考点01 集合的运算-2018版典型高考数学试题解读与变式

考点01 集合的运算-2018版典型高考数学试题解读与变式

典型高考数学试题解读与变式2018版 考点一：集合 ‎【考纲要求】‎ ‎（1）集合的含义与表示 ‎①了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系．‎ ‎②能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题．‎ ‎（2）集合间的基本关系 ‎①理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集．‎ ‎②在具体情境中，了解全集与空集的含义．‎ ‎（3）集合的基本运算．‎ ‎①理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集．‎ ‎②理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．‎ ‎③能使用韦恩(Venn)图表达集合间的基本关系及集合的基本运算．‎ ‎【命题规律】‎ 集合在高考中主要考查三方面内容:一是考查集合的概念、集合间的关系;二是考查集合的运算和集合语言的运用,常以集合为载体考查函数、不等式、解析几何等知识;三是以创新题型的形式考查考生分析、解决集合问题的能力.‎ 预计2017年的高考将会继续保持稳定，坚持考查集合运算，命题形式会更加灵活、新颖．‎ ‎【典型高考试题变式】‎ ‎（一）判断集合间的关系 例1.【2015高考重庆】已知集合A=,B=，则（　　）‎ A. B. ‎ C. D.‎ ‎【答案】D ‎【变式1】【例题中的集合、改变，选项不变】已知集合，，则（ ）‎ A. B. ‎ C. D.‎ ‎【答案】D ‎【解析】因为 , 而,故选D.‎ ‎【变式2】【例题的条件不变，结论变为，题型变为填空题】已知集合A=，B=，若，则实数的取值集合为_______. ‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】因为B=，又A=，，所以实数的取值集合为. ‎ ‎（二）集合运算问题 ‎1.【2017新课标】已知集合，，则（ ）‎ A. B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】由可得，则，即，‎ 所以，，‎ 故选A.‎ ‎【方法技巧归纳】集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简再运算，常常借助数轴或韦恩图进行处理.‎ ‎【变式1】【例题中集合中的指数不等式改为对数不等式】已知集合，，则（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】由得，所以，所以，故选B.‎ ‎【变式2】【例题的条件不变，结论变为求，题型改为填空题】已知集合，，则_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由可得，则，即，所以，‎ 因为，所以.‎ ‎（三）集合元素的个数问题 例3.【2015新课标】已知集合，则集合中的元素个数为( )‎ ‎ A. 5 B.4 ‎ C.3 D.2‎ ‎【答案】D ‎【解析】由条件知，当时，；当时，，故,故选D.‎ ‎【方法技巧归纳】集合中元素具有：互异性、确定性、无序性.有限集合的子集个数是；真子集个数是；非空子集个数是；非空真子集个数是．‎ ‎【变式1】【改变例题中的集合，结论不变】已知集合，则集合中的元素个数为_______. ‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】由条件知，当时，；当时，；当时，，‎ 故,故集合中的元素个数为2.‎ ‎【变式2】【改例题中的条件和结论】已知集合，，则集合中元素的个数为_______.‎ ‎【答案】5‎ ‎【解析】则集合中元素的个数为5个. ‎ ‎（四）集合中的创新题 例4.【2015·湖北】已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤1，x，y∈Z}，B＝{(x，y)||x|≤2，|y|≤2，x，y∈Z}，定义集合AB＝{(x1＋x2，y1＋y2)|(x1，y1)∈A，(x2，y2)∈B}，则AB 中元素的个数为(　　)‎ A．77 B．49 ‎ C．45 D．30‎ ‎【答案】C ‎【解析】如图，集合A表示如图所示的所有圆点“”，集合B表示如图所示的所有圆点“”＋所有圆点“”，集合AB显然是集合{(x，y)||x|≤3，|y|≤3，x，y∈Z}中除去四个点{(－3，－3)，(－3,3)，(3，－3)，(3,3)}之外的所有整点(即横坐标与纵坐标都为整数的点)，即集合AB表示如图所示的所有圆点“”＋所有圆点“”＋所有圆点“”，共45个．故AB中元素的个数为45.故选C.‎ ‎【方法技巧归纳】解决集合创新型问题的方法：‎ ①紧扣新定义．首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义型集合问题难点的关键所在．‎ ②用好集合的性质．集合的性质(概念、元素的性质、运算性质等)是破解新定义型集合问题的基础，也是突破口，在解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的性质．‎ ‎【变式1】对于任意两个正整数m，n，定义运算(用⊕表示运算符号)：当m，n都是正偶数或都是正奇数时，m⊕n＝m＋n；当m，n中一个为正偶数，另一个为正奇数时，m⊕n＝m×n.