高中数学人教a版选修4-1同步辅导与检测：2_3圆的切线的性质及判定定理

高中数学人教a版选修4-1同步辅导与检测：2_3圆的切线的性质及判定定理

2.3 　圆的切线的性质及判定定理 1 ． 理解圆的切线的性质及其判定定理． 2 ．能正确应用圆的切线的性质及其判定定理． 1 ． 直线与圆有 ________ 公共点，称直线与圆相交；直线与圆只有 ________ 公共点，称直线与圆相切；直线与圆 ________ 公共点，称直线与圆相离． 2 ．切线的性质定理：圆的切线 ________ 经过切点的半径． 推论 1 ：经过圆心且垂直于切线的直线必经过 ________ ． 推论 2 ：经过切点且垂直于切线的直线必经过 ________ ． 3 ．切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的 ________ ． 1 ． 两个　一个　没有　 2. 垂直于　切点　圆心 3 ．切线 已知PAB是⊙O的割线，AB为⊙O的直径，PC为⊙O的切线，点C为切点，BD⊥PC于点D，交⊙O于点E，PA=AO=OB=1. (1)求∠P的度数. (2)求DE的长. 解析：(1)如图，连接OC. ∵点C为切点， ∴OC⊥PC，△POC为直角三角形. ∵OC=OA=1,PO=PA+AO=2, ∴sin∠ , ∴∠P=30°. (2)∵BD⊥PD, ∴ 在 Rt△PBD 中，由∠ P=30° ， PB=PA+AO+OB=3, 得 BD= . 如图，连接 AE ，则∠ AEB=90° ， ∴ AE∥PD. ∴∠EAB=∠P=30° ， ∴ BE=ABsin 30°=1, ∴DE=BD-BE= . 如图所示，△ ABC 为等腰三角形， O 是底边 BC 的中点，⊙ O 与腰 AB 相切于点 D . 求证： AC 与⊙ O 相切． 分析： 要证 AC 与⊙ O 相切，只需证明圆心 O 到直线 AC 的距离等于⊙ O 的半径即可． 证明： 连接 OD ，过点 O 作 OE ⊥ AC ，垂足为 E . ∵⊙ O 与 AB 相切于点 D ， ∴ OD ⊥ AB ，且 OD 等于圆的半径． ∵△ ABC 为等腰三角形， O 是底边 BC 的中点， ∴∠ B ＝∠ C ， OB ＝ OC . 又∵∠ ODB ＝∠ OEC ＝ 90° ， ∴△ ODB ≌△ OEC . ∴ OE ＝ OD ， 即 OE 是⊙ O 的半径， 即圆心 O 到直线 AC 的距离等于半径． ∴ AC 与⊙ O 相切． 如图所示，已知 AB 是⊙ O 的直径， BC 是⊙ O 的切线，切点为 B ， OC 平行于弦 AD . 求证： DC 是⊙ O 的切线． 证明： 如图所示，连接 OD . ∵ OC∥AD ， ∴∠ 3 ＝ 1 ，∠ 4 ＝∠ 2. ∵ OD ＝ OA ，∴∠ 1 ＝∠ 2 ，∴∠ 4 ＝∠ 3. ∵ OD ＝ OB ， OC ＝ OC ， ∴△ DOC ≌△ BOC . ∴∠ CDO ＝∠ CBO . ∵ AB 是直径， BC 是切线，∴∠ CBO ＝ 90° ， ∴∠ CDO ＝ 90° ， ∴ DC 是⊙ O 的切线． 1 ． 下列说法正确的是 ( 　　 ) A ．垂直于半径的直线是圆的切线 B ．垂直于切线的直线必经过圆心 C ．圆的切线垂直于经过切点的半径 D ．垂直于切线的直线必经过切点 2 ．已知圆的半径为 6.5 cm ，圆心到直线 l 的距离为 4.5 cm ，那么这条直线和这个圆的公共点的个数是 ( 　　 ) A ． 0 个　　　　　　　　　 B ． 1 个 C ． 2 个 D ．不能确定 C C 3 ．