2013大纲卷（理）数学试题
2013·全国卷(理科数学)
1． 设集合A＝{1，2，3}，B＝{4，5}，M＝{x|x＝a＋b，a∈A，b∈B}，则M中元素的个数为( )
A．3 B．4
C．5 D．6
1．B [解析] 1，2，3与4，5分别相加可得5，6，6，7，7，8，根据集合中元素的互异性可得集合M中有4个元素．
2． (1＋i)3＝( )
A．－8 B．8
C．－8i D．8i
2．A [解析] (1＋i)3＝13＋3×12(i)＋3×1×(i)2＋(i)3＝1＋3i－9－3i＝－8.
3． 已知向量＝(λ＋1，1)，＝(λ＋2，2)，若(＋)(－)，则λ＝( )
A．－4 B．－3
C．－2 D．－1
3．B [解析] (＋)⊥(－)⇔(＋)·(－)＝0⇔2＝2，所以(λ＋1)2＋12＝(λ＋2)2＋22，解得λ＝－3.
4． 已知函数f(x)的定义域为(－1，0)，则函数f(2x＋1)的定义域为( )
A．(－1，1) B.
C．(－1，0) D.
4．B [解析] 对于f(2x＋1)，－1<2x＋1<0，解得－1
0)的反函数f－1(x)＝( )
A.(x>0) B.(x≠0)
C．2x－1(x∈) D．2x－1(x>0)
5．A [解析] 令y＝log2，则y>0，且1＋＝2y，解得x＝，交换x，y得f－1(x)＝(x>0)．
6． 已知数列{an}满足3an＋1＋an＝0，a2＝－，则{an}的前10项和等于( )
A．－6(1－3－10) B.(1－310)
C．3(1－3－10) D．3(1＋3－10)
6．C [解析] 由3an＋1＋an＝0，得an≠0(否则a2＝0)且＝－，所以数列{an
}是公比为－的等比数列，代入a2可得a1＝4，故S10＝＝3×＝3(1－3－10)．
7． (1＋x)8(1＋y)4的展开式中x2y2的系数是( )
A．56 B．84
C．112 D．168
7．D [解析] (1＋x)8展开式中x2的系数是C，(1＋y)4的展开式中y2的系数是C，根据多项式乘法法则可得(1＋x)8(1＋y)4展开式中x2y2的系数为CC＝28×6＝168.
8．、 椭圆C：＋＝1的左、右顶点分别为A1，A2，点P在C上且直线PA2斜率的取值范围是[－2，－1]，那么直线PA1斜率的取值范围是( )
A. B.
C. D.
8．B [解析] 椭圆的左、右顶点分别为(－2，0)，(2，0)，设P(x0，y0)，则kPA1kPA2＝·＝，而＋＝1，即y＝(4－x)，所以kPA1kPA2＝－，所以kPA1＝－∈.
9．、 若函数f(x)＝x2＋ax＋在是增函数，则a的取值范围是( )
A．[－1，0] B．[－1，＋∞)
C．[0，3] D．[3，＋∞)
9．D [解析] f′(x)＝2x＋a－≥0在上恒成立，即a≥－2x在上恒成立，由于y＝－2x在上单调递减，所以y<3，故只要a≥3.
10． 已知正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB，则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于( )
A. B.
C. D.
10．A [解析] 如图，联结AC，交BD于点O.由于BO⊥OC，BO⊥CC1，可得BO⊥平面OCC1，从而平面OCC1⊥平面BDC1，过点C作OC1的垂线交OC1于点E
，根据面面垂直的性质定理可得CE⊥平面BDC1，∠CDE即为所求的线面角．设AB＝2，则OC＝，OC1＝＝3 ，所以CE＝＝＝，
所以sin∠CDE＝＝.
11．、 已知抛物线C：y2＝8x与点M(－2，2)，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点．若·MB＝0，则k＝( )
A. B.
C. D．2
11．D [解析] 抛物线的焦点坐标为(2，0)，设直线l的方程为x＝ty＋2，与抛物线方程联立得y2－8ty－16＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y2＝－16，y1＋y2＝8t，x1＋x2＝t(y1＋y2)＋4＝8t2＋4，x1x2＝t2y1y2＋2t(y1＋y2)＋4＝－16t2＋16t2＋4＝4.
·＝(x1＋2，y1－2)·(x2＋2，y2－2)＝x1x2＋2(x1＋x2)＋4＋y1y2－2(y1＋y2)＋4
＝4＋16t2＋8＋4－16－16t＋4＝16t2－16t＋4＝4(2t－1)2＝0，解得t＝，所以k＝＝2.
