浙江省2014届理科数学专题复习试题选编14：函数的极值与导数（教师版）
浙江省 2014 届理科数学专题复习试题选编 14：函数的极值与导数
一、选择题
1 ．（浙江省 2013 年高考模拟冲刺（提优）测试二数学（理）试题）已知函数 qxpxxxf 23)( 与 x 轴
切于 )0( 00 xx 点,且极小值为 4 ,则 p q （ ）
A．12 B．13 C．15 D．16
【答案】C
2 ．（ 浙 江 省 乐 清 市 普 通 高 中 2013 届 高 三 上 学 期 期 末 教 学 质 量 检 测 数 学 （ 理 ） 试 题 ） 设 函 数
2)( xf , 23)( bxaxxg , 若 )(xfy 的 图 像 与 )(xgy 的 图 像 有 且 仅 有 两 个 不 同 的 公 共 点
),( 11 yxA , ),( 22 yxB ,则下列判断正确的是 （ ）
A．当 0a 时, 0,0 2121 xxxx B．当 0a 时, 0,0 2121 xxxx
C．当 0a 时, 0,0 2121 xxxx D．当 0a 时, 0,0 2121 xxxx
【答案】D
3 ．（浙江省十校联合体2013届高三上学期期初联考数学（理）试题）设函数 ( )f x 在 R 上可导,其导函数 ( )f x ,
且函数 ( )f x 在 2x 处取得极小值,则函数 ( )y xf x 的图象可能是
【答案】C
4 ．（浙江省考试院 2013 届高三上学期测试数学（理）试题）设函数 f (x)=x3-4x+a,0
-1 B．x2<0 C．x2>0 D．x3>2
【答案】C
5 ．（ 浙 江 省 杭 州 高 中 2013 届 高 三 第 六 次 月 考 数 学 （ 理 ） 试 题 ） 已 知 函 数
3 2
2
1 , 0( ) 3 1, ( ) 4
6 8, 0
x xf x x x g x x
x x x
,则方程 [ ( )] 0g f x a ( a 为正实数)的根的个数不．
可能．．为 （ ）
A．3 个 B．4 个 C．5 个 D．6 个
【答案】A
6 ．（2013 年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯 WORD 版））已知 e 为自然对数的底数,设函
数 )2,1()1)(1()( kxexf kx ,则 （ ）
A．当 1k 时, )(xf 在 1x 处取得极小值 B．当 1k 时, )(xf 在 1x 处取得极
大值
C．当 2k 时, )(xf 在 1x 处取得极小值 D．当 2k 时, )(xf 在 1x 处取得极
大值
【答案】C
二、解答题
7 ．（ 浙 江 省 五 校 联 盟 2013 届 高 三 下 学 期 第 一 次 联 考 数 学 （ 理 ） 试 题 ） 已 知 函 数
axxaxxf 2)2
1
2
1ln()( a( 为常数, )0a
(1)当 1a 时,求函数 )(xf 在 1x 处的切线方程;
(2)当 )(xfy 在
2
1x 处取得极值时,若关于 x 的方程 0)( bxf 在 2,0 上恰有两个不相等的
实数根,求实数b 的取值范围;
(3)若对任意的 )2,1(a ,总存在
1,2
1
0x ,使不等式 )32()( 2
0 aamxf 成立,求实数 m 的
取值范围.
