2019-2020学年四川省棠湖中学高一下学期第二次月考数学试题（解析版）

2019-2020学年四川省棠湖中学高一下学期第二次月考数学试题（解析版）

‎2019-2020学年四川省棠湖中学高一下学期第二次月考数学试题 一、单选题 ‎1．（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】利用诱导公式得出，然后利用两角差的余弦公式可得出结果.‎ ‎【详解】‎ ‎.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用两角差的余弦公式求值，涉及诱导公式的应用，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎2．（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】利用两角和的正弦公式, 将化简,利用特殊角的三角函数值代入即可求得.‎ ‎【详解】‎ 法一：‎ ‎.‎ 法二：‎ 故选:.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查两角和的正弦公式,关键在于熟记公式,准确化简,难度较易.‎ ‎3．下列说法正确的是（ ）‎ A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则不是共线向量 ‎【答案】C ‎【解析】利用向量概念判断A,利用共线向量判断B,C,D ‎【详解】‎ 向量不能比较大小，所以A不正确；需满足两个条件：同向且，所以B不正确；C正确；若是共线向量，则方向相同或相反，D不正确.‎ 故选：C ‎【点睛】‎ 本题考查向量的基本概念，向量共线的判定，是基础题 ‎4．已知角α终边上一点M的坐标为，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据题意，结合所在象限，得到和的值，再根据公式，求得答案.‎ ‎【详解】‎ 由角终边上一点M的坐标为，‎ 得，，‎ 故，‎ 故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查已知角的终边求对应的三角函数值，二倍角公式，属于简单题.‎ ‎5．在△中，为边上的中线，为的中点，则 A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析：首先将图画出来，接着应用三角形中线向量的特征，求得，之后应用向量的加法运算法则-------三角形法则，得到，之后将其合并，得到，下一步应用相反向量，求得，从而求得结果.‎ 详解：根据向量的运算法则，可得 ‎ ，‎ 所以，故选A.‎ 点睛：该题考查的是有关平面向量基本定理的有关问题，涉及到的知识点有三角形的中线向量、向量加法的三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题，在解题的过程中，需要认真对待每一步运算.‎ ‎6．若平面向量与的夹角为，，，则向量的模为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】，，又，，则，故选 ‎7．已知，则的值是( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】 。故选B。‎ ‎8．已知两个非零单位向量的夹角为，则下列结论不正确的是（ ）‎ A．不存在，使 B．‎ C．， D．在方向上的投影为 ‎【答案】D ‎【解析】A中，由平面向量数量积的定义，判断即可；B中，由平面向量模长的定义，判断即可；C中，根据平面向量数量积与垂直的定义，判断即可；D中，根据单位向量以及向量投影的定义，计算即可；‎ ‎【详解】‎ 对于A，因为两个非零单位向量所以 ＝1×1×cosθ＝cosθ≤1，∴A正确．‎ 对于B，因为两个非零单位向量＝1，B正确；‎ 对于C，因为两个非零单位向量且 ，所以∴C正确；‎ 对于D，因为两个非零单位向量，所以 在方向上的投影为||cosθ＝cosθ，D错误；‎ 故选D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了平面向量的数量积与单位向量的定义和应用问题，也考查了模长与投影问题，属于基础题．‎ ‎9．在中，角的对边分别为，已知，则的大小是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】∵，∴，‎ 又，∴，又为三角形的内角，所以，故 ‎。选C。‎ ‎10．已知函数，则的最大值为( )‎ A．3 B．1 C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】函数.‎ 当时有最大值3.‎ 故选A.‎ ‎11．已知奇函数满足，则的取值可能是（ ）‎ A．