高二数学4月月考试题普通班
【2019最新】精选高二数学4月月考试题普通班
一、选择题（60分）
1.若数列{an}的各项按如下规律排列：，，，，，，，，，，…，，，…，，…，则a2 012等于( )
A．
B．
C．
D．
2.下面使用类比推理正确的是( )
A． “若a·3＝b·3，则a＝b”类比推出“若a·0＝b·0，则a＝b”
B． “loga(xy)＝logax＋logay”类比推出“sin(α＋β)＝sinαsinβ”
C． “(a＋b)c＝ac＋bc”类比推出“(a＋b)·c＝a·c＋b·c”
D． “(ab)n＝anbn”类比推出“(a＋b)n＝an＋bn”
3.观察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cosx)′＝－sinx，由归纳推理可得：若定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(－x)等于( )
A．f(x)
B． －f(x)
C．g(x)
D． －g(x)
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4.下列类比推理中，得到的结论正确的是( )
A． 把loga(x＋y)与a(b＋c)类比，则有loga(x＋y)＝logax＋logby
B． 向量a，b的数量积运算与实数a，b的运算性质|ab|＝|a|·|b|类比，则有|a·b|＝|a||b|
C． 把(a＋b)n与(ab)n类比，则有(a＋b)n＝an＋bn
D． 把长方体与长方形类比，则有长方体的对角线平方等于长宽高的平方和
5．将平面向量的数量积运算与实数的乘法运算相类比，易得下列结论：( )
①a·b＝b·a；②(a·b)·c＝a·(b·c)；③a·(b＋c)＝a·b＋a·c；④由a·b＝a·c(a≠0)，可得b＝c.
则正确的结论有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
6．用数学归纳法证明(n＋1)(n＋2)(n＋3)…(n＋n)＝2n·1·3·…·(2n－1)(n∈N*)时，从n＝k到n＝k＋1时，左边需增乘的代数式是( )
A．2k＋1 B．2(2k＋1)
C. D.
7．已知a，b∈R，m＝，n＝b2－b＋，则下列结论正确的是( )
A．m≤n B．m≥n
C．m>n D．m
1，过点P(x0，y0)作一直线与双曲线－＝1相交且仅有一个公共点，则该直线的斜率恰为双曲线的两条渐近线的斜率±.类比此思想，已知y0<，过点P(x0，y0)(x0＞0)作一条不垂直于x轴的直线l与曲线y＝相交且仅有一个公共点，则该直线l的斜率为________．
14.定义“等积数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的积都为同一个常数，那么这个数列叫做等积数列，这个常数叫做该数列的公积．已知数列{xn}是等积数列，且x2＝2，公积为6，那么这个数列的前2 005项的和为________．
15.观察下列等式
1－＝，
1－＋－＝＋，
1－＋－＋－＝＋＋，
…
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据此规律，第n个等式可为________________.
16.有以下四个命题：
(1)2n＞2n＋1(n≥3)；
(2)2＋4＋6＋…＋2n＝n2＋n＋2(n≥1)；
(3)凸n边形内角和为f(n)＝(n－1)π(n≥3)；
(4)凸n边形对角线条数f(n)＝(n≥4)．
其中满足“假设n＝k(k∈N，k≥n0)时命题成立，则当n＝k＋1时命题也成立”．但不满足“当n＝n0(n0是题中给定的n的初始值)时命题成立”的命题序号是________．
三、解答题(共6小题,17题10分，其余每小题12.0分,共70分)
17.已知数列{an}中，a1＝3，an＋1＝＋2(n∈N*)．
(Ⅰ)计算a2，a3，a4的值；
(Ⅱ)根据计算结果猜想{an}的通项公式，并用数学归纳法加以证明．
18.用三段论证明：直角三角形两锐角之和为90°.