【答案】(1) 1a 时, xxxxf 2)2
1
2
1ln()(
121
1)(' xxxf ,于是
2
3)1(' f ,又 0)1( f ,即切点为( )0,1
切线方程为 )1(2
3 xy
(2) axax
axf 21)(' ,
01
2
11
)2
1('
a
a
af ,即 022 aa , 2,0 aa
此时,
x
xxxf 21
)12(2)('
,
2
1,0x 上减,
2,2
1 上增,
又
2
5ln)2(,4
3)2
1(,2
1ln)0( fff
2
1ln4
3 b
(3) axax
axf 21)('
ax
aaxx
ax
xaax
1
)2(2
1
)2(2 222
02
)1)(2(
2
1
2
221
2
a
aa
a
aa ,即
2
1
2
22
a
a (
)(xf 在
1,2
1 上增, aafxf 1)2
1
2
1ln()1()( max
只须 )32(1)2
1
2
1ln( 2 aamaa
(法一)设 )32(1)2
1
2
1ln()( 2 aamaaah
1
2)14(22211
1)(
2
'
a
mammammaaah
又 0)1( h )(ah 在 1 的右侧需先增,
8
1,0)1(' mh
设 mammaag 2)14(2)( 2 ,对称轴 14
11
ma
又 02 m , 018)1( mg
在 )2,1( 上, 0)( ag ,即 0)(' ah
)(ah 在 )2,1( 上单调递增, 0)1()( hah
即 )32(1)2
1
2
1ln( 2 aamaa ,
于是 )32()( 2
0 aamxf 8
1m
(法二) 0322 aa 32
1)2
1
2
1ln(
2
aa
aa
m
设 )(ah
32
1)2
1
2
1ln(
2
aa
aa
,
22
2
'
)32(
)22(1)2
1
2
1ln()32(1)(
aa
aaaaaa
a
ah
)1(2
)32(
)2
1
2
1ln()1(2
2
22
2
3
a
aa
aa
aa
设 )2
1
2
1ln()1(2
2)( 2
3
aa
aaag
, 0)1(2
)32)(1()( 3
2
'
a
aaaag
)(ag 在 2,1 上增,又 0)1( g ,
0)( ag ,即 0)(' ah , )(ah 在 )2,1( 上增
又
8
1
22
11
1
32
1)2
1
2
1ln(
limlim 1
2
1
a
a
aa
aa
aa
8
1m
8 ．（2013 届浙江省高考压轴卷数学理试题）已知函数 3 2( ) ( 6 3 ) xf x x x x t e ,t R .
(1)若函数 ( )y f x 依次在 , , ( )x a x b x c a b c 处取到极值.
①求t 的取值范围;
②若 22a c b ,求t 的值.
(2)若存在实数 0,2t ,使对任意的 1,x m ,不等式 ( )f x x 恒成立.求正整数 m 的最大值.
【答案】【解析】
(1)① 2 3 2 3 2( ) (3 12 3) ( 6 3 ) ( 3 9 3)x x xf x x x e x x x t e x x x t e
3 2( ) 3 , 3 9 3 0 3 , , .f x x x x t a b c 有 个极值点 有 个根
3 2 2( ) 3 9 3, '( ) 3 6 9 3( 1)( 3)g x x x x t g x x x x x 令
( ) (- ,-1),(3,+ ) (-1,3)g x 在 上递增, 上递减. ( ) 3 8 24.(3) 0g x tg
g(-1)>0有 个零点
② , , ( )a b c f x 是 的三个极值点
3 2 3 23 9 3 (x-a)(x-b)(x-c)=x ( ) ( )x x x t a b c x ab bc ac x abc
3
9
3
a b c
ab ac bc
t abc
31 ( b (-1,3))2b 或 舍
1 2 3
1 8
1 2 3
a
b t
c
(2)不等式 ( )f x x ,即 3 2( 6 3 ) xx x x t e x ,即 3 26 3xt xe x x x .
转化为存在实数 0,2t ,使对任意的 1,x m ,不等式 3 26 3xt xe x x x 恒成立.
即不等式 3 20 6 3xxe x x x 在 1,x m 上恒成立.
即不等式 20 6 3xe x x 在 1,x m 上恒成立.
设 2( ) 6 3xx e x x ,则 ( ) 2 6xx e x .
设 ( ) ( ) 2 6xr x x e x ,则 ( ) 2xr x e ,因为1 x m ,有 ( ) 0r x .
故 ( )r x 在区间 1,m 上是减函数.又
1 2 3(1) 4 0, (2) 2 0, (3) 0r e r e r e
故存在 0 (2,3)x ,使得 0 0( ) ( ) 0r x x .
