最大值．‎ ‎【解答】解：（1）依题意，设椭圆C的方程为．‎ ‎∵|PF1|、|F1F2|、|PF2|构成等差数列，∴2a=|PF1|+|PF2|=2|F1F2|=4，a=2．‎ 又∵c=1，∴b2=3．∴椭圆C的方程为．‎ ‎（2）将直线l的方程y=kx+m代入椭圆C的方程3x2+4y2=12中，得（4k2+3）x2+8kmx+4m2﹣12=0． ‎ 由直线l与椭圆C仅有一个公共点知，△=64k2m2﹣4（4k2+3）（4m2﹣12）=0，‎ 化简得：m2=4k2+3． ‎ 设，，‎ 法一：当k≠0时，设直线l的倾斜角为θ，‎ 则|d1﹣d2|=|MN|×|tanθ|，‎ ‎∴， =，‎ ‎∵m2=4k2+3，∴当k≠0时，，，．‎ 当k=0时，四边形F1MNF2是矩形，． ‎ 所以四边形F1MNF2面积S的最大值为． ‎ 法二：∵，．‎ ‎∴=．‎ 四边形F1MNF2的面积=，‎ ‎=． ‎ 当且仅当k=0时，，故．‎ 所以四边形F1MNF2的面积S的最大值为．‎ ‎　‎