【数学】四川省泸州市泸县第二中学2020届高三下学期第二次高考适应性考试试题（文）

【数学】四川省泸州市泸县第二中学2020届高三下学期第二次高考适应性考试试题（文）

四川省泸州市泸县第二中学2020届高三下学期第二次高考适应性考试数学试题（文）‎ 第I卷 选择题（60分）‎ 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。‎ ‎1．若复数，则复数的虚部为 （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1，2，…，960，分组后某组抽到的号码为41.抽到的32人中，编号落入区间的人数为（ ）‎ A．10 B．11 C．12 D．13‎ ‎3．有一散点图如图所示，在5个数据中去掉后，下列说法正确的是 （ ）‎ A．残差平方和变小 B．相关系数变小 C．相关指数变小 D．解释变量与预报变量的相关性变弱 ‎4．等比数列的前项和为，若成等差数列，则的公比等于（ ）‎ A．1 B． C．- D．2‎ ‎5．函数的图象大致为（ ）‎ A．B．C．D．‎ ‎6．已知，，且，则向量在方向上的投影为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．已知，函数在上单调递减，则的取值范围是 （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎8．设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ）‎ A．若，，，则 ‎ B．若，，，则 C．若，，，则 ‎ D．若，，，则 ‎9．在中，,，则角（ ）‎ A． B． C．或 D．‎ ‎10．函数与在上最多有n个交点，交点分别为（，……，n），则（ ）‎ A．7 B．8 C．9 D．10‎ ‎11．已知不等式对恒成立，则实数的最小值为 A． B． C． D．‎ ‎12．已知双曲线的一个焦点F与抛物线的焦点相同，与交于A，B两点，且直线AB过点F，则双曲线的离心率为（ ）‎ A． B． C．2 D．‎ 第II卷 非选择题（90分）‎ 二、 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。‎ ‎13．已知向量，且，则___________.‎ ‎14．已知，且，则__________．‎ ‎15．我国古代数学名著《九章算术》的论割圆术中有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周盒体而无所失矣.”它体现了一种无限与有限的转化过程.比如在表达式中“…”既代表无限次重复，但原式却是个定值，它可以通过方程求得，类似上述过程，则__________．‎ ‎16．设，分别是椭圆C：（）的左、右焦点，直线l过交椭圆C于A，B两点，交y轴于E点，若满足，且，则椭圆C的离心率为______.‎ 三．解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。‎ ‎（一）必考题：共60分 ‎17．（12分）某度假酒店为了解会员对酒店的满意度，从中抽取50名会员进行调查，把会员对酒店的“住宿满意度”与“餐饮满意度”都分为五个评分标准：1分（很不满意）；2分（不满意）；3分（一般）；4分（满意）；5分（很满意）.其统计结果如下表（住宿满意度为，餐饮满意度为）.‎ ‎（I）求“住宿满意度”分数的平均数；‎ ‎（II）求“住宿满意度”为3分时的5个“餐饮满意度”人数的方差；‎ ‎（III）为提高对酒店的满意度，现从且的会员中随机抽取2人征求意见，求至少有1人的“住宿满意度”为2的概率.‎ ‎18．（12分）已知等差数列的公差，其前项和为，若,且，，成等比数列.‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）若，求数列的前项和.‎ ‎19．（12分）在三棱柱中，，为的中点.‎ ‎（I）证明：平面；‎ ‎（II）若，点在平面的射影在上，且侧 面的面积为，求三棱锥的体积.