当 01 x x 时,有 ( ) 0x ,当 0x x 时,有 ( ) 0x .
从而 ( )y x 在区间 01, x 上递增,在区间 0 ,x 上递减.
又 1 2 3(1) 4 0, (2) 5>0, (3) 6>0,e e e
4 5 6(4) 5>0, (5) 2 0, (6) 3 0.e e e
所以当1 5x 时,恒有 ( ) 0x ;当 6x 时,恒有 ( ) 0x ;
故使命题成立的正整数 m 的最大值为 5.
9 ．（浙江省金丽衢十二校 2013 届高三第二次联合考试理科数学试卷）已知函数
x
axxf ln
)()(
2 (其中 a 为
常数).
(Ⅰ)当 0a 时,求函数的单调区间;
(Ⅱ) 当 10 a 时,设函数 )(xf 的 3 个极值点为 321 xxx ，， ,且 321 xxx .
证明:
e
xx 2
31 .
金丽衢十二校 2012 学年第二次联合考
【答案】解:(Ⅰ)
x
xxxf 2ln
)1ln2()('
令 0)(' xf 可得 ex .列表如下:
x 1,0 e,1 e ,e
xf - - 0 +
xf 减 减 极小值 增
单调减区间为 1,0 , e,1 ;增区间为 ,e
(Ⅱ)由题,
x
x
axax
xf 2ln
)1ln2)((
)('
对于函数 1ln2)(
x
axxh ,有 2
2)('
x
axxh
∴函数 )(xh 在 )2,0( a 上单调递减,在 ),2( a 上单调递增
∵函数 )(xf 有 3 个极值点 321 xxx ,
从而 012ln2)2()(min aahxh ,所以
e
a 2 ,
当 10 a 时, 0ln2)( aah , 01)1( ah ,
∴ 函数 )(xf 的递增区间有 ),( 1 ax 和 ),( 3 x ,递减区间有 ),0( 1x , )1,(a , ),1( 3x ,
此时,函数 )(xf 有 3 个极值点,且 ax 2 ;
∴当 10 a 时, 31, xx 是函数 1ln2)(
x
axxh 的两个零点,
即有
01ln2
01ln2
3
3
1
1
x
ax
x
ax
,消去 a 有 333111 ln2ln2 xxxxxx
令 xxxxg ln2)( , 1ln2)(' xxg 有零点
e
x 1 ,且 31
1 x
e
x
∴函数 xxxxg ln2)( 在 )1,0(
e
上递减,在 ),1(
e
上递增
要证明
e
xx 2
31 13
2 x
e
x )2()( 13 x
e
gxg
31 xgxg 即证 0)2()()2()( 1111 x
e
gxgx
e
gxg
构造函数 )2()( x
e
gxgxF ,
e
F 1 =0
只 需 要 证 明 ]1,0(
e
x 单 调 递 减 即 可 . 而
2)2ln(2ln2 x
e
xxF , 0
)2(
)22(2
''
x
e
x
x
exF xF 在 ]1,0(
e
上 单 调 递 增 ,
01
e
FxF
∴当 10 a 时,
e
xx 2
31
10．（浙江省宁波市鄞州中学 2012 学年高三第六次月考数学（理）试卷 ）已知函数 2
1( ) kxf x x c
( 0c 且
1c , k R )恰有一个极大值点和一个极小值点,
其中一个是 x c .
(1)求函数 ( )f x 的另一个极值点;
(2)求函数 ( )f x 的极大值 M 和极小值 m ,并求 1M m 时, k 的取值范围.
【答案】解:(Ⅰ)
2 2
2 2 2 2
( ) 2 ( 1) 2( ) ( ) ( )
k x c x kx kx x ckf x x c x c
,由题意知 ( ) 0f c ,
即得 2 2 0c k c ck ,(*) 0c , 0k .
由 ( ) 0f x 得 2 2 0kx x ck ,
由韦达定理知另一个极值点为 1x (或 2x c k
).