19.已知数列{an}满足a2＝2，(n－1)an＋1－nan＋1＝0(n∈N*)，求数列{an}的通项．
20.用数学归纳法证明：···…·<(n∈N*)．
21.已知数列数列{an}的通项公式an＝(－1)n(2n－1)(n∈N*)，Sn为其前n项和．
(1)求S1，S2，S3，S4的值；
(2)猜想Sn的表达式，并用数学归纳法证明你的结论．
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22.试比较nn＋1与(n＋1)n(n∈N*)的大小，分别取n＝1,2,3,4,5加以试验，根据试验结果猜测一个一般性结论．
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参考答案
1-4.ACDD 5-8.BBAC 9-12.DBBC
13.【答案】2
14.【答案】5 013
15.【答案】1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋
16.【答案】(2)(3)
17.【答案】解 (Ⅰ)由a1＝3，an＋1＝＋2(n∈N*)可得a2＝2＋，a3＝2＋，
a4＝2＋＝4.
(Ⅱ)由(Ⅰ)猜想：an＝2＋，n∈N*.
以下用数学归纳法证明：
(1)当n＝1时，左边a1＝3，右边2＋1＝3，符合结论；
(2)假设当n＝k(k≥2，k∈N*)时，结论成立，即ak＝2＋，
那么ak＋1＝＋2
＝＋2
＝＋2＝＋2，
所以当n＝k＋1时，猜想也成立，
根据(1)和(2)，可知猜想对于任意n∈N*都成立．
18.【答案】证明 因为任意三角形三内角之和为180°(大前提)，而直角三角形是三角形(小前提)，
所以直角三角形三内角之和为180°(结论)．
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设两锐角分别为α，β，则α＋β＋90°－90°＝180°－90°(小前提)，
所以α＋β＝90°成立(结论)．
19.【答案】解 当n＝1时，a1＝1，
由a2＝2，可得a3＝3，猜想an＝n.
证明如下：
当n＝1,2时，a1＝1，a2＝2，猜想成立；
假设当n＝k(k≥2，k∈N*)时，猜想成立，即ak＝k，
又(k－1)ak＋1－kak＋1＝0，
即(k－1)ak＋1－k2＋1＝0，
∵k≥2，∴k－1≠0，
∵ak＋1＝k＋1，即n＝k＋1时，猜想成立，
∴n∈N*时，an＝n.
20.【答案】证明 ①∵当n＝1时，－＝－＜0，
∴<，∴<＝，即当n＝1时，不等式成立；
②假设当n＝k(k∈N*)时，不等式成立，即···…·<，
则当n＝k＋1时，
···…··<·＝，
∵()2－()2
＝＝＜0，
∴()2＜()2，
∴＜，即当n＝k＋1时，原不等式也成立．
综合①②可知，对于任意n∈N*，···…·<均成立．
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21.【答案】解 (1)依题意可得S1＝－1，S2＝－1＋3＝2，S3＝－1＋3－5＝－3，S4＝－1＋3－5＋7＝4；
(2)猜想：Sn＝(－1)n·n.
证明：①当n＝1时，猜想显然成立；
②假设当n＝k时，猜想成立，即Sk＝(－1)k·k，
那么当n＝k＋1时，Sk＋1＝(－1)k·k＋ak＋1＝(－1)k·k＋(－1)k＋1(2k＋1)＝(－1)k＋1·(k＋1)．
即n＝k＋1时，猜想也成立．
故由①和②可知，猜想成立.
22.【答案】解 当n＝1时，nn＋1＝1，(n＋1)n＝2，此时，nn＋1＜(n＋1)n，
当n＝2时，nn＋1＝8，(n＋1)n＝9，此时，nn＋1＜(n＋1)n，
当n＝3时，nn＋1＝81，(n＋1)n＝64，此时，nn＋1＞(n＋1)n，
当n＝4时，nn＋1＝1 024，(n＋1)n＝625，此时，nn＋1＞(n＋1)n，
根据上述结论，我们猜想：当n≥3(n∈N*)时，nn＋1＞(n＋1)n恒成立．
证明：①当n＝3时，nn＋1＝34＝81＞(n＋1)n＝43＝64，
即nn＋1＞(n＋1)n成立；
②假设当n＝k时，kk＋1＞(k＋1)k成立，即＞1，
则当n＝k＋1时，＝(k＋1)()k＋1＞(k＋1)()k＋1＝＞1，
即(k＋1)k＋2＞(k＋2)k＋1成立，即当n＝k＋1时，猜想也成立，
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∴当n≥3(n∈N*)时，nn＋1＞(n＋1)n恒成立．
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