2019-2020学年山东省聊城市高二上学期期末数学试题（解析版）

2019-2020学年山东省聊城市高二上学期期末数学试题（解析版）

‎2019-2020学年山东省聊城市高二上学期期末数学试题 一、单选题 ‎1．命题：，的否定是（ ）‎ A．， B．，‎ C．， D．，‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据全称命题的否定是特称命题即可选出答案.‎ ‎【详解】‎ 全称命题：，的否定是特称命题，.‎ 故选：D ‎【点睛】‎ 本题考查全称命题的否定，属于基础题.‎ ‎2．已知向量，，，则（ ）‎ A．-3 B．3 C．9 D．0‎ ‎【答案】B ‎【解析】先求出的坐标，然后进行向量的数量积运算即可.‎ ‎【详解】‎ ‎，‎ 故选：B ‎【点睛】‎ 本题考查向量的基本运算与数量积运算，属于基础题.‎ ‎3．已知数列为等差数列，是其前项和，若，，则（ ）‎ A．96 B．72 C．48 D．60‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据题意列出方程组，求解得，代入等差数列前n项和公式即可得解.‎ ‎【详解】‎ ‎，求得 ，‎ 所以.‎ 故选：C ‎【点睛】‎ 本题考查等差数列基本量的求解，等差数列前n项和，属于基础题.‎ ‎4．点为椭圆上位于第一象限内的一点，过点作轴的垂线，垂足为，为坐标原点，则的面积的最大值为（ ）‎ A． B． C．3 D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】设，由均值不等式可得，代入面积公式即可求出最大值.‎ ‎【详解】‎ 设，因为，即，‎ 所以(当且仅当时取等号)，面积的最大值为.‎ 故选：A ‎【点睛】‎ 本题考查椭圆的标准方程，均值不等式，属于基础题.‎ ‎5．已知数列满足，则“”是“为等比数列”的（ ）‎ A．充分不必要条件 B．充分必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】C ‎【解析】如果，满足，但不是等比数列；反之根据等比数列的性质可判断“”是“为等比数列”的必要不充分条件.‎ ‎【详解】‎ 如果，满足，但不是等比数列；反之若“‎ 为等比数列”，根据等比数列的性质可知，所以“”是“为等比数列”的必要不充分条件.‎ 故选：C ‎【点睛】‎ 本题考查等比数列的判定和性质，充分条件、必要条件的判断，充分条件因为涉及知识面广，因而要求同学知识储备量比较大，明确充分条件的定义正确应用即可解答，属于基础题.‎ ‎6．已知椭圆：与双曲线：有共同的焦点，则双曲线的渐近线方程为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】先求出椭圆E的焦点坐标，由双曲线与椭圆共焦点可知，再求出，即可求出双曲线的渐近线.‎ ‎【详解】‎ 椭圆的焦点为，所以双曲线C的焦点为，‎ 则在双曲线C中：，，‎ 所以双曲线的渐近线方程为：.‎ 故选：B ‎【点睛】‎ 本题考查双曲线与椭圆的简单性质，双曲线的渐近线方程，属于基础题.‎ ‎7．按照下列图形中的规律排下去，第6个图形中包含的点的个数为（ ）‎ A．108 B．128 C．148 D．168‎ ‎【答案】A ‎【解析】观察图形找出第n图形中所包含点的个数为，令代入公式即可得解.‎ ‎【详解】‎ 观察图形可知第1个图形中包含点的个数为：，‎ 第2个图形中包含点的个数为：，‎ 第3个图形中包含点的个数为：，‎ 第4个图形中包含点的个数为：，‎ 第6个图形中包含点的个数为：‎ 故选：A ‎【点睛】‎ 本题考查归纳推理，考查学生通过特例分析从而归纳总结出一般结论的能力，属于基础题.‎ ‎8．已知直线与双曲线：的左、右两支分别交于、两点，为双曲线的右焦点，其中，，则双曲线的离心率（ ）‎ A．2 B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】取左焦点为，连接，可得四边形是矩形，由及双曲线的性质可求得，再分别求出，由勾股定理列出方程求出，即可求出离心率.‎ ‎【详解】‎ 取左焦点为，连接，如图所示，‎ 由题意知，且四边形是矩形，‎ 易知，由双曲线的定义知，两式联立可得，‎ 则，由双曲线的对称性知，‎ 在中，‎ ‎，即，，所以 故选：D ‎【点睛】‎ 本题考查双曲线的几何性质，直线与双曲线的位置关系，双曲线离心率的求法，属于中档题.