【数学】2020届一轮复习（文理合用）第6章不等式 推理与证明作业
对应学生用书[考案6理][考案6文]
第六章 综合过关规范限时检测
(时间：45分钟 满分100分)
一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)
1．(2018·吉林长春期中)已知集合A＝{x||x|>1}，B＝{x|x2－2x－3≤0}，则A∩B＝( C )
A．(－1,1) B．R
C．(1,3] D．(－1,3]
[解析] 由|x|>1得x>1或x<－1，又x2－2x－3≤0，∴－1≤x≤3.∴A∩B＝{x|1
|b|；④abab.故选C．
3．(2018·山东临沂期中)设实数x，y满足，则z＝2x＋y的最小值为( D )
A．3 B．1
C．－1 D．－3
[解析] 作出可行域如图中阴影部分所示．
由得∴A(－1，－1)，
由z＝2x＋y知y＝－2x＋z
由图可知当直域z＝2x＋y过点A(－1，－1)时，z取最小值且zmin＝－3，故选D．
4．(2019·广东月考题)设函数f(x)＝ax2－2x＋2，对于函数10，则实数a的取值范围是( D )
A．a≥1 B．
[解析] 由f(x)>0得ax2－2x＋2>0，即a>－，设＝t，g(t)＝－2t2＋2t，t∈(，1)，当t＝
eq f(1,2)时，g(t)max＝g()＝，∴a>，故选D．
5．(2018·河北石家庄辛集中学检测)若a，b，c∈R，下列使用类比推理得到的结论正确的是( C )
A．“若a·2＝b·2，则a＝b”类比推出“若a·c＝b·c，则a＝b”
B．“若(a＋b)c＝ac＋bc”类比推出“(a·b)c＝ac·bc”
C．“若(a＋b)c＝ac＋bc”类比推出“＝＋(c≠0)”
D．“(ab)n＝anbn”类比推出“(a＋b)n＝an＋bn(n∈N*)”
[解析] 对于A，“若a·2＝b·2，则a＝b”类比推出“若a·c＝b·c，则a＝b”，不正确，比如c＝0，则a，b不一定相等，故A错；对于B，“若(a＋b)c＝ac＋bc”类比推出“(a·b)c＝ac·bc”，而(a·b)c＝ac·b＝a·bc，故B错；对于C，“若(a＋b)c＝ac＋bc”类比推出“＝＋(c≠0)”，故C正确；对于D，由“(ab)n＝anbn”类比推出“(a＋b)n＝an＋bn(n∈N*)”，当n＝2时，(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，故D错．
6．(2018·衡阳模拟)若不等式<0和不等式ax2＋bx－2>0的解集相同，则实数a，b的值为( B )
A．a＝－8，b＝－10 B．a＝－4，b＝－9
C．a＝－1，b＝9 D．a＝－1，b＝2
[解析] 不等式<0的解集为(－2，－)，所以不等式ax2＋bx－2>0的解集为(－2，－)，二次方程ax2＋bx－2＝0的两个根为－2，－，所以所以a＝－4，b＝－9.故选B．
7．(2019·河北省武邑中学第三次调考)若不等式x2＋2x<＋对任意a，b∈(0，＋∞)恒成立，则实数x的取值范围是( C )
A．(－2,0) B．(－∞，－2)∪(0，＋∞)
C．(－4,2) D．(－∞，－4)∪(2，＋∞)
[解析] 因为＋≥2＝8，当且仅当a＝4b时取“＝”．若对任意a，b∈(0，＋∞)，x2＋2x<＋恒成立，只要x2＋2x<8⇒－41，b>2，a＋b＝5，则＋的最小值为( B )
A．4 B．8
C．9 D．6
(理)(2018·衡水中学期中)设正数x，y满足x＋y＝1，若不等式＋≥4对上述任意正实数x，y成立，则正实数a的取值范围是( C )
A．a≥4 B．a>1
C．a≥1 D．a>4
[解析] (文)由题意知a－1>0，b－2>0，
又a＋b＝5，∴(a－1)＋(b－2)＝2，
∴＋＝[(a－1)＋(b－2)](＋)
＝(10＋＋)
≥(10＋2)＝8.
(当且仅当即时取等号)故选B．
(理)由x>0，y>0，a>0知＋＝(x＋y)(＋)
＝1＋a＋＋≥1＋a＋2
＝1＋a＋2＝(＋1)2.
由题意可知(＋1)2≥4，∴＋1≥2，
∴≥1即a≥1.故选C．
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)
11．(2018·天津，13)已知a，b∈R，且a－3b＋6＝0，则2a＋的最小值为_____.
[解析] 本题主要考查运用基本不等式求最值．
由已知，得2a＋＝2a＋2－3b≥2＝2＝2＝，当且仅当2a＝2－3b时等号成立，
由a＝－3b，a－3b＋6＝0，得a＝－3，b＝1，
故当a＝－3，b＝1时，2a＋取得最小值.
[易错警示] 利用基本不等式求最值应注意的问题
(1)使用基本不等式求最值，易失误的原因是对其存在前提“一正、二定、三相等”的忽视．要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可．
(2)在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件．
12．(文)(2018·南京学情调研)已知实数x，y满足条件则z＝3x－2y的最大值为__6___.