例如4⊕6＝4＋6＝10,3⊕7＝3＋7＝10,3⊕4＝3×4＝12.在上述定义中，集合M＝{(a，b)|a⊕b＝12，a，b∈N*}的元素有________个．‎ ‎【答案】15‎ ‎【解析】m，n同奇同偶时有11组：(1,11)，(2,10)，…，(11,1)；m，n一奇一偶时有4组：(1,12)，(12,1)，(3,4)，(4,3)，所以集合M的元素共有15个．‎ ‎ 【变式2】如图所示的Venn图中，A，B是非空集合，定义集合A#B 为阴影部分表示的集合．若x，y∈R，A＝{x|y＝}，B＝{y|y＝3x，x>0}，则A#B为(　　)‎ A．{x|02}‎ ‎【答案】D ‎【解析】因为A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|y>1}，A∪B＝{x|x≥0}，A∩B＝{x|12}，故选D.‎ ‎【数学思想】‎ ‎1.数形结合思想 数轴和Venn图是进行交、并、补集运算的有力工具，数形结合是解集合问题的常用方法，解题时要先把集合中各种形式的元素化简，使之明确化，尽可能地借助数轴、直角坐标系或Venn图等工具，将抽象的代数问题具体化、形象化、直观化，然后利用数形结合的思想方法解题．‎ ‎2.转化与化归思想 在集合的运算关系和两个集合的包含关系之间往往存在一定的联系，在一定的情况下可以相互转化，如A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔∁UA⊇∁UB⇔A∩(∁UB)＝∅，在解题中运用这种转化能有效地简化解题过程．‎ ‎【处理集合问题注意点】‎ ‎1.认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解的两个先决条件．‎ ‎2.要注意区分元素与集合的从属关系；以及集合与集合的包含关系．‎ ‎3.易忘空集的特殊性，在写集合的子集时不要忘了空集和它本身．‎ ‎4.运用数轴图示法易忽视端点是实心还是空心．‎ ‎5.在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，‎ 否则很可能会因为不满足“互异性”而导致解题错误．‎ ‎【典例试题演练】‎ ‎1.【2017云南、四川、贵州百校大联考】设集合，，则等于（ ）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】 ，，.故选C.‎ ‎2.【2017湖北省黄石市调研】已知集合，则（ ）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】，故选D.‎ ‎3.【2017江西南昌市模拟】集合，，则（ ）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】，，所以，，故选B.‎ ‎4.【2017江西九江地区联考】已知集合，，若，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】因为，,所以，故选C.‎ ‎5.【2017广东海珠区测试】已知集合，，若，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎ ‎6.【2017河北省衡水中学第三次调】已知集合，集合中至少有3个元素，则（ ）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】因为集合中至少有3个元素，所以，所以，故选C．‎ ‎7.【湖北2017届百所重点校高三联考】已知集合，若，则等于（ ）‎ A．2 B．3 ‎ C．2或3 D．2或4‎ ‎【答案】C ‎【解析】因为且，故,故选C.‎ ‎8.【2017四川巴中“零诊”】已知全集，集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（ ）‎ A. B． ‎ C． D． ‎ ‎【答案】A ‎【解析】由图可知，，故选A.‎ ‎9.已知全集，集合，是的子集，且，则必有（ ）‎ A. B. ‎ ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎10.已知集合，则满足条件的集合的个数为（ ）‎ A. 1 B. 2 ‎ C. 3 D. 4‎ ‎【答案】D ‎11.【2017湖北百所重点校高三联考】已知集合，‎ ‎，则的元素个数是___________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由于集合是圆心在坐标原点，半径为的圆周，集合是开口向上顶点在圆上的点上的抛物线，结合图象可知两个曲线的交点有三个.故应填.‎ ‎12.【2017河北唐山模拟】已知集合，则 中元素的个数是（ ）‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】当时，；当时，；当时，；当时，，所以，所以，故中元素的个数是3．‎ ‎13.已知集合，，则 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由可得，则，即，因为，‎ 所以，所以.‎ ‎14.【2017江西九江地区联考】设，是非空集合，定义且，已知，，则_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】，，，所以.‎ ‎15.设集合，，若，则实数的取值范围是 .‎ ‎【答案】‎ ‎ ‎