离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出，c从而求出e；②构造、c的齐次式，求出e；③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解.‎ 二、多选题 ‎9．已知、、、是实数，则下列一定正确的有（ ）‎ A． B．‎ C．若，则 D．若，，则 ‎【答案】AD ‎【解析】通过作差比较A选项中两个数的大小，反证法分别比较B、C两个选项中数的大小，作商比较D选项中两个数的大小.‎ ‎【详解】‎ 因为，所以A正确；‎ 当时，，故B错误；‎ 当时，，但，故C错误；‎ 若，，则，且，‎ 所以，又，所以，故D正确.‎ 故选：AD ‎【点睛】‎ 本题考查不等关系和不等式，属于基础题.‎ ‎10．若“”是“”的充分不必要条件，则实数可以是（ ）‎ A．-8 B．-5 C．1 D．4‎ ‎【答案】ACD ‎【解析】分别求出两个不等式的解集，根据题意知，从而求得k的取值范围.‎ ‎【详解】‎ ‎，解得，‎ 即，解得或，‎ 由题意知，所以或，‎ 即.‎ 故选：ACD ‎【点睛】‎ 本题考查一元二次不等式，根据集合的包含关系求参数，属于基础题.‎ ‎11．已知方程，其中，则（ ）‎ A．时，方程表示椭圆 B．时，方程表示双曲线 C．时，方程表示抛物线 D．时，方程表示焦点在轴上的椭圆 ‎【答案】BD ‎【解析】当时，表示双曲线，时表示焦点在x 轴上的双曲线，表示焦点在y轴上的双曲线；当时表示焦点在y轴上的椭圆，当时表示焦点在x轴上的椭圆.‎ ‎【详解】‎ 若，则不表示椭圆，故A错误；‎ 若，则表示焦点在x轴上的双曲线，若，则表示焦点在y轴上的双曲线，故B正确；‎ 当时，若，则方程表示两条垂直于x轴的直线，若则不表示任何图形，故C错误；‎ 时，，表示焦点在x轴上的椭圆，D正确.‎ 故选：BD ‎【点睛】‎ 本题考查圆锥曲线的标准方程，由标准方程判断焦点的位置，属于基础题.‎ ‎12．已知数列满足，，则下列结论正确的有（ ）‎ A．为等比数列 B．的通项公式为 C．为递增数列 D．的前项和 ‎【答案】ABD ‎【解析】原等式变形为，因为，所以是以4为首项，2为公比的等比数列，求出通项公式即可求出及 的通项公式，再利用分部求和法及等比数列的前n项和即可求出的前n项和.‎ ‎【详解】‎ 因为，所以，又，‎ 所以是以4为首项，2位公比的等比数列，即，为递减数列，‎ 的前项和 ‎.‎ 故选：ABD ‎【点睛】‎ 本题考查由递推公式判断数列为等比数列，等比数列的通项公式及前n项和，分组求和法，属于中档题.‎ 三、填空题 ‎13．各项互不相等的等比数列满足，则的最小值为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据等比数列的性质知，则，利用整体代入法可得，由均值不等式可求得最小值.‎ ‎【详解】‎ 由题意知，即，‎ 则，当且仅当时等号成立，所以的最小值为 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查等比数列的性质，均值不等式，属于基础题.‎ ‎14．直线与焦点在轴上的椭圆恒有两个公共点，则实数的取值范围是______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】求出直线定点，数形结合将题意转化为定点需在椭圆内求出，又因为椭圆的焦点在轴上，所以，取交集即可得解.‎ ‎【详解】‎ 直线恒过定点，要保证直线与椭圆有两个公共点则定点需在椭圆内，所以，解得，又因为椭圆的焦点在轴上，所以，即.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查直线、点与椭圆的位置关系，标准方程与椭圆的焦点位置，判断出点在椭圆内是解题的关键，属于基础题.‎ ‎15．在二面角中，直线，分别在两个半平面内，且都垂直于，已知，，若，则向量与所成的角为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】连接BC，根据已知条件求出BC，计算出，代入公式即可求得，从而求得向量与所成的角.‎ ‎【详解】‎ 连接BC，由， 知，‎ 在等腰中：，，所以，‎ 因为,所以 ‎，‎ 因为，所以，则向量与所成的角为.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查向量数量积，两向量夹角的计算，考查空间想象能力，属于中档题.