四川省泸州市2020届高三二诊考试数学（文）试题 Word版含解析

四川省泸州市2020届高三二诊考试数学（文）试题 Word版含解析

www.ks5u.com ‎2020年高考（文科）数学二诊试卷 一、选择题 ‎1.集合，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用交集的定义直接计算即可.‎ ‎【详解】，故，‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查集合的交运算，注意常见集合的符号表示，本题属于基础题.‎ ‎2.为虚数单位,则的虚部为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用复数的运算法则计算即可.‎ ‎【详解】，故虚部为.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查复数运算以及复数的概念，注意复数的虚部为，不是，本题为基础题，也是易错题.‎ ‎3.两名男生、一名女生站成一排，其中两名男生刚好相邻的概率为（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 分析】‎ - 19 -‎ 基本事件总数n6，其中两名男生刚好相邻包含的基本事件个数m4，由此能求出其中两名男生刚好相邻的概率.‎ ‎【详解】两名男生、一名女生站成一排，基本事件总数n6，‎ 其中两名男生刚好相邻包含的基本事件个数m4，‎ ‎∴其中两名男生刚好相邻的概率p.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查概率的求法，考查排列组合、古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.‎ ‎4.某校团委对“学生性别与中学生追星是否有关”作了一次调查，利用列联表，由计算得,参照下表:‎ ‎0.01‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ 得到正确结论是( )‎ A. 有99%以上的把握认为“学生性别与中学生追星无关”‎ B. 有99%以上的把握认为“学生性别与中学生追星有关”‎ C. 在犯错误的概率不超过0.5%的前提下，认为“学生性别与中学生追星无关”‎ D. 在犯错误的概率不超过0.5%的前提下，认为“学生性别与中学生追星有关”‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 通过与表中的数据6.635的比较，可以得出正确的选项.‎ ‎【详解】解:，可得有99%以上的把握认为“学生性别与中学生追星有关”，故选B.‎ ‎【点睛】本题考查了独立性检验的应用问题，属于基础题.‎ ‎5.已知，则的值为（ ）‎ - 19 -‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由即可得解.‎ ‎【详解】.‎ 故选D.‎ ‎【点睛】本题主要考查了二倍角的余弦公式及同角三角函数关系，属于基础题.‎ ‎6.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委菽依垣内角，下周三丈、高七尺、问积及为菽几何？“其意思为：“现将大豆在屋内靠墙堆成半圆锥形，底面半圆的弧长为3丈，高7尺、问这堆大豆的体积和堆放的大豆各为多少？”已知1丈等于10尺，1斛大豆的体积约为2.43立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的大豆有（　　）‎ A. 44斛 B. 144斛 C. 288斛 D. 388斛 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出圆的半径，再利用圆锥的体积计算公式即可得出.‎ ‎【详解】3丈＝30尺，30＝3×R，解得R＝10，由题意可得：3×102×7144斛.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查了圆锥的体积计算公式，考查考生的计算能力，属于基础题.‎ ‎7.函数的图象在点处的切线为，则在轴上的截距为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ - 19 -‎ 求出函数在处的导数后可得曲线在处的切线方程，从而可求切线的纵截距.‎ ‎【详解】，故，‎ 所以曲线在处的切线方程为：.‎ 令，则，故切线的纵截距为.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查导数的几何意义以及直线的截距，注意直线的纵截距指直线与轴交点的纵坐标，因此截距有正有负，本题属于基础题.