2019-2020学年吉林省长春市东北师大附中净月校区高一上学期第一次质检数学试题（解析版）

2019-2020学年吉林省长春市东北师大附中净月校区高一上学期第一次质检数学试题（解析版）

‎2019-2020学年吉林省长春市东北师大附中净月校区高一上学期第一次质检数学试题 一、单选题 ‎1．下列表示正确的是( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】利用元素与集合的关系直接求解．‎ ‎【详解】‎ 在A中，0∈N，故A正确；‎ 在B中，，故B错误；‎ 在C中，﹣3∉N，故C错误；‎ 在D中，π∉Q，故D错误．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查命题真假的判断，考查元素与集合的关系等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．‎ ‎2．函数的定义域是( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据函数成立的条件即可求出函数定义域．‎ ‎【详解】‎ 要使函数有意义，则2﹣x≥0，‎ 即x≤2．‎ 故函数的定义域为．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查函数定义域的求法，要求熟练掌握常见函数成立的条件，比较基础．‎ ‎3．设集合，则=‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】试题分析：由补集的概念，得，故选C．‎ ‎【考点】集合的补集运算 ‎【名师点睛】研究集合的关系，处理集合的交、并、补的运算问题，常用韦恩图、数轴等几何工具辅助解题．一般地，对离散的数集、抽象的集合间的关系及运算，可借助韦恩图，而对连续的集合间的运算及关系，可借助数轴的直观性，进行合理转化．‎ ‎4．函数的单调递增区间为( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】判断函数的对称轴以及开口方向，然后求解即可．‎ ‎【详解】‎ 函数的开口向下，对称轴为x＝1，函数的单调递增区间是．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查二次函数的简单性质的应用，考查计算能力．‎ ‎5．已知集合，，则( )‎ A． B．或 C．或 D．或 ‎【答案】B ‎【解析】可以求出集合A，B，然后进行交集的运算即可．‎ ‎【详解】‎ ‎∵A＝{x|x≤﹣2，或x≥2}，B＝{x|x＜0，或x＞3}，‎ ‎∴A∩B＝{x|x≤﹣2，或x＞3}．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 考查描述法的定义，绝对值不等式和一元二次不等式的解法，以及交集的运算．‎ ‎6．以下选项正确的是（ ）‎ A．是的充分条件 B．是的必要条件 C．是的必要条件 D．是的充要条件 ‎【答案】B ‎【解析】若，此时，但是不满足，选项A错误；‎ 若，此时，但是不满足，选项C错误；‎ 若，此时，但是不满足，选项D错误；‎ 本题选择B选项.‎ ‎7．下列各式中成立的是( )‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】由指数的运算法则和根式与分数指数幂的互化，A中应为；B中等式左侧为正数，右侧为负数；C中x＝y＝1时不成立，排除法即可得答案．‎ ‎【详解】‎ A中应为；‎ B中等式左侧为正数，右侧为负数；‎ C，x＝y＝1时不成立错误．‎ D中正确；‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查根式与分数指数幂的互化、指数的运算法则，考查运算能力．‎ ‎8．下列四个函数中，在上为增函数的是（ ）．‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】A，B可直接通过一次函数的单调性和二次函数的单调性进行判断；C利用以及平移的思路去判断；D根据的图象的对称性判断.‎ ‎【详解】‎ A．在上是减函数，不符合；‎ B．在上是减函数，在上是增函数，不符合；‎ C．可认为是向左平移一个单位所得，所以在上是增函数，符合；‎ D．图象关于轴对称，且在上是增函数，在上是减函数，不符合；‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】‎ ‎（1）一次函数、反比例函数的单调性直接通过的正负判断；‎ ‎（2）二次函数的单调性判断要借助函数的对称轴和开口方向判断；‎ ‎（3）复杂函数的单调性判断还可以通过平移、翻折等变换以及图象进行判断.