4 B．6 C．8 D．12‎ ‎【答案】B ‎【解析】由是奇函数知,可得,由知关于对称, 即可得出,进而解得,根据选项即可的出答案.‎ ‎【详解】‎ 由是奇函数得，所以，‎ 又因为得关于对称，‎ 所以，解得.‎ 所以当时，得.‎ 故选:.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了三角函数的图象和性质,着重考查在已知的奇偶性,对称轴时求的问题,难度较易.‎ ‎12．在中，角，，所对的边分别为，，，，则的面积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：通过表达式并结合余弦定理，可求得；利用同角三角函数关系式，求出；根据即可求得三角形的面积。‎ 详解：由余弦定理可知 而 所以 得 ，所以 ‎ 又因为 所以 ‎ 所以选C 点睛：本题考查了余弦定理的综合应用，同角三角函数关系式、三角形面积公式的应用，各公式间相互交错，熟练掌握每个式子的用法，是简单题。‎ 二、填空题 ‎13．的周长等于，则其外接圆直径等于__________．‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】根据正弦定理求解.‎ ‎【详解】‎ 因为的周长等于，所以，因此由正弦定理得，即外接圆直径等于3.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查正弦定理，考查基本分析求解能力，属基础题.‎ ‎14．已知，，实数满足，则________.‎ ‎【答案】1或 ‎【解析】根据向量模的坐标计算，可得结果.‎ ‎【详解】‎ 由题意可得：‎ ‎,‎ ‎,‎ 解得或.‎ 故答案为：1或 ‎【点睛】‎ 本题主要考查向量模的坐标计算，属基础题.‎ ‎15．__________.‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】，‎ ‎.‎ 故答案为1‎ 点睛：三角函数式的化简要遵循“三看”原则:一看角，这是重要一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式 ；二看函数名称，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有切化弦；三看结构特征，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，如遇到分式要通分等.‎ ‎16．在中，内角所对的边分别为，是的中点，若 且，则面积的最大值是___‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意及正弦定理得到，于是可得，；然后在和中分别由余弦定理及可得．在此基础上可得，再由基本不等式得到，于是可得三角形面积的最大值．‎ ‎【详解】‎ 如图，设，则,‎ 在和中，分别由余弦定理可得，‎ 两式相加，整理得，‎ ‎∴．①‎ 由及正弦定理得，‎ 整理得，②‎ 由余弦定理的推论可得，所以．‎ 把①代入②整理得，‎ 又，当且仅当时等号成立，‎ 所以，故得．‎ 所以．‎ 即面积的最大值是．‎ 故答案为．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查解三角形在平面几何中的应用，解题时注意几何图形性质的合理利用．对于三角形中的最值问题，求解时一般要用到基本不定式，运用时不要忽视等号成立的条件．本题综合性较强，考查运用知识解决问题的能力和计算能力．‎ 三、解答题 ‎17．四边形中，，，．‎ ‎（1），试求与满足的关系式；‎ ‎（2）满足（1）的同时又有，求的值和四边形的面积．‎ ‎【答案】(1) (2) 或；．‎ ‎【解析】（1）利用向量的加法求出的坐标，再根据得到与满足的关系式；‎ ‎（2）根据得到的关系，结合（1）中的关系，得到的两种取值，再分求出代入面积公式，求得四边形的面积.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）依题意： ‎ ‎∵ ∴，‎ 即：，得；‎ ‎（2），‎ 当时，，得：，‎ 代入，解方程得：或，故或；‎ 当时，则，‎ 此时求得：；‎ ‎②当时，则，‎ 此时求得：；‎ ‎∴．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查向量平行、向量垂直的坐标运算及对角线互相垂直的四边形的面积求法，考查基本的运算求解能力，注意求解过程中有两组解，所以求面积时要分情况讨论.‎ ‎18．已知是第三象限角， .‎ ‎（1）化简；‎ ‎（2）若，求的值；‎ ‎（3）若，求的值.‎ ‎【答案】（1）；（2）；（3）‎ ‎【解析】（1）利用三角函数的诱导公式进行化简，即可得到答案；‎ ‎（2）由诱导公式，化简得，进而利用三角函数的基本关系式，求得的值，即可求解；‎ ‎（3）利用诱导公式，化简，即可求解，得到答案.