‎ ‎8.执行如图所示的程序框图，输出的S的值为（　　）‎ ‎ ‎ A. B. 3 C. 15 D. 10‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意一步一步进行运算，直到跳出循环.‎ ‎【详解】i＝1，S＝0，S＝0﹣1＝﹣1，i＝2；S＝﹣1+4＝3，i＝3；S＝3﹣9＝﹣6，i＝4；‎ S＝﹣6+16＝10，i＝5，跳出循环.‎ 故选：D.‎ - 19 -‎ ‎【点睛】本题考查程序框图，考查了推理能力，属于基础题.‎ ‎9.已知函数f(x)=Asin(2x)(A≠0) ，若函数f(x﹣m)(m>0)是偶函数、则实数m的最小值是（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意利用三角函数的奇偶性以及图象的对称性，求得m的最小值.‎ ‎【详解】函数f（x）＝Asin（2x）（A≠0），‎ 若函数f（x﹣m）＝Asin（2x﹣2m）（m＞0）是偶函数，则 2m最小为，‎ 则实数m的最小值为，‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题主要考查三角函数的奇偶性以及图象的对称性，属于基础题.‎ ‎10.已知椭圆的短轴长为2，焦距为分别是椭圆的左、右焦点，若点为上的任意一点，则的取值范围为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出椭圆方程，再利用椭圆的定义得到，利用二次函数的性质可求，从而可得的取值范围.‎ ‎【详解】由题设有，故，故椭圆，‎ 因为点为上的任意一点，故.‎ - 19 -‎ 又，‎ 因为，故，‎ 所以.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查椭圆几何性质，一般地，如果椭圆的左、右焦点分别是，点为上的任意一点，则有，我们常用这个性质来考虑与焦点三角形有关的问题，本题属于基础题.‎ ‎11. 若一个正三棱柱的正视图如图所示，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为(　　)‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 依题意得，该正三棱柱的底面正三角形的边长为2，侧棱长为1．设该正三棱柱的外接球半径为R，易知该正三棱柱的底面正三角形的外接圆半径是2sin 60°×＝，所以R2＝＋＝，则该球的表面积为4πR2＝．‎ ‎12.过双曲线左焦点的直线交的左支于两点，直线（是坐标原点）交的右支于点，若，且，则的离心率是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D - 19 -‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 如图，设双曲线的右焦点为，连接并延长交右支于，连接，设，利用双曲线的几何性质可以得到，，结合、可求离心率.‎ ‎【详解】‎ 如图，设双曲线的右焦点为，连接，连接并延长交右支于.‎ 因为，故四边形为平行四边形，故.‎ 又双曲线为中心对称图形，故.‎ 设，则，故，故.‎ 因为为直角三角形，故，解得.‎ 在中，有，所以.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查双曲线离心率，注意利用双曲线的对称性（中心对称、轴对称）以及双曲线的定义来构造关于的方程，本题属于难题.‎ 二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题纸上）‎ ‎13.已知直线l：x+m2y＝0与直线n：x+y+m＝0，若，则m的值为_____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ - 19 -‎ 由m2﹣1＝0，解得m，经过验证即可得出.‎ ‎【详解】，则m2﹣1＝0，解得m＝±1，经过验证都满足l∥n，则m＝±1.‎ 故答案为：±1.‎ ‎【点睛】本题考查了两条直线平行与斜率之间的关系，考查考生的计算能力，属于基础题.‎ ‎14.若x，y满足约束条件，则z＝3x+2y的最小值是_____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求最值即可.‎ ‎【详解】由z＝3x+2y得y，作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分）：‎ 平移直线y由图象可知：‎ 当直线y经过点A时，直线y的截距最小，此时z也最小，‎ 将A（1，1）代入目标函数z＝3x+2y，得z＝5.