2020高中数学 第三章复数代数形式的乘除运算

2020高中数学 第三章复数代数形式的乘除运算

‎3.2.2　‎复数代数形式的乘除运算 学习目标：1.掌握复数代数形式的乘法和除法运算．(重点、难点)2.理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律．(易混点)3.了解共轭复数的概念．(难点)‎ ‎[自 主 预 习·探 新 知]‎ ‎1．复数代数形式的乘法法则 ‎(1)复数代数形式的乘法法则 已知z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R，则z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i.‎ 思考1：复数的乘法与多项式的乘法有何不同？‎ ‎[提示]复数的乘法与多项式乘法是类似的，有一点不同即必须在所得结果中把i2换成－1，再把实部、虚部分别合并．‎ ‎(2)复数乘法的运算律 对于任意z1，z2，z3∈C，有 交换律 z1·z2＝z2·z1‎ 结合律 ‎(z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3)‎ 乘法对加法的分配律 z1(z2＋z3)＝z1·z2＋z1·z3‎ 思考2：|z|2＝z2，正确吗？‎ ‎[提示]不正确．例如，|i|2＝1，而i2＝－1.‎ ‎2．共轭复数 如果两个复数满足实部相等，虚部互为相反数时，称这两个复数为共轭复数，z的共轭复数用表示．即z＝a＋bi，则＝a－bi.‎ ‎3．复数代数形式的除法法则 ‎(a＋bi)÷(c＋di)＝＋i(c＋di≠0)．‎ ‎[基础自测]‎ ‎1．思考辨析 ‎(1)实数不存在共轭复数．(　　)‎ ‎(2) 两个共轭复数的差为纯虚数．(　　)‎ ‎(3) 若z1，z2∈C，且z＋z＝0，则z1＝z2＝0.(　　)‎ ‎[答案]　(1)×　(2)√　(3)×‎ ‎2．复数(3＋2i)i等于(　　)‎ A．－2－3i B．－2＋3i C．2－3i D．2＋3i B　[(3＋2i)i＝3i＋2i·i＝－2＋3i，选B.]‎ 6‎ ‎3．已知复数z＝2－i，则z·的值为(　　)‎ ‎ 【导学号：31062220】‎ A．5 B． C．3 D． A　[z·＝(2－i)(2＋i)＝22－i2＝4＋1＝5，故选A.]‎ ‎4．(2－i)÷i＝________.‎ ‎[解析]　(2－i)÷i＝＝＝－1－2i.‎ ‎[答案]　－1－2i ‎[合 作 探 究·攻 重 难]‎ 复数乘法的运算 ‎　(1)若复数(1－i)(a＋i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是(　　)‎ A．(－∞，1)　 B．(－∞，－1)‎ C．(1，＋∞) D．(－1，＋∞)‎ ‎(2)计算：‎ ‎①(1－2i)(3＋4i)(－2＋i)；‎ ‎②(3＋4i)(3－4i)；‎ ‎③(1＋i)2.‎ ‎(1)B　[z＝＝＋i，因为对应的点在第二象限，所以 ，解得a<－1，故选B.]‎ ‎(2)①(1－2i)(3＋4i)(－2＋i)＝(11－2i)(－2＋i)‎ ‎＝－20＋15i；‎ ‎②(3＋4i)(3－4i)＝32－(4i)2＝9－(－16)＝25；‎ ‎③(1＋i)2＝1＋2i＋i2＝2i.‎ ‎[规律方法]　1.两个复数代数形式乘法的一般方法 复数的乘法可以按多项式的乘法法则进行，注意选用恰当的乘法公式进行简便运算，例如平方差公式、完全平方公式等 ‎2.常用公式 (1)(a＋bi)2＝a2＋2abi－b2(a，b∈R)； (2)(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2(a，b∈R)； (3)(1±i)2＝±2i.‎ ‎[跟踪训练]‎ ‎1．(1)下列各式的运算结果为纯虚数的是(　　)‎ 6‎ ‎ 【导学号：31062221】‎ A．i(1＋i)2 B．i2(1－i)‎ C．(1＋i)2 D．i(1＋i)‎ ‎(2)复数z＝(1＋2i)(3－i)，其中i为虚数单位，则z的实部是________．‎ ‎[解析]　(1)(1＋i)2＝1＋2i＋i2＝1＋2i－1＝2i，故选C ‎ (2)(1＋2i)(3－i)＝3－i＋6i－2i2＝5＋5i，‎ 所以z的实部是5.‎ ‎[答案]　(1)C　(2)5‎ 复数除法的运算 ‎　(1)如图323，在复平面内，复数z1，z2对应的向量分别是，，则复数对应的点位于(　　)‎ 图323‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎(2)计算：＋－.