‎ ‎16．已知抛物线的方程为，过抛物线的焦点，且斜率为1的直线与抛物线交于、两点，，则______，为抛物线弧上的动点，面积的最大值是______.‎ ‎【答案】2 ‎ ‎【解析】(1) 设点，直线方程为：，与抛物线联立求出，再代入焦点弦公式即可得解； (2) 求出抛物线方程与直线方程，设点，求出点M到直线AB的距离，代入，由二次函数的单调性可求出最大值.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)抛物线焦点为，设点，直线方程为：，‎ 代入抛物线方程得，则，‎ 因为，所以；‎ ‎(2)抛物线方程为：，直线方程为：，联立得，‎ 解得 设点，()，‎ 点M到直线AB的距离为，‎ ‎，当时，面积取得最大值.‎ 故答案为：2；‎ ‎【点睛】‎ 本题考查抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系，点到直线的距离，属于基础题.‎ 四、解答题 ‎17．已知，解关于的不等式.‎ ‎【答案】见解析 ‎【解析】当时求解一次不等式，当时，求出对应方程的根，，从而对、、、分类讨论一元二次不等式的解集.‎ ‎【详解】‎ 当时，，∴，则的解集为.‎ 当时，解，得，.‎ ‎①当时，，则的解集为.‎ ‎②当时，，则的解集为.‎ ‎③当时，，则的解集为.‎ ‎④当时，，则的解集为.‎ 综上：（1）时，解集为；‎ ‎（2）当时，解集为；‎ ‎（3）当时，解集为；‎ ‎（4）当时，解集为；‎ ‎（5）当时，解集为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查含参不等式的求解，涉及一元一次不等式，含参数的一元二次不等式分类讨论，属于基础题.‎ ‎18．已知等差数列，，前项和为，各项为正数的等比数列满足：，，.‎ ‎（1）求数列和的通项公式；‎ ‎（2）在空间直角坐标系中，为坐标原点，存在一系列的点，，若，求数列的前项和.‎ ‎【答案】（1）.（2）‎ ‎【解析】(1)由列出方程求出q，即可求得的通项公式，由，利用等差数列的性质可求出，从而求得d，最后得到等差数列的通项公式；(2)由可得，将和的通项公式代入上式求出的通项公式，用错位相减法即可求出.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）设数列的公差为，的公比为，‎ ‎∵，∴，得，（舍），‎ 因为，所以 .‎ ‎∵，∴，解得，‎ 又，∴，‎ ‎∴.‎ ‎（2）由（1）得，.‎ ‎∵，∴，∴.‎ ‎，①‎ ‎①式等号两边同乘以，得，②‎ ‎①-②得 ‎.‎ ‎∴.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查等差数列、等比数列的基本量的求解与通项公式，垂直向量的数量积关系，错位相减法求和，属于中档题.‎ ‎19．某山村为响应习近平总书记提出的“绿水青山就是金山银山”的号召，积极进行生态文明建设，投资64万元新建一处农业生态园.建成投入运营后，第一年需支出各项费用11万元，以后每年支出费用增加2万元.从第一年起，每年收入都为36万元.设表示前年的纯利润总和（前年的总收入-前年的总支出费用-投资额）‎ ‎（1）求的表达式，计算前多少年的纯利润总和最大，并求出最大值；‎ ‎（2）计算前多少年的年平均纯利润最大，并求出最大值.‎ ‎【答案】（1），.前13年的纯利润总和最大，最大值为105万元.（2）前8年的年平均纯利润最大，最大值为10万元.‎ ‎【解析】(1)根据题意知每年的支出费用构成等差数列，求出通项公式，从而求出前年的纯利润总和，利用一元二次函数的单调性求得最值；(2)求出前 年的年平均纯利润的表达式，利用均值不等式可求得最值.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题意，每年的支出费用组成首项为11，公差为2的等差数列，‎ 故前年的总支出费用为，‎ ‎∴，.‎ ‎，‎ ‎∴时，取得最大值105，‎ 即前13年的纯利润总和最大，且最大值为105万元.‎ ‎（2）由（1）知，前年的年平均纯利润为 ‎,‎ ‎∵，当且仅当，即时等号成立，‎ ‎∴，‎ 即前8年的年平均纯利润最大，且最大值为10万元.