‎ ‎9．已知函数，，则函数的最小值为（ ）‎ A．3 B．2 C．6 D．0‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据函数在给定区间上的单调性可求得最小值．‎ ‎【详解】‎ 由题意得，‎ ‎∴函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，‎ ‎∴当时，函数取得最小值，且．‎ 故选B．‎ ‎【点睛】‎ 求二次函数在给定区间上的最值时，一般要根据函数图象的开口方向和对称轴与区间的关系，运用数形结合的方法求解，考查分析判断能力和数形结合方法的运用．‎ ‎10．已知函数是定义在上的奇函数，且满足，当时，，则当时，的最小值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据题意，求得函数是以4为周期的周期函数，进而利用时，函数 的解析式和函数的奇偶性，即可求解上的最小值，得到答案．‎ ‎【详解】‎ 由题意知，即，‎ 则，‎ 所以函数是以4为周期的周期函数，‎ 又当时，，且是定义在上的奇函数，‎ ‎∴时，，‎ ‎∴当时，，‎ 所以当时，函数的最小值为.‎ 故选B．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了函数周期性的判定及应用，以及函数的奇偶性的应用，其中解答中熟练应用函数周期性的判定方法，得出函数的周期是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．‎ 二、填空题 ‎11．函数是定义在上的奇函数，当时，，则当时，__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据题意由﹣x＞0及f（﹣x）＝﹣f（x）可求．‎ ‎【详解】‎ ‎∵当x＞0时，，‎ 设x＜0则﹣x＞0‎ ‎∴f（﹣x）＝‎ 由函数f（x）为奇函数可得﹣f（﹣x）＝f（x）‎ ‎∴f（x）＝‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了利用函数的奇偶性求解函数的解析式，解题中要注意函数的定义域是R，不用漏掉对x＝0时的考虑．‎ ‎12．若函数，且，则 ．‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎【考点】函数值.‎ ‎13．已知函数在上单调递增，则的取值范围是________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由分段函数在各子区间单调递增，衔接点处满足递增，可得关于的不等式组，，由此求得实数的取值范围.‎ ‎【详解】‎ 函数在上单调递增，‎ 又函数的对称轴；‎ 解得；‎ 故答案为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查分段函数单调性，已知分段函数的单调性确定参数的值或范围要注意以下两点：‎ ‎（1）若函数在区间上单调，则该函数在此区间的任意子区间上都是单调的；‎ ‎（2）在分段函数的衔接点的取值也满足单调性.‎ ‎14．已知函数，若互不相等的实数满足，则的取值范围是________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】作函数的图象，从而利用数形结合求解即可．‎ ‎【详解】‎ 作函数的图象，不妨设 ‎，则，当 ‎ 则 故答案为： ‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了函数与方程的应用，考查数形结合的思想应用，利用二次函数对称性及寻找临界位置是关键 三、解答题 ‎15．已知函数的定义域为集合，集合 ‎ ‎（1）当时，求；‎ ‎（2）若，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）A∪B＝[﹣4，3]；（2）m≤﹣2‎ ‎【解析】（1）先求出集合A，再将m＝﹣2代入集合B，最后求A∪B；‎ ‎（2）根据集合包含关系可求；‎ ‎【详解】‎ 由题得，故A＝{x|1＜x≤3}，‎ ‎（1）当m＝﹣2时，B＝{x|﹣4≤m≤3}，所以A∪B＝[﹣4，3]；‎ ‎（2）因为A⊆B，则B≠∅，所以，解得m≤﹣2；‎ ‎【点睛】‎ 本题考查集合包含关系的判定，涉及函数定义域，含参数集合的取值判定，属于基本题．‎ ‎16．已知关于的不等式 ‎（1）若时,求不等式的解集 ‎（2）为常数时,求不等式的解集 ‎【答案】（1）；（2）答案见解析。