12．、 已知函数f(x)＝cos xsin 2x，下列结论中错误的是( )
A．y＝f(x)的图像关于点(π，0)中心对称
B．y＝f(x)的图像关于直线x＝对称
C．f(x)的最大值为
D．f(x)既是奇函数，又是周期函数
12．C [解析] 因为对任意x，f(π－x)＋f(π＋x)＝cos xsin 2x－cos xsin 2x＝0，故函数f(x)图像关于点(π，0)中心对称；因为对任意x恒有f(π－x)＝cos xsin 2x＝f(x)，故函数f(x)图像关于直线x＝对称；f(－x)＝－f(x)，f(x＋2π)＝f(x)，故f(x)既是奇函数也是周期函数；对选项C中，f(x)＝2cos2xsin x＝2(1－sin2x)sin x，令t＝sin x∈[－1，1]，设y＝(1－t2)t＝－t3＋t，y′＝－3t2＋1，可得函数y的极大值点为t＝，所以y在上的极大值为－＋＝，函数的端点值为0，故函数y在区间的最大值为，函数f(x)的最大值为，所以选项C中的结论错误．
13． 已知α是第三象限角，sin α＝－，则cot α＝________．
13．2 [解析] cosα＝－＝－，所以cotα＝＝2 .
14．、 6个人排成一行，其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有________种．(用数字作答)
14．480 [解析] 先排另外四人，方法数是A，再在隔出的五个位置安插甲乙，方法数是A，根据乘法原理得不同排法共有AA＝24×20＝480种．
15． 记不等式组所表示的平面区域为D.若直线y＝a(x＋1)与D有公共点，则a的取值范围是________．
15. [解析] 已知不等式组表示的平面区域如图1－2中的三角形ABC及其内部，直线y＝a(x＋1)是过点(－1，0)斜率为a的直线，该直线与区域D有公共点时，a的最小值为MA的斜率，最大值为MB的斜率，其中点A(1，1)，B(0，4)，故MA的斜率等于＝，MB的斜率等于＝4，故实数a的取值范围是.
16．、 已知圆O和圆K是球O的大圆和小圆，其公共弦长等于球O的半径，OK＝，且圆O与圆K所在的平面所成的一个二面角为60°，则球O的表面积等于________．
16．16π [解析] 设两圆的公共弦AB的中点为D，则KD⊥DA，OD⊥DA，∠ODK即为圆O和和圆K所在平面所成二面角的平面角，所以∠ODK＝60°.由于O为球心，故OK垂直圆K所在平面，所以OK⊥KD.在直角三角形ODK中，＝sin60°，即OD＝×＝ ，设球的半径为r，则DO＝r，所以r＝，所以r＝2，所以球的表面积为4πr2＝16π.
17．、 等差数列{an}前n项和为Sn.已知S3＝a，且S1，S2，S4成等比数列，求{an}的通项公式．
17．解：设{an}的公差为d.
由S3＝a，得3a2＝a，故a2＝0或a2＝3.
由S1，S2，S4成等比数列得S＝S1S4.
又S1＝a2－d，S2＝2a2－d，S4＝4a2＋2d，
故(2a2－d)2＝(a2－d)(4a2＋2d)．
若a2＝0，则d2＝－2d2，所以d＝0，
此时Sn＝0，不合题意；
若a2＝3，则(6－d)2＝(3－d)(12＋2d)，
解得d＝0或d＝2.
因此{an}的通项公式为an＝3或an＝2n－1.
18．、 设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，(a＋b＋c)(a－b＋c)＝ac.
(1)求B；
(2)若sin Asin C＝，求C.
18．解：(1)因为(a＋b＋c)(a－b＋c)＝ac，所以a2＋c2－b2＝－ac.
由余弦定理得cos B＝＝－，
因此B＝120°.
(2)由(1)知A＋C＝60°，所以
cos(A－C)＝cos Acos C＋sin Asin C
＝cos Acos C－sin Asin C＋2sin Asin C
＝cos(A＋C)＋2sin Asin C
＝＋2×
＝，
故A－C＝30°或A－C＝－30°，
因此C＝15°或C＝45°.
19．、 如图，四棱锥P－ABCD中，∠ABC＝∠BAD＝90°，BC＝2AD，△PAB和△PAD都是等边三角形．
(1)证明：PB⊥CD；
(2)求二面角A－PD－C的大小．
19．解：(1)取BC的中点E，联结DE，则四边形ABED为正方形．
过P作PO⊥平面ABCD，垂足为O.
联结OA，OB，OD，OE.
由△PAB和△PAD都是等边三角形知PA＝PB＝PD，
所以OA＝OB＝OD，即点O为正方形ABED对角线的交点，
故OE⊥BD，从而PB⊥OE.
因为O是BD的中点，E是BC的中点，所以OE∥CD.因此PB⊥CD.
(2)解法一：由(1)知CD⊥PB，CD⊥PO，PB∩PO＝P，
故CD⊥平面PBD.
又PD⊂平面PBD，所以CD⊥PD.
取PD的中点F，PC的中点G，连FG.
则FG∥CD，FG⊥PD.
联结AF，由△APD为等边三角形可得AF⊥PD.
所以∠AFG为二面角A－PD－C的平面角．
联结AG，EG，则EG∥PB.
又PB⊥AE，所以EG⊥AE.