‎ 故答案为：5.‎ ‎【点睛】本题主要考查线性规划的基本应用，利用目标函数的几何意义是解决问题的关键，利用数形结合是解决问题的基本方法.‎ ‎15.设函数y=f(x)的图象与y＝2x+a的图象关于直线对称，且，则a＝_____.‎ ‎【答案】‎ - 19 -‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 在函数y＝f（x）的图象上取点（x，y），则关于直线y＝﹣x对称点为（﹣y，﹣x），代入y＝2x+a，可得答案.‎ ‎【详解】因为函数y＝f（x）图象与y＝2x+a的图象关于直线y＝﹣x对称，且f（﹣4）＝1；‎ 故（﹣1，4）在y＝2x+a的图象上，故有4＝2﹣1+a⇒a＝3.‎ 故答案为：3.‎ ‎【点睛】本题考查函数的解析式，考查图象的对称性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题.‎ ‎16.的角所对的边分别为，且，，若，则的值为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先利用余弦定理求出，再用正弦定理求出并把转化为与边有关的等式，结合可求的值.‎ ‎【详解】因为，故，因为，所以.‎ 由正弦定理可得三角形外接圆的半径满足，‎ 所以即.‎ 因为，‎ 解得或（舍）.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理在解三角形中的应用，注意结合求解目标对所得的方程组变形整合后整体求解，本题属于中档题.‎ - 19 -‎ 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.‎ ‎17.已知数列{an}的前n项和Sn和通项an满足.‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）等差数列{bn}中，b1＝3a1，b2＝2，求数列{an+bn}的前n项和Tn.‎ ‎【答案】（1）.（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先由数列{an}的前n项和Sn和通项an的关系式求出相邻项之间的关系，判断出数列{an}的类型，再求出通项公式；‎ ‎（2）先由题设条件求出bn，再结合（1）中的an求出an+bn，最后求出Tn.‎ ‎【详解】（1）当n＝1时有2S1+a1＝1＝3a1，解得.‎ 又∵2Sn+an＝1（n∈N*）①，∴2Sn+1+an+1＝1 ②.‎ 由②﹣①可得：2（Sn+1﹣Sn）+an+1﹣an＝0＝2an+1+an+1﹣an，即an+1，‎ 所以数列{an}是以为首项，以为公比的等比数列，∴an＝（）n.‎ ‎（2）∵等差数列{bn}中，b1＝3a1＝1，b2＝2，∴bn＝n，an+bn＝（）n+n.‎ ‎∴Tn＝[]+（1+2+3+…n）.‎ ‎【点睛】本题考查等比数列的定义及通项公式和数列求和中的分组求和，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.‎ ‎18.三棱柱ABC﹣A1B1C1中，平面AA1B1B⊥平面ABC，AB＝AA1＝A1B＝4，BC＝2，AC＝2，点F为AB的中点，点E为线段A1C1上的动点.‎ - 19 -‎ ‎（1）求证：BC⊥平面A1EF；‎ ‎（2）若∠B1EC1＝60°，求四面体A1B1EF的体积.‎ ‎【答案】（1）证明见解析.（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用等边三角形的性质可得：A1F⊥AB.利用线面、面面垂直的判定定理与性质定理可得：A1F⊥BC.利用勾股定理的逆定理可得：BC⊥AC.进而证明结论.‎ ‎（2）利用直角三角形的边角关系可得：EC1，A1E.由（I）可得：A1F⊥底面A1B1C1，A1F⊥A1E，A1F＝2.可得△A1EF的面积S.由（I）可得：BC⊥平面A1EF，可得B1C1⊥平面A1EF，即可得出四面体A1B1EF的体积.‎ ‎【详解】（1）∵AB＝AA1＝A1B，点F为AB的中点，∴A1F⊥AB，‎ ‎∵平面AA1B1B⊥平面ABC，平面AA1B1B∩平面ABC＝AB，‎ ‎∴A1F⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴A1F⊥BC.‎ ‎∵AB＝4，BC＝2，AC＝2，∴AB2＝BC2+AC2，∴∠ACB＝90°，∴BC⊥AC.‎ ‎∵AC∥A1C1，∴BC⊥A1C1，又A1F∩A1E＝A1，∴BC⊥平面A1EF；‎ ‎（2）∵∠B1EC1＝60°，∴EC1，∴A1E＝2.