(理)(2018·广东湛江调研)某大学生创业团队开发生产甲、乙两种产品，它们均需用A，B两种原料．已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该创业团队每天可获得的最大利润为__18___万元.
甲
乙
原料限额
A(单位：吨)
3
2
12
B(单位：吨)
1
2
8
[解析] (文)作出可行域如图中阴影部分所示，
z＝3x－2y即y＝x－，由图可知与直线y＝x－过点A(4,3)时，纵截距最小，从而z最大，∴zmax＝6.
(理)设生产甲、乙产品分别为x吨、y吨，可获利润z万元，则依题意有z＝3x＋4y
作出可行域如图中阴影部分所示．
由得∴A(2,3)．
由z＝3x＋4y得y＝－x＋，当此直线过点A时z取最大值．zmax＝18(万元)
另解：同上解法有A(2,3)、B(4,0)、C(0,4)．
将A、B、C的坐标分别代入z＝3x＋4y可知zmax＝18(万元)．
13．甲、乙、丙三名同学被问到是否关注A，B，C三个微信公众号时，
甲说：我关注的微信公众号比乙多，但没有关注B微信公众号；
乙说：我没有关注C微信公众号；
丙说：我们三个人关注同一个微信公众号，
由此可判断乙关注的微信公众号为__A___.
[解析] 由题意知，甲没有关注B微信公众号，乙没有关注C微信公众号，而甲、乙、丙三人关注同一个微信公众号，所以他们都有关注A微信公众号，而甲关注的微信公众号比乙多，所以甲关注两个微信公众号，乙只关注一个微信公众号，所以乙关注的微信公众号为A.
14．(2018·广东惠州第二次调研)《周易》历来被人们视作儒家群经之首，它表现了古代中华民族对万事万物深刻而又朴素的认识，是中华人文文化的基础，它反映出中国古代的二进制计数的思想方法，我们用近代术语解释为：把阳爻“”当作数字“1”，把阴爻“”当作数字“0”，则八卦所代表的数表示如下：
卦名
符号
表示的二进制数
表示的十进制数
坤
000
0
艮
001
1
坎
010
2
巽
011
3
依次类推，则六十四卦中的“屯”卦符号“”表示的十进制数是__34___.
[解析] 由题意类推，可知六十四卦中的“屯”卦符号“”表示的二进制数为100010，转化为十进制数为0×20＋1×21＋0×22＋0×23＋0×24＋1×25＝34.
三、解答题(本大题共2个小题，共30分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分15分)(2018·山西运城期中)为了保护环境，发展低碳经济，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似的表示为：y＝x2－200x＋80 000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元．
(1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？
(2)该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则这家每月至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？
[解析] (1)由题意可知，二氧化碳的每吨平均处理成本为：＝x＋－200≥2－200＝200，
当且仅当x＝，即x＝400时，才能使每吨的平均处理成本最低，最低成本为200元．
(2)设该单位每月获利为S，则S＝100x－y
＝100x－(x2－200x＋80 000)＝－x2＋300x－80 000＝－(x－300)2－35 000
因为400≤x≤600，
所以当x＝400时，S有最大值－40 000.
故该单位不获利，需要国家每月至少补贴40 000元，才能不亏损．
16．(文)(本小题满分15分)已知x，y，z＞0，x＋y＋z＝3.
(1)求＋＋的最小值．
(2)证明：3≤x2＋y2＋z2＜9.
(理)(本题满分15分)数列{an}满足an＋1＝，a1＝1.
(1)证明：数列{}是等差数列；
(2)求数列{}的前n项和Sn，并证明＋＋…＋<2－.(n≥2)
[解析] (文)(1)＋＋＝(x＋y＋z)(＋＋)
＝(1＋＋＋＋1＋＋＋＋1)
＝[3＋(＋)＋(＋)＋(＋)]
≥[3＋2＋2＋2]＝3.
等号在x＝y＝z＝1时成立，所以＋＋最小值为3.
(2)9＝(x＋y＋z)2＝x2＋y2＋z2＋2xy＋2xz＋2yz≤3(x2＋y2＋z2)，
∴x2＋y2＋z2≥3.当且仅当x＝y＝z＝1时取“＝”，
又∵x，y，z＞0，∴xy＋xz＋yz＞0.
∴x2＋y2＋z2＝9－2(xy＋xz＋yz)＜9.
∴3≤x2＋y2＋z2＜9.
(理)(1)∵an＋1＝，∴＝＝2＋，即－＝2.故数列{}是首项为1，公差为2的等差数列．
(2)由(1)知＝2n－1，∴Sn＝＝n2，
解法一：＋＋…＋＝1＋＋＋…＋
<1＋＋＋…＋
＝1＋1－＋－＋…＋－＝2－.
解法二：(用数学归纳法证明)
①当n＝2时＋＝1＋＝<2－，
即n＝2时命题成立．
②假设当n＝k(k≥2)时命题成立，即＋＋…＋<2－，
则＋＋…＋＝＋＋…＋＋
<2－＋<2－，
(∵－＋－()＝＝<0.∴＋<－)
即n＝k＋1时命题成立．
综上可知当n≥2时，＋＋…＋<2－.