(Ⅱ)由(*)式得 2
1k c
,即 21c k
.
当 1c 时, 0k ;当 0 1c 时, 2k .
(i)当 0k 时, ( )f x 在 ( )c ， 和 (1 ) ， 内是减函数,在 ( 1)c ， 内是增函数.
1(1) 01 2
k kM f c
,
2
2
1( ) 02( 2)
kc km f c c c k
,
由
2
12 2( 2)
k kM m k
≥ 及 0k ,解得 2k ≥ .
(ii)当 2k 时, ( )f x 在 ( )c ， 和 (1 ) ， 内是增函数,在 ( 1)c ， 内是减函数.
2
( ) 02( 2)
kM f c k
, (1) 02
km f
2 2( 1) 11 12( 2) 2 2
k k kM m k k
≥ 恒成立.
综上可知,所求 k 的取值范围为 ( 2) [ 2 ) ， ， .
11．（浙江省温州市 2013 届高三第三次适应性测试数学(理)试题（word 版） ）已知函数
,ln2
1)( 2 xxaxxf ( a 为常数).
(Ⅰ)当 2a 时,求函数 f x 的单调区间;
(Ⅱ)是否存在正实数 a ,使得函数 )(xf 的极小值小于 0,若存在,求出 a 的取值范围,若不存在,说明理
由.
【答案】
12．（浙江省建人高复 2013 届高三第五次月考数学（理）试题）设 a R ,函数 ( ) ln
x af x x
, ( )F x x .
(1)当 0a 时,比较 (2 1)f e 与 (3 )f e 的大小;
(2)若存在实数 a ,使函数 ( )f x 的图象总在函数 ( )F x 的图象的上方,求 a 的取值集合.
【答案】
13．（浙江省金华十校 2013 届高三 4 月模拟考试数学（理）试题）已知函数 2( ) 4 2 ln ( , )f x ax bx a x a b R
(I)若函数 ( )y f x 存在极大值和极小值,求 b
a
的取值范围;
(II)设 m,n 分别为 ( )f x 的极大值和极小值,若存在实数
21 1( , ), 1,22
e eb a a m nee
使得
求 a 的取值范围.(e 为自然对数的底)
【答案】
14 ．（ 浙 江 省 温 州 市 十 校 联 合 体 2013 届 高 三 上 学 期 期 末 联 考 理 科 数 学 试 卷 ） 设
xeaaaxxxxf )1ln()( 2 , 2a .
(1)若 0a ,求 )(xf 的单调区间;
(2)讨论 )(xf 在区间 ),1(
e
上的极值点个数;
【答案】解:(1)当 0a 时: xexxxf )1ln()( ,( 0x )
故 xexxxxf )1ln1(ln)(' xexx )1(ln
当 1x 时: 0)(' xf ,当 1x 时: 0)(' xf ,当 1x 时: 0)(' xf .
故 )(xf 的减区间为: )1,0( ,增区间为 ),1(
(2) xeaaxxxxxf )ln(ln)( 2'
令 )(xg 2lnln aaxxxx ,故 axxxg 1ln1)(' ,
xxxg 11)( 2
'' ,
显然 0)1('' g ,又当 1x 时: 0)('' xg .当 1x 时: 0)('' xg .
故 min
' )(xg ag 2)1(' , 2a , 02)()( min
'' axgxg .
故 )(xg 在区间 ),1(
e
上单调递增,
注意到:当 x 时, )(xg ,故 )(xg 在 ),1(
e
上的零点个数由 )11)(1()1( eaaeg 的
符号决定
①当 0)1(
eg ,即:
ea 112 或 1a 时: )(xg 在区间 ),1(
e
上无零点,即
)(xf 无极值点.
②当 0)1(
eg ,即: 111 ae
时: )(xg 在区间 ),1(
e
上有唯一零点,即
)(xf 有唯一极值点.
综上:当
ea 112 或 1a 时: )(xf 在 ),1(
e
上无极值点.