‎ 由（1）可得：A1F⊥底面A1B1C1，∴A1F⊥A1E，A1F＝2.‎ - 19 -‎ ‎∴△A1EF的面积S4.‎ 由（1）可得：BC⊥平面A1EF，∵B1C1∥BC，∴B1C1⊥平面A1EF，‎ ‎∴四面体A1B1EF的体积S•B1C14×2.‎ ‎【点睛】本题考查了线面、面面垂直的判定定理与性质定理、等边三角形与直角三角形的性质、三棱锥的体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.‎ ‎19.某公司为抓住经济发展的契机，调查了解了近几年广告投入对销售收益的影响，在若干销售地区分别投入4万元广告费用，并将各地的销售收益绘制成频率分布直方图（如图所示），由于工作人员操作失误，横轴的数据丢失，但可以确定横轴是从0开始计数的.‎ ‎ ‎ ‎（1）根据频率分布直方图计算图中各小长方形的宽度；并估计该公司分别投入4万元广告费用之后，对应地区销售收益的平均值（以各组的区间中点值代表该组的取值）；‎ ‎（2）该公司按照类似的研究方法，测得另外一些数据，并整理得到如表：‎ - 19 -‎ 广告投入x（单位：万元）‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ 销售收益y（单位：万元）‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎2‎ ‎7‎ 由表中的数据显示，x与y之间存在着线性相关关系，请将（1）的结果填入空白栏，根据表格中数据求出y关于x的回归真线方程，并估计该公司下一年投入广告费多少万元时，可使得销售收益达到8万元？‎ 参考公式：最小二乘法估计分别为，.‎ ‎【答案】（1）宽度为：2， 平均值：5（2）空白栏中填5，，投入万元 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由频率分布直方图各个小长方形面积总和为1，建立方程，即可求得结论.利用组中值，求出对应销售收益的平均值；‎ ‎（2）利用公式求出即可计算y关于x的回归方程.‎ ‎【详解】（1）设长方形的宽度为m，由频率分布直方图各小长方形面积总和为1，‎ 可知（0.08+0.1+0.14+0.12+0.04+0.02）m＝1，所以m＝2.‎ 小组依次是[0，2），[2，4），[4，6），[6，8），[8，10），[10，12），‎ 其中点分别为1，3，5，7，9.11‎ 对应的频率分别为0.16，0.20，0.28，0.24，0.08，0.04.‎ 故可估计平均值为1×0.16+3×0.20+5×028+7×0.24+9×0.08+11×0.04＝5.‎ ‎（2）空白栏中填5.‎ 由题意可知，3，3.8，69，55，‎ 所以1.2，3.8﹣1.2×3＝0.2.‎ - 19 -‎ 所以关于x的回归方程为 取，得到.‎ ‎【点睛】本题考查频率分布直方图、线性回归方程的求法和应用，本题解题的关键是看出这组变量是线性相关的，进而正确运算求出线性回归方程的系数，属于中档题.‎ ‎20.抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，点P在C上，若PF⊥x轴，且△POF（O为坐标原点）的面积为1.‎ ‎（1）求抛物线C的方程；‎ ‎（2）若C上的两动点A，B（A，B在x轴异侧）满足，且|FA|+|FB|＝|AB|+2，求|AB|的值.‎ ‎【答案】（1）.（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先解出P点坐标，再表示△POF面积为1，解得p，进而得出抛物线方程.‎ ‎（2）设直线AB方程为x＝my+n，A（x1，y1），B（x2，y2），联立抛物线方程，消元x，可得含y的一元二次方程，由韦达定理可得y1+y2，y1y2，|AB|①，因为|FA|+|FB|＝|AB|+2，得x1+x2＝|AB|，2m2+2n＝|AB|②由①②得2m2+2n，根据•32，所以y1y2＝32，n2﹣8n﹣128＝0，进而得出答案.‎ ‎【详解】（1）由题知P点的横坐标为，代入抛物线方程得，y2＝2p，解得y＝p或﹣p，‎ 所以P（，﹣p）或（，p），△POF面积为1，解得p＝2，‎ 所以抛物线C方程为y2＝4x，S△OFP.‎ ‎（2）设直线AB方程为x＝my+n，A（x1，y1），B（x2，y2）‎ 联立抛物线方程得y2﹣2my﹣2n＝0，y1+y2＝2m，y1y2＝﹣2n，‎ ‎|AB|①‎ 因为|FA|+|FB|＝|AB|+2，所以x1+1+x2+1＝|AB|+2，即x1+x2＝|AB|，‎ - 19 -‎ my1+n+my2+n＝|AB|，m（y1+y2）+2n＝|AB|，2m2+2n＝|AB|②‎ 由①②得2m2+2n，化简得m2＝n2﹣2n，‎ 因为•32，所以x1x2+y1y2＝32，所以y1y2＝32，‎ ‎（y1y2）2+16y1y2﹣16×32＝0，（﹣2n）2+16（﹣2n）﹣16×32＝0，n2﹣8n﹣128＝0，‎ 解得n＝﹣8（舍）或16，‎ 所以|AB|＝2m2+2n＝2（n2﹣2n）+2n＝2n2﹣2n＝480.