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题意，利用三角函数的诱导公式，‎ 化简得.‎ ‎（2）由诱导公式，得，且，‎ 所以，‎ 又因为是第三象限角，所以，‎ 所以.‎ ‎（3）因为，则 ‎.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了三角函数的诱导公式的化简、求值问题，其中解答中熟记三角函数的诱导公式，合理准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎19．已知函数.‎ ‎（1）求的单调递减区间；‎ ‎（2）若在区间上的最小值为，求的最大值.‎ ‎【答案】（1）； （2）.‎ ‎【解析】(1)根据题意利用降幂公式与和差角公式将函数化简为,再求解单调区间即可.‎ ‎(2)根据三角函数图像求解分析即可.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题意知：‎ 化简得：‎ 当单调递减时，‎ 解得：‎ 即函数的单调递减区间为.‎ ‎（2）当在区间上的最小值为时，‎ 存在，‎ 使得，‎ 即，‎ 解得：，‎ 则时，存在.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了三角函数的公式运用以及图像的性质,属于中等题型.‎ ‎20．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且asin B＝－bsin.‎ ‎(1)求A；‎ ‎(2)若△ABC的面积S＝c2，求sin C的值．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】（1）利用正弦定理化简已知等式即得A=.(2)先根据△ABC的面积S＝c2得到b＝c，‎ 再利用余弦定理得到a＝c，再利用正弦定理求出sin C的值．‎ ‎【详解】‎ ‎(1)因为asin B＝－bsin，所以由正弦定理得sin A＝－sin，‎ 即sin A＝－sin A－cos A，化简得tan A＝－，‎ 因为A∈(0，π)，所以A＝.‎ ‎(2)因为A＝，所以sin A＝，由S＝c2＝bcsin A＝bc，得b＝c，‎ 所以a2＝b2＋c2－2bccos A＝7c2，则a＝c，由正弦定理得sin C＝.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查三角恒等变换，考查正弦定理余弦定理解三角形，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.‎ ‎21．在锐角三角形中，角所对的边分别为，已知.‎ ‎（1）求角的大小；‎ ‎（2）求的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】试题分析：（1）由正弦定理转化为关于边的条件，再由余弦定理，求角即可；‎ ‎（2）利用二倍角公式化简，得到正弦型三角函数，分析角的取值范围，即可求出三角函数的取值范围.‎ 试题解析：（1）因为，由正弦定理得 ‎，即，‎ 则 根据余弦定理得 又因为，所以 ‎（2）因为，所以 则 因为三角形为锐角三角形且，所以 则 所以，‎ 所以 即的取值范围为 点睛：解决三角形中的角边问题时，要根据条件选择正余弦定理，将问题转化统一为边的问题或角的问题，利用三角中两角和差等公式处理，特别注意内角和定理的运用，涉及三角形面积最值问题时，注意均值不等式的利用，特别求角的时候，要注意分析角的范围，才能写出角的大小.‎ ‎22．某地为响应习总书记关于生态文明建设的指示精神，大力开展“青山绿水”工程，造福于民.为此，当地政府决定将一扇形（如图）荒地改造成市民休闲中心，其中扇形内接矩形区域为市民健身活动场所，其余区域（阴影部分）改造为景观绿地（种植各种花草）.已知该扇形的半径为200米，圆心角，点在上，点在上，点在弧上，设.‎ ‎（1）若矩形是正方形，求的值；‎ ‎（2）为方便市民观赏绿地景观，从点处向修建两条观赏通道和（宽度不计），使，，其中依而建，为让市民有更多时间观赏，希望最长，试问：此时点应在何处？说明你的理由.‎ ‎【答案】（1）矩形是正方形时，（2）当是的中点时，最大 ‎【解析】试题分析：（1）因为四边形是扇形的内接正方形，所以，注意到，代入前者就可以求出. （2）由题设可由，，利用两角差的正弦和辅助角公式把化成 的形式，从而求出的最大值.‎ ‎ 解析：（1）在中， ，，在中， ， 所以，因为矩形是正方形，，所以，所以，所以 ． ‎ ‎（2）因为所以， ，．所以, 即时，最大，此时是的中点． ‎ 答：（1）矩形是正方形时，；‎ ‎（2）当是的中点时，最大． ‎