当 111 ae
时: )(xf 在 ),1(
e
上有唯一极值点
15．（浙江省绍兴市 2013 届高三教学质量调测数学（理）试题（word 版） ）已知函数
2f x x 2(3 ) (1 )lnp x p x ( p )R .
(Ⅰ)若 xf 无极值点,求 p 的取值范围;
(Ⅱ)设 0x 为函数 xf 的一个极值点,问在直线 0x x 的右侧,函数 y f x 的图象上是否存在点
1 1( , ( ))A x f x , B ))(,( 22 xfx )( 21 xx ,使得 pxx
xfxf
3)()(
12
12 成立?若存在,求出 1x 的取值范围;
若不存在,请说明理由.
【答案】解:(Ⅰ)由已知得 ( ) 2 (3 )f x x p
21 p
x
( 0x ),
令 0f x 得 22 (3 )x p x 2(1 ) 0p ,则
[ (1 )]x p [2 (1 )] 0x p
因为 xf 无极值点,所以
1 0,
1 0,2
p
p
或
2
11 pp ,
得 1 1p 或 1
3p .所以 p 的取值范围为[ 1,1]
(Ⅱ)因为 0x ,由(Ⅰ) 0)( xf 可知,函数 )(xf 最多只有一个极值点 0x ,且函数 )(xf 在
0xx 上单调递增.
由 2 1
2 1
( ) ( ) 3 0f x f x px x
得 3p
又 2 1
2 1
2 1
( ) ( ) ( )f x f x x xx x
2(3 ) (1 )p p 2 1
2 1
ln ln 3x x px x
,
所以 2 1
2 2 2
2 1
ln ln1
1
x x
p x x
,所以
2
2
2
11
22
2
1
ln
2
1
1
x
xx
p x
x
因为 012 xx ,所以 1
1
2
x
x ,设
2
1
2
x
xt , tttg ln1)( 1t ,
则 1( ) 1 0g t t
,则函数 )(xg 在 1, 上单调递增,又 (1) 0g ,所以 ( ) (1)g t g ,
所以
2
1
2
2
1
2 ln1
x
x
x
x ,
所以 1
1
ln
2
1
2
2
1
2
x
x
x
x
,即 11
2
2
2
1 p
x ,
得
22( 1)
2
p 1x
22( 1)
2
p ( 1p 或 31 p )
又因为点 A 在直线 0x x 右侧,且在函数 y f x 图象上,所以
①当 1p 时,
2
1
0
px ,此时
2
)1(2
2
1 2
1
pxp ;
②当 31 p 时, 10 px ,此时,
2
)1(21
2
1
pxp
综上,存在满足条件的点 A ,且当 1p 时, 1x 的取值范围为
22( 1)1( , )2 2
pp
当1 3p 时, 1x 的取值范围为
22( 1)( 1, )2
pp
16．（浙江省丽水市 2013 届高三上学期期末考试理科数学试卷）已知函数 )1(2
1)( 22 xaexxf .
(Ⅰ)若 ，1a 记 )()( xfxg ,求证:当
2
1x 时,
2
1)(0 xg ;
(Ⅱ)若 1x , 2x 是函数 )(xf 的两个极值点,且 21 1 xx ,若
3
4)( ixf ( 2,1i ),求实数 a 的取值范
围.(注: e 是自然对数的底数.)