设AB＝2，则AE＝2 ，EG＝PB＝1，
故AG＝＝3，
在△AFG中，FG＝CD＝，AF＝，AG＝3.
所以cos∠AFG＝＝－.
因此二面角A－PD－C的大小为π－arccos.
解法二：由(1)知，OE，OB，OP两两垂直．
以O为坐标原点，的方向为x轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系O－xyz.
设||＝2，则
A(－，0，0)，D(0，－，0)，
C(2 ，－，0)，P(0，0，)，
＝(2 ，－，－)，＝(0，－，－)，
＝(，0，)，＝(，－，0)．
设平面PCD的法向量为1＝(x，y，z)，则
1·＝(x，y，z)·(2 ，－，－)＝0，
1·＝(x，y，z)·(0，－，－)＝0，
可得2x－y－z＝0，y＋z＝0.
取y＝－1，得x＝0，z＝1，故1＝(0，－1，1)．
设平面PAD的法向量为2＝(m，p，q)，则
2·＝(m，p，q)·(，0，)＝0，
2·＝(m，p，q)·(，－，0)＝0，
可得m＋q＝0，m－p＝0.
取m＝1，得p＝1，q＝－1，故2＝(1，1，－1)．
于是cos〈，2〉＝＝－.
由于〈，2〉等于二面角A－PD－C的平面角，所以二面角A－PD－C的大小为π－arccos
.
20．、 甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判．设各局中双方获胜的概率均为，各局比赛的结果相互独立，第1局甲当裁判．
(1)求第4局甲当裁判的概率；
(2)X表示前4局中乙当裁判的次数，求X的数学期望．
20．解：(1)记A1表示事件“第2局结果为甲胜”，
A2表示事件“第3局甲参加比赛，结果为甲负”，
A表示事件“第4局甲当裁判”．
则A＝A1·A2.
P(A)＝P(A1·A2)＝P(A1)P(A2)＝.
(2)X的可能取值为0，1，2.
记A3表示事件“第3局乙和丙比赛时，结果为乙胜丙”，
B1表示事件“第1局结果为乙胜丙”，
B2表示事件“第2局乙和甲比赛时，结果为乙胜甲”，
B3表示事件“第3局乙参加比赛时，结果为乙负”．
则P(X＝0)＝P(B1·B2·A3)＝P(B1)P(B2)P(A3)＝，
P(X＝2)＝P(B1·B3)＝P(B1)P(B3)＝，
P(X＝1)＝1－P(X＝0)－P(X＝2)＝1－－＝，
E(X)＝0·P(X＝0)＋1·P(X＝1)＋2·P(X＝2)＝.
21．、、 已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为3，直线y＝2与C的两个交点间的距离为.
(1)求a，b；
(2)设过F2的直线l与C的左、右两支分别交于A，B两点，且|AF1|＝|BF1|，证明：|AF2|，|AB|，|BF2|成等比数列．
21．解：(1)由题设知＝3，即＝9，故b2＝8a2.
所以C的方程为8x2－y2＝8a2.
将y＝2代入上式，求得x＝±.
由题设知，2 ＝，解得a2＝1.
所以a＝1，b＝2 .
(2)证明：由(1)知，F1(－3，0)，F2(3，0)，C的方程为8x2－y2＝8.①
由题意可设l的方程为y＝k(x－3)，|k|＜2 ，代入①并化简得
(k2－8)x2－6k2x＋9k2＋8＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
x1≤－1，x2≥1，
x1＋x2＝，x1x2＝.
于是|AF1|＝＝＝－(3x1＋1)，
|BF1|＝＝＝3x2＋1.
由|AF1|＝|BF1|得－(3x1＋1)＝3x2＋1，即x1＋x2＝－.
故＝－，解得k2＝，从而x1x2＝－.
由于|AF2|＝＝＝1－3x1，
|BF2|＝＝＝3x2－1，
故|AB|＝|AF2|－|BF2|＝2－3(x1＋x2)＝4，
|AF2|·|BF2|＝3(x1＋x2)－9x1x2－1＝16.
因而|AF2|·|BF2|＝|AB|2，
所以|AF2|，|AB|，|BF2|成等比数列．
22． 已知函数f(x)＝ln(1＋x)－.
(1)若x≥0时f(x)≤0，求λ的最小值；
(2)设数列{an}的通项an＝1＋＋＋…＋，证明：a2n－an＋＞ln 2.
22．解：(1)由已知f(0)＝0，f′(x)＝，f′(0)＝0.
若λ＜，则当0＜x＜2(1－2λ)时，f′(x)＞0，所以f(x)＞0.
若λ≥，则当x＞0时，f′(x)＜0，所以当x＞0时，f(x)＜0.
综上，λ的最小值是.
(2)令λ＝.由(1)知，当x＞0时，f(x)＜0，
即＞ln (1＋x)．
取x＝，则＞ln.
于是a2n－an＋＝
＝
＞ln
＝ln 2n－ln n
＝ln 2.
所以a2n－an＋＞ln 2.