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查等差数列前n项和，一元二次函数，均值不等式，属于基础题.‎ ‎20．已知顶点在原点，焦点在轴上的抛物线过点.‎ ‎（1）求抛物线的标准方程；‎ ‎（2）斜率为的直线与抛物线交于、两点，点是线段的中点，求直线的方程，并求线段的长.‎ ‎【答案】（1）（2）直线的方程为：，线段的长为.‎ ‎【解析】(1)点的坐标代入抛物线方程即可求得p，从而得到抛物线方程；(2)设出直线方程且与抛物线方程联立求出，的表达式，根据为的中点列出方程求出k，即可求得直线方程及、的值，代入弦长公式 即可得解.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题意知，抛物线开口向右，设方程为.‎ ‎∵在抛物线上，∴，，∴抛物线的方程为.‎ ‎（2）由题意，设直线的方程为：，‎ 联立，消得.‎ 由已知，，. ①‎ 设，，则，.‎ ‎∵为的中点，∴，‎ 解得，代入①式检验，得，符合题意.‎ ‎∴直线的方程为：.‎ 此时，，，‎ ‎∵，‎ ‎∴.‎ ‎∴直线的方程为：，线段的长为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查抛物线的标准方程，直线与抛物线的交点、弦长公式，属于中档题.‎ ‎21．如图（1），在直角梯形中，为的中点，四边形为正方形，将沿折起，使点到达点，如图（2），为的中点，且，点为线段上的一点.‎ ‎（1）证明：；‎ ‎（2）当与夹角最小时，求平面与平面所成锐二面角的余弦值.‎ ‎【答案】（1）见解析（2）‎ ‎【解析】(1)首先证明、从而建立空间直角坐标系，求出相应点的坐标，设 ，逐步求出向量、、、的坐标，由推出；(2)求出、的坐标，求出当 值最大时 的取值，从而求出平面与平面的法向量，最后求出两平面所成锐二面角的余弦值.‎ ‎【详解】‎ 解：由为正方形，得，，‎ ‎∵为的中点，，‎ ‎∴，即.‎ 设，建立以为坐标原点的空间直角坐标系，如图所示，‎ 则，，，，，.‎ ‎（1）∵点在线段上，∴设，‎ 又，∴，‎ 又，∴，‎ 又，∴，‎ 又，∴，‎ ‎∴，即.‎ ‎（2）由（1）知，，‎ ‎∴，‎ ‎∴当时，最大，最小，此时.‎ 由题知，平面的一个法向量为，‎ 设平面的一个法向量，‎ ‎∴，即，‎ 取，得，则，‎ ‎∴.‎ ‎∴平面与平面所成锐二面角的余弦值为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查空间向量的坐标运算，向量垂直的数量积关系，平面法向量的求法与利用法向量求两平面所成的二面角，属于中档题.‎ ‎22．在以为圆心，6为半径的圆内有一点，点为圆上的任意一点，线段的垂直平分线和半径交于点.‎ ‎（1）判断点的轨迹是什么曲线，并求其方程；‎ ‎（2）记点的轨迹为曲线，过点的直线与曲线交于，两点，求的最大值；‎ ‎（3）在圆上的任取一点，作曲线的两条切线，切点分别为、，试判断与是否垂直，并给出证明过程.‎ ‎【答案】（1）点的轨迹是以、为焦点的椭圆. （2）（3）垂直.见解析 ‎【解析】(1)根据题意知，，所以点的轨迹是以、为焦点的椭圆，求出a、b、c即可写出椭圆的方程；(2)当直线斜率不存在时可求得，当直线斜率存在时设出直线方程与椭圆方程联立可表示出、，代入中即可求得的最大值；(3)当有一条切线斜率不存在时求出切线易证两切线垂直；当斜率存在时设出直线方程与椭圆方程联立得到关于x的一元二次方程，由直线与椭圆相切知即可求出，证明两条切线垂直.‎ ‎【详解】‎ 解：（1）由题知：， ，‎ ‎∴点的轨迹是以、为焦点的椭圆.‎ 由，得，又，∴，‎ ‎∴椭圆的标准方程为.‎ ‎（2）当直线斜率不存在时，直线方程为，则，，‎ ‎∴.‎ 当斜率存在时，设为，直线方程为，‎ 与联立，消得，‎ 则，‎ 设，，，，‎ 则 ‎.‎ 综上，的最大值为.‎ ‎（3）垂直.证明如下：设点，则.‎ ‎①当两切线中有一条切线斜率不存在时，即与轴垂直时，切线方程为，‎ 即，得，∴另一条切线方程为，即与轴平行，∴两切线垂直.‎ ‎②当斜率存在时，，设切线方程为，‎ 联立，消得.‎ 由于直线与椭圆相切，得 ‎.‎ 化简得.‎ ‎∵，∴，即两条切线相互垂直.‎ 综上，过点作的两条切线与垂直.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查椭圆的标准方程与几何性质，直线、圆与椭圆的综合，向量数量积的坐标运算，证明两条直线垂直，属于难题.‎