【答案】解(Ⅰ) 因为 1a ,所以 )1(2
1)( 22 xexxf
222222 )2
1(2
1)2(2
1)1(2
1)()( xxx exexexfxg
由 0)1(2)( 22 xexxg 得 1x
当 12
1 x 时, 0)( xg ,
当 1x 时, 0)( xg
所以, 0)1()( gxg
又因为 02
1 x ,所以,
2
1)2
1(2
1)( 22 xexxg
所以,当
2
1x 时,
2
1)(0 xg ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈
(Ⅱ) 由 2 21 1( ) ( ) 02 2
ix
i if x a x e 得: )12(22
i
x xae i
因为方程 )12(22 xae x 有两解,所以 0a
理科数学一模答案 第 5 页（共 5 页）
由
3
4
2
1]12
1)12[(4
1)12
11(2
1)1(2
1)( 22
i
i
i
i
x
ii xxxxeaxxf i
解得:
2
1ix 或 23
2 ix
(ⅰ) 当 21,2
1
21 xx 时,
ae
a
e
a
3
1
0
0
2
1
无解
(ⅱ) 当 21,13
2
21 xx 时,
ae
a
ae
a
3
1
3
1
0
2
3
2
解得 3
2
31
ea
所以,实数 a 的取值范围为 )3,1( 3
2
e ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈
17 ．（ 浙 江 省 新 梦 想 新 教 育 新 阵 地 联 谊 学 校 2013 届 高 三 回 头 考 联 考 数 学 （ 理 ） 试 题 ） 已 知 函 数
( ) ( )lnf x bx c x 在 1x e
处取得极值,
且在 1x 处的切线的斜率为 1.
(Ⅰ)求 ,b c 的值及 ( )f x 的单调减区间;
(Ⅱ)设 p >0, q >0,
2( ) ( )g x f x x ,求证:
3 25 ( ) 3 ( ) 2 ( )5
p qg g p g q
.
【答案】解:(Ⅰ) 1( ) ln ( )f x b x bx c x
1( ) 0f e
,∴ 1ln ( ) 0bb c ee e
,即 0b b e c ,∴ 0c
∴ ( ) lnf x b x b ,又 (1) 1f ,∴ ln1 1b b ,∴ 1b
综上可知 1, 0b c
( ) lnf x x x ,定义域为 x >0, ( ) ln 1f x x
由 ( )f x <0 得 0< x < 1
e
,∴ ( )f x 的单调减区间为 1( 0 , )e
(Ⅱ)先证 3 25 ( ) 3 ( ) 2 ( )5
p qf f p f q
即证 3 2 3 25 ln 3 ln 2 ln5 5
p q p q p p q q
即证: 3 2 53 ln 2 ln5 3 2
p q qp qp p q
令 qt p
,∵ p >0, q >0 ,∴ t >0,即证 3 2 2 5ln ln5 3 3 2
t t t
t
令 3 2 2 5( ) ln ln5 3 3 2
t t th t t
则 3 2 2 2( ) ln ln(5 ) ln(3 2 )5 3 3
t th t t t t
18．（浙江省宁波一中 2013 届高三 12 月月考数学（理）试题）已知函数 lnf x x x x .
(1)求函数 f x 的图像在点 (1,1) 处的切线方程;
(2)若 k Z ,且 ( 1)k x f x 对任意 1x 恒成立,求 k 的最大值;
【答案】(1)解:因为 ln 2f x x ,所以 1 2f ,
函数 f x 的图像在点 (1,1) 处的切线方程 2 1y x ;
(2)解:由(1)知, lnf x x x x ,所以 ( 1)k x f x 对任意 1x 恒成立,即 ln
1
x x xk x
对任
意 1x 恒成立
令 ln
1
x x xg x x
,则 2
ln 2
1
x xg x
x
,
令 ln 2h x x x 1x ,则 1 11 0xh x x x
,
所以函数 h x 在 1, 上单调递增
因为 3 1 ln 3 0, 4 2 2ln 2 0h h ,所以方程 0h x 在 1, 上存在唯一实根 0x ,且满
足 0 3,4x .
当 01 ( ) 0x x h x 时， ,即 ( ) 0g x ,当 0 ( ) 0x x h x 时， ,即 ( ) 0g x ,
所以函数 ln
1
x x xg x x
在 01, x 上单调递减,在 0,x 上单调递增.
所以 0 0 0 0
0 0min
0 0
1 ln 1 2 3,41 1
x x x xg x g x xx x
所以 0min 3,4k g x x .故整数 k 的最大值是 3