‎ ‎【解析】（1）结合二次不等式对应的二次函数及二次方程进行求解即可得到所求解集；（2）对参数进行分类讨论，并结合“三个二次”的关系求解．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）当时，不等式为，‎ 即(，‎ 解得．‎ 所以不等式的解集为．‎ ‎（2）当为常数时，由题意得原不等式为，‎ 不等式对应方程的两根为，．‎ ‎①当时，则，解得；‎ ‎②当时，不等式为，解得；‎ ‎③当时，则，解得．‎ 综上可得，当时，不等式的解集为；‎ 当时，不等式的解集为；‎ 当时，不等式的解集为．‎ ‎【点睛】‎ ‎（1）解一元二次不等式时，当二次项系数为负时要先化为正，再根据判别式符号判断对应方程根的情况，然后结合相应二次函数的图象写出不等式的解集．‎ ‎（2）解含参数的一元二次不等式，要把握好分类讨论的层次，一般按下面次序进行讨论：首先根据二次项系数的符号进行分类，其次根据不等式的判别式的符号进行分类，最后在根存在的条件下，再根据根的大小进行分类．‎ ‎17．已知函数是奇函数，且.‎ ‎（1）求实数的值；‎ ‎（2）判断函数在上的单调性，并加以证明.‎ ‎【答案】（1）a＝1；b＝0（2）函数f（x）在（﹣∞，）上单调递增；证明见解析 ‎【解析】（1）运用奇函数的定义，可得b＝0；再由代入法，解方程可得a；‎ ‎（2）函数f（x）在（﹣∞，上单调递增；运用定义法证明，注意取值、作差和变形、定符号和下结论．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）函数是奇函数，且，‎ 可得f（﹣x）＝﹣f（x），‎ 即为，‎ 可得﹣3x+b＝﹣3x﹣b，‎ 解得b＝0；‎ 又，‎ 解得a＝1；‎ ‎（2）函数f（x）在（﹣∞，）上单调递增；‎ 理由：设x1＜x2，‎ 则f（x1）﹣f（x2）（x1）（x2）‎ ‎（x1﹣x2）（），‎ 由x1＜x2‎ 可得x1﹣x2＜0，x1x2＞2，‎ 则f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），‎ 则f（x）在（﹣∞， 上单调递增．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数的奇偶性的定义和运用，考查单调性的判断和证明，运用定义法解题是关键，属于中档题．‎ ‎18．已知函数，若在区间上有最大值1．‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若在上单调，求数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）-1；（2）.‎ ‎【解析】（1）根据函数的开口方向和对称轴，求出函数的单调区间，从而求出函数的最大值是f（2）=1，求出a的值即可；（2）求出f（x）的解析式，求出g（x）的表达式，根据函数的单调性求出m的范围即可．‎ ‎【详解】‎ 因为函数的图象是抛物线，，‎ 所以开口向下，对称轴是直线，‎ 所以函数在单调递减，‎ 所以当时，，‎ 因为，，‎ 所以，‎ ‎，‎ 在上单调，‎ ‎，或.‎ 从而，或 所以，m的取值范围是.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了二次函数的性质，考查函数的单调性、最值问题，是一道中档题;二次函数在小区间上的单调性，需要讨论二次函数对称轴和区间的位置关系,结合函数图像的特点得到函数的单调性，进而得到最值.‎ ‎19．已知函数，且的解集为.‎ ‎（1）求函数的解析式；‎ ‎（2）设，若对任意的都有，求的最小值.‎ ‎【答案】（1）；（2）1.‎ ‎【解析】（1）根据不等式解集,结合不等式与方程的关系,即可求得的值,可得函数解析式.‎ ‎（2）将的解析式代入,求得的解析式.根据奇函数的性质,分类讨论的不同取值情况,求得与.根据即可求得的最小值.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）因为的解集为 所以,是方程的两根 则由韦达定理可得,‎ 解得 所以 ‎（2）,为上的奇函数 当时,‎ 当时,,则函数在上单调递增,在上单调递减,且时,,在时,取得最大值,即；‎ 当时,,则函数在上单调递减,在上单调递减,且时,,在时,取得最小值,即；‎ 对于任意的都有 则等价于 ‎ 即 所以的最小值为1.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了二次函数解析式的求法,分类讨论思想的综合应用,利用函数单调性求函数的最值,属于中档题.‎