‎ ‎【点睛】本题考查抛物线方程，向量在圆锥曲线的应用，直线与抛物线相交，属于中档题.‎ ‎21.已知函数.‎ ‎（1）求证：当x∈(0,π]时，f(x)<1；‎ ‎（2）求证：当m＞2时，对任意x0∈(0,π] ，存在x1∈(0,π]和x2∈(0,π](x1≠x2)使g(x1)=g(x2)=f(x0)成立.‎ ‎【答案】（1）证明见解析.（2）证明见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）变换得到，设，求导得到最值得到答案.‎ ‎（2）只需要求出f（x）在（0，π]上的值域，然后研究g（x）的单调性是先增后减或先减后增，同时说明每一段上的函数值范围都包含f（x）的值域即可.‎ ‎【详解】（1），，即，设，‎ 则，函数单调递减，故，即，得证.‎ ‎（2）f（π）＝0，当时，，故f（x）的值域为[0，1）.‎ 又因为g′（x），x∈（0，π]，m＞2.‎ 令∈（0，1）.显然y＝mx﹣2是增函数.‎ ‎∴时，g′（x）＜0，g（x）递减；，g′（x）＞0，g（x）递增.‎ 此时g（x）min，（m＞2）.‎ - 19 -‎ 将上式化简并令r（m）＝2lnm﹣m+2﹣2ln2，m＞2.‎ ‎∵，∴r（m）在（2，+∞）上递减.‎ 所以r（m）＜r（2）＝0，故g（x）min＜0.‎ 显然当x→0时，g（x）→+∞，即当时，g（x）递减，‎ 且函数值取值集合包含f（x）的值域[0，1）；‎ 而g（π）＝（π﹣1）m﹣2lnπ＞2（π﹣1）﹣2lnπ＝2（π﹣1﹣lnπ）＞2（3﹣1﹣lnπ），‎ ‎∵，∴，‎ 即当x时，g（x）递增，且函数值取值集合包含f（x）的值域[0，1）.‎ 所以当m＞2时，对任意x0∈（0，π]，存在x1∈（0，π]和x2∈（0，π]（x1≠x2）‎ 使g（x1）＝g（x2）＝f（x0）成立.‎ ‎【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性、最值等问题.考查了学生运用数学思想方法（转化与化归、数形结合、函数与方程分类讨论）解决问题的能力.同时考查了学生的逻辑推理、数学抽象、数学运算等数学核心素养.属于较难的题目.‎ ‎22.在直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数)是曲线上的动点，点满足.‎ ‎（1）求点的轨迹方程；‎ ‎（2）在以为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线与曲线交于不同于原点的点求.‎ ‎【答案】（1） ；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)先设出点的坐标,然后根据点满足的条件代入曲线的方程即可求出曲线 - 19 -‎ 的方程;（2）根据(1)将求出曲线的极坐标方程,分别求出射线与的交点的极径为,以及射线与的交点的极径为,最后根据求出所求.‎ ‎【详解】（1）设,则由条件知.由于M点在上, 所以即 从而的参数方程为 . (2)曲线的极坐标方程为,曲线的极坐标方程为. 射线与的交点A的极径为, 射线与的交点B的极径为. 所以.‎ ‎【点睛】本题考查点的极坐标和直角坐标的互化,以及轨迹方程的求解和线段的度量,属于中档题.求解时既可以化成直角坐标方程求解，也可以直接求解，关键是掌握两种坐标系下的曲线与方程的关系与其他知识的联系，是基础题．‎ ‎23.已知.‎ ‎（1）解不等式；‎ ‎（2）若均为正数，且，求的最小值.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用零点分段讨论法可求不等式的解.‎ - 19 -‎ ‎（2）利用柯西不等式可求的最小值.‎ ‎【详解】（1），‎ 由得或或，‎ 解得.‎ ‎（2），‎ 所以，‎ 由柯西不等式得：‎ 所以，‎ 即 （当且仅当时取“=”）.‎ 所以的最小值为.‎ ‎【点睛】本题考查绝对值不等式的解法以及利用柯西不等式求最值.解绝对值不等式的基本方法有零点分段讨论法、图象法、平方法等，利用零点分段讨论法时注意分类点的合理选择，利用平方去掉绝对值符号时注意代数式的正负，而利用图象法求解时注意图象的正确刻画．利用柯西不等式求最值时注意把原代数式配成平方和的乘积形式，本题属于中档题.‎ ‎ ‎ - 19 -‎ - 19 -‎