‎ ‎20．（12分）已知抛物线的焦点为F，过点F，斜率为1的直线与抛物线C交于点A，B，且．‎ ‎（Ⅰ）（1）求抛物线C的方程；‎ ‎（Ⅱ）过点Q（1，1）作直线交抛物线C于不同于R（1，2）的两点D、E，若直线DR，ER分别交直线于M，N两点，求|MN|取最小值时直线DE的方程．‎ ‎21．（12分）已知函数，函数.‎ ‎（Ⅰ）判断函数的单调性；‎ ‎（Ⅱ）若时，对任意，不等式恒成立，求实数的最小值.‎ ‎（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。‎ ‎22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）‎ 在平面直角坐标系中,直线的参数方程为（为参数）,以原点为极点,轴非负半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为,直线与曲线交于、两点.‎ ‎（I）写出直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；‎ ‎（II）若,求的值.‎ ‎23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）已知函数.‎ ‎（I）求不等式的解集；‎ ‎（II）若函数的最小值记为，设，，且有.求的最小值.‎ 参考答案 ‎1．C 2．C 3．A 4．C 5．A 6．B 7．A 8．D 9．D 10．C ‎11．C 12．D ‎13． 14． 15． 16．‎ ‎17．解：（1） ‎ ‎（2）当“住宿满意度”为3分时的5个“餐饮满意度”人数的平均数为，‎ 其方差为 ‎ （3） 符合条件的所有会员共6人，其中“住宿满意度”为2的3人分别记为 ，“住宿满意度”为3的3人分别记为 .从这6人中抽取2人有如下情况，共15种情况.所以至少有1人的“住宿满意度”为2的概率.‎ ‎18．解：（1）依题意，得即，整理得.‎ ‎∵，∴，.∴数列的通项公式；即数列的通项公式.‎ ‎（2），，‎ ‎ 故.‎ ‎19．（1）证明：连接交于点，连接.‎ 则为的中点，又为的中点，所以，且平面，平面，则平面.‎ ‎（2）解：取的中点，连接，过点作于点，连接.‎ 因为点在平面的射影在上，且，‎ 所以平面，∴，，∴平面，‎ 则.设，在中，，，‎ ‎∴，，，‎ 由，可得.‎ 则 .‎ 所以三棱锥的体积为.‎ ‎20．解：（1）抛物线的焦点为，直线方程为：，‎ 代入中，消去y得： ，‎ 设A（x1，y1），B（x2，y2），则有，‎ 由，得，即，解得，所以抛物线C的方程为：；‎ ‎（2）设D（x1，y1），E（x2，y2），直线DE的方程为，如图所示，‎ 由，消去，整理得：，‎ ‎∴，设直线DR的方程为，‎ 由，解得点M的横坐标，又k1==，∴xM==-，‎ 同理点N的横坐标，=4，‎ ‎∴|MN|=|xM-xN|=|-+|=2||==，‎ 令，则，‎ ‎∴|MN|=•=•=•≥•=，‎ 所以当，即时，|MN|取最小值为，此时直线DE的方程为．‎ ‎21．解：（I）由题意得，， ∴ .‎ 当时，，函数在上单调递增；‎ 当时，令，解得；令，解得.‎ 故函数在上单调递增，在上单调递减.‎ 综上，当时，函数在上单调递增；‎ 当时，函数在上单调递增，在上单调递减.‎ ‎（II）由题意知.，‎ 当时，函数单调递增．不妨设 ，又函数单调递减，‎ 所以原问题等价于：当时，对任意，不等式 恒成立，即对任意，恒成立.‎ 记，由题意得在上单调递减.‎ 所以对任意，恒成立.‎ 令，，‎ 则在上恒成立.故，‎ 而在上单调递增，所以函数在上的最大值为.‎ 由，解得.故实数的最小值为．‎ ‎22．解：（1）因为,相加可得直线的普通方程为,.‎ 又,即,化简可得曲线的直角坐标方程.‎ ‎（2）直线的参数方程可化为（为参数）,‎ 代入曲线可得,化简可得,‎ 由韦达定理有.所以 ‎23．解：（1）因为 从图可知满足不等式的解集为.‎ ‎（2）由图可知函数的最小值为，即.所以，从而，‎ ‎，当且仅当，即时，等号成立，∴的最小值为.‎