‎ ‎(1)B　[由复数的几何意义知，z1＝－2－i，z2＝i，‎ 所以＝＝－1＋2i，‎ 对应的点在第二象限．]‎ ‎(2)原式＝[(1＋i)2]3·＋[(1－i)2]3·－＝(2i)3·i＋(－2i)3·(－i)－＝8＋8－16－16i＝－16i.‎ ‎[规律方法]　1.两个复数代数形式的除法运算步骤 (1)首先将除式写为分式； (2)再将分子、分母同乘以分母的共轭复数； (3)然后将分子、分母分别进行乘法运算，并将其化为复数的代数形式. ‎2.常用公式 6‎ (1)＝－i；(2)＝i；(3)＝－i.‎ ‎[跟踪训练]‎ ‎2．(1)设复数z满足＝i，则|z|＝(　　)‎ A．1 B． C． D．2‎ ‎(2)计算：①；②.‎ ‎(1)A　[由＝i得1＋z＝i(1－z)，即z＝，z＝＝＝i，|z|＝1，选A.]‎ ‎(2)①＝＝＝1－i.‎ ‎②＝＝＝－1－3i.‎ 共轭复数及其应用 ‎[探究问题]‎ ‎1．若z＝，则z是什么数？这个性质有什么作用？‎ 提示：z＝⇔z∈R，利用这个性质可证明一个复数为实数．‎ ‎2．若z≠0且z＋＝0，则z是什么数？这个性质有什么作用？‎ 提示：z≠0且z＋＝0，则z为纯虚数，利用这个性质，可证明一个复数为纯虚数．‎ ‎3．三个实数|z|，||，z·具有怎样的关系？‎ 提示：设z＝a＋bi，则＝a－bi，所以|z|＝，||＝＝，z·＝(a＋bi)(a－bi)＝a2－(bi)2＝a2＋b2，所以|z|2＝||2＝z·.‎ ‎　(1)已知复数z＝，是z的共轭复数，则z·等于(　　) ‎ ‎【导学号：31062222】‎ A．　　　 B． ‎ C．1　　　 D．2‎ ‎(2)已知复数z满足|z|＝，且(1－2i)z是实数，求.‎ ‎[思路探究]　可以先设复数的代数形式，再利用复数的运算性质求解；也可以利用共轭复数的性质求解．‎ ‎(1)A　[法一：∵z＝＝＝＝＝ 6‎ ‎＝－＋，‎ ‎∴＝－－，∴z·＝.‎ 法二：∵z＝，‎ ‎∴|z|＝＝＝＝，∴z·＝.]‎ ‎(2)法一：设z＝a＋bi(a，b∈R)，则(1－2i)z＝(1－2i)(a＋bi)＝(a＋2b)＋(b－‎2a)i，又因为(1－2i)z是实数，所以b－‎2a＝0，即b＝‎2a，又|z|＝，所以a2＋b2＝5.解得a＝±1，b＝±2，所以z＝1＋2i或－1－2i，所以＝1－2i或－1＋2i，即＝±(1－2i)．‎ 法二：因为(1－2i)z是实数，故可设z＝b(1＋2i)，b∈R，由|z|＝可知|b|＝，所以b＝±1，‎ 即＝±(1－2i)．‎ 母题探究：1.(变结论)在题设(1)条件不变的情况下，把题设(1)的结论改为求.‎ ‎[解]　由例题(1)的解析可知z＝－＋，＝－－，z·＝，∴＝＝＝－i.‎ ‎2．(变条件)把题设(2)的条件“(1－2i)z是实数”换成“(1－2i)z是纯虚数”，求.‎ ‎[解]　设z＝a＋bi，则＝a－bi，由例题(2)的解可知a＝－2b，由|z|＝＝ ＝，得b＝1，a＝－2；或 b＝－1，a＝2.所以＝－2－i，或＝2＋i.‎ ‎[规律方法]　1.由比较复杂的复数运算给出的复数，求其共轭复数，可先按复数的四则运算法则进行运算，将复数写成代数形式，再写出其共轭复数. ‎2.注意共轭复数的简单性质的运用.‎ ‎ [当 堂 达 标·固 双 基]‎ ‎1．设复数z满足iz＝1，其中i为虚数单位，则z等于(　　)‎ ‎【导学号：31062223】‎ A．－i　 B．i C．－1 D．1‎ A　[z＝＝－i.]‎ ‎2．若复数z＝i(3－2i)(i是虚数单位)，则＝(　　)‎ 6‎ A．2－3i B．2＋3i C．3＋2i D．3－2i A　[∵z＝i(3－2i)＝3i－2i2＝2＋3i，∴＝2－3i.]‎ ‎3．复数(为虚数单位)的实部等于________．‎ ‎[解析]　由题可得＝－3－i，－3－i的实部为－3.‎ ‎[答案]　－3‎ ‎4．(1＋i)2－＝________.‎ ‎[解析]　∵(1＋i)2－＝2i－ ‎＝－＋i.‎ ‎[答案]　－＋i ‎5．已知复数z1＝(－1＋i)(1＋bi)，z2＝，其中a，b∈R.若z1与z2互为共轭复数，求a，b的值. ‎ ‎【导学号：31062224】‎ ‎[解]　z1＝(－1＋i)(1＋bi)＝－1－bi＋i－b＝(－b－1)＋(1－b)i, z2＝＝＝＝＋i.由于z1和z2互为共轭复数，所以有 解得 6‎