江西省萍乡市莲花中学2019-2020学年高一下学期月考数学（重点）试题

江西省萍乡市莲花中学2019-2020学年高一下学期月考数学（重点）试题

数学试卷 ‎(时间：4.25、14：00-16:00 　满分：150分)‎ 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)‎ ‎1．直线的倾斜角是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．设是直线，，是两个不同的平面（ ）‎ A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 ‎3．甲、乙两个不透明的袋中各有5个仅颜色不同的球，其中甲袋中有3个红球，2个白球，‎ 乙袋中有2个红球，3个白球，现从两袋中各随机取一球，则两球不同颜色的概率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎4．阅读右边的程序框图,运行相应的程序,则输出的值为（ ）‎ A．3 B．4 C．5 D．6‎ ‎5．在区间[-1，1]上随机取一个数x，的值介于0到之间的概率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎6．从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，则与事件恰有两个红球既不对立也不互斥的事件是( )‎ A．至少有一个黑球 B．恰好一个黑球 C．至多有一个红球 D．至少有一个红球 ‎7．我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“— —”．如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦至少有2个阳爻的概率是（ ）‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎8．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（ ）‎ A． B． C． D．5‎ ‎9．两平行平面截半径为5的球，若截面面积分别为9 π和16 π，则这两个平面间的距离是(　　)‎ A．1 B．7 C．3或4 D．1或7‎ ‎10．已知正四棱柱中，，E为中点，则异面直线BE与所成角的余弦值为( )‎ A． B． C． D．‎ ‎11．已知点，若直线与线段有交点，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．已知三棱锥中，，， 直线与底面所成角为，则此时三棱锥外接球的表面积为 （ ）‎ A． B． C． D．‎ 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)‎ ‎13．三名旅游爱好者商定，新冠肺炎疫情全面结束后，前往湖北省的武汉、宜昌、黄冈三个城市旅游.如果三人均等可能的前往上述三个城市之一，则他们选择同一个城市的概率是_______.‎ ‎14．已知一组数据，，，的方差为，则这组数据，，，的方差为______．‎ ‎15．已知一个正四棱锥的侧棱与底面所成的角为，侧面积为，则该棱锥的体积为__________．‎ ‎16．若直线与直线交于点，则长度的最大值为____．‎ 三、解答题(本大题共6小题，共70分)‎ ‎17．（12分）某调查机构为了了解某产品年产量（吨）对价格（千元/吨）和利润的影响，对近五年该产品的年产量和价格统计如下表：‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎7‎ ‎6‎ ‎5‎ ‎4‎ ‎2‎ ‎（1）求关于的线性回归方程；‎ ‎（2）若每吨该产品的成本为千元，假设该产品可全部卖出，预测当年产量为多少时，年利润取到最大值？参考公式：，‎ ‎18．（12分）如图，在直三棱柱（侧棱垂直于底面）中，AC=9，BC=12，AB=15，AA1=12，点D是AB的中点 ‎ （1）求证：； ‎ ‎（2）求证：平面 ‎19．（12分）石嘴山市第三中学高三年级统计学生的最近20次数学周测成绩，现有甲乙两位同学的20次成绩如茎叶图所示:‎ ‎（1）根据茎叶图求甲乙两位同学成绩的中位数，并将同学乙的成绩的频率分布直方图填充完整；‎ ‎（2）现从甲乙两位同学的不低于140分的成绩中任意选出2个成绩，记事件为“‎ 其中2个成绩分别属于不同的同学”，求事件发生的概率.‎ ‎20．（12分）如图，四棱锥中，底面为矩形，面，为的中点．‎ ‎（1）证明：平面;‎ ‎（2）设，，三棱锥的体积 ，‎ 求A到平面PBC的距离．‎ ‎21．（12分）如图四边形ABCD为菱形，G为AC与BD交点，，‎ ‎（1）证明：平面平面；‎ ‎（2）若， 三棱锥的体积为，求该三棱锥的侧面积.‎ 22． ‎（10分）已知两条直线l1：ax＋2y－1＝0，‎ l2：3x＋(a＋1)y＋1＝0.‎ ‎(1)若l1∥l2，求实数a的值；‎ ‎(2)若l1⊥l2，求实数a的值．‎ 参考答案 ‎1-5 DBDBA 6-10 DCCDC 11-12 CA ‎13． 14． 15． 16．‎ ‎17．（1）；（2）当时，年利润最大.‎ ‎【详解】‎ ‎（1），，‎ ‎， ‎ 所以，‎ ‎.‎ 关于的线性回归方程是 ‎ ‎（2）年利润 ‎ 所以当时，年利润最大.‎ ‎18．【详解】（1）直三棱柱 面 ‎ 又 AC=9，BC=12，AB=15‎ ‎ ‎ ‎ 面 ‎（2）‎ 取的中点，连结和 ‎//，且=‎ 四边形为平行四边形 ∥‎ 面 ‎∥，且=‎ 四边形为平行四边形 ∥‎ 面 ‎ 面∥面 平面 ‎19．【详解】（1）甲的成绩的中位数是119，乙的成绩的中位数是128，‎ 同学乙的成绩的频率分布直方图如下： ‎ ‎ ‎ ‎（2）甲同学的不低于140分的成绩有2个设为a，b，‎ 乙同学的不低于140分的成绩有3个，设为c，d，e ,‎ 现从甲乙两位同学的不低于140分的成绩中任意选出2个成绩有：‎ ‎(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，e)，(b，c)，(b，d)，(b，e)，(c，d)，(c，e)，(d，e)共10种， ‎ 其中2个成绩分属不同同学的情况有：‎ ‎ (a，c)，(a，d)，(a，e)，(b，c)，(b，d)，(b，e)共6种，‎ 因此事件A发生的概率P(A)= .‎ ‎20．解析：(1）设BD交AC于点O，连结EO． ‎ 因为ABCD为矩形，所以O为BD的中点．‎ 又E为PD的中点，所以EO∥PB ‎ 又EO平面AEC，PB平面AEC 所以PB∥平面AEC． ‎ ‎（2）‎ 由，可得.‎ 作交于．‎ 由题设易知，所以 故，‎ 又所以到平面的距离为 法2：等体积法 由，可得.‎ 由题设易知,得BC 假设到平面的距离为d，‎ 又因为PB=‎ 所以 又因为(或)，‎ ‎，‎ 所以 ‎21．解析：（Ⅰ）因为四边形ABCD为菱形，所以ACBD，‎ 因为BE平面ABCD，所以ACBE，故AC平面BED.‎ 又AC平面AEC，所以平面AEC平面BED ‎（Ⅱ）设AB=，在菱形ABCD中，由ABC=120°，可得AG=GC= ,GB=GD=.‎ 因为AEEC，所以在AEC中，可得EG= .‎ 由BE平面ABCD，知EBG为直角三角形，可得BE=.‎ 由已知得，三棱锥E-ACD的体积.故=2‎ 从而可得AE=EC=ED=.‎ 所以EAC的面积为3，EAD的面积与ECD的面积均为.‎ 故三棱锥E-ACD的侧面积为.‎ ‎22．(1) a=2 (2)‎ ‎(1)由题可知，直线l1：ax＋2y－1＝0，l2：3x＋(a＋1)y＋1＝0.‎ 若l1∥l2，则 解得a=2或a=-3(舍去)‎ 综上，则a=2；‎ ‎（2）由题意，若l1⊥l2，则,‎ 解得.‎