下列说法：①与圆有公共点的直线是圆的切线；②垂直于圆的半径的直线是圆的切线；③与圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；④过直径的端点，垂直于此直径的直线是圆的切线．其中正确的是 ( 　　 ) A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．①④ C 4 ．如图所示， AB 是圆 O 的直径，直线 MN 切半圆于点 C ， CD ⊥ AB ， AM ⊥ MN ， BN ⊥ MN ，则下列结论错误的是 ( 　　 ) A ．∠ 1 ＝∠ 2 ＝∠ 3 B ． AM · CN ＝ CM · BN C ． CM ＝ CD ＝ CN D ．△ ACM ∽△ ABC ∽△ CBN B 5 ．如图所示，⊙ O 是正△ ABC 的内切圆，切点分别为 E 、 F 、 G ， P 是 上任意一点，则∠ EPF 的度数等于 ( 　　 ) A ． 120° B ． 90° C ． 60° D ． 30° C 6 ．如图所示，⊙ O 为△ ABC 的内切圆，∠ C ＝ 90° ， AO 的延长线交 BC 于点 D ， AC ＝ 4 ， CD ＝ 1 ，则⊙ O 的半径等于 ( 　　 ) A 7 ．如图所示，已知 EB 是半圆 O 的直径， A 是 BE 延长线上一点， AC 是半圆 O 的切线，切点为 D ， BC ⊥ AC 于 C ，若 BC ＝ 6 ， AC ＝ 8 ，则 AE ＝ ________. 8 ． (2012 年广东卷 ) 如图所示，圆 O 的半径为 1 ， A ， B ， C 是圆周上的三点，满足 ∠ ABC ＝ 30° ，过点 A 作圆 O 的切线与 OC 的延长线交于点 P ，则 PA ＝ ________. 9 ． PA 、 PB 切⊙ O 于点 A 、 B ， PA ＝ 5 ，在劣弧 上取一点 C ，过 C 作⊙ O 的切线， 分别交 PA 、 PB 于 D 、 E 两点，则△ PDE 的周长等于 ________ ． 10 10 ．如图所示， OA 和 OB 是⊙ O 的半径，并且 OA ⊥ OB ， P 是 OA 上任意一点， BP 的延长线交⊙ O 于点 Q ，过点 Q 作⊙ O 的切线交 OA 的延长线于点 R ，求证： RP ＝ RQ . 分析： 已知 QR 是⊙ O 的切线，可利用切线的性质定理，即 OQ ⊥ RQ ，另外，要证 RP ＝ RQ ，只要证∠ RPQ ＝∠ RQP 即可，只要证∠ BPO ＝∠ PQR 即可，再结合 OQ ⊥ RQ . 证明： 连接 OQ . ∵ QR 是⊙ O 的切线， ∴ OQ ⊥ QR . ∵ OB ＝ OQ ， ∴∠ B ＝∠ OQB . ∵ BO ⊥ OA ， ∴∠ BPO ＝ 90° －∠ B ＝∠ RPQ ， ∠ PQR ＝ 90° －∠ OQP ， ∴∠ RPQ ＝∠ PQR ， ∴ RP ＝ RQ 11 ．如图所示，已知直线 AB 经过⊙ O 上的一点 C ，并且 OA ＝ OB ， CA ＝ CB ，求证：直线 AB 是⊙ O 的切线． 分析： 如图所示，由于直线 AB 经过⊙ O 上一点 C ，所以连接 OC ，只要证明 OC ⊥ AB 即可． 证明： 连接 OC .∵ OA ＝ OB ， CA ＝ CB ， ∴ OC 是等腰△ OAB 底边 AB 上的中线． ∴ AB ⊥ OC . 又∵点 C 在⊙ O 上， ∴ AB 是⊙ O 的切线 12 ．如图所示，已知 AP 是⊙ O 的切线， P 为切点， AC 是⊙ O 的割线，与⊙ O 交于 B 、 C 两点，圆心 O 在∠ PAC 的内部，点 M 是 BC 的中点． (1) 证明： A 、 P 、 O 、 M 四点共圆． (2) 求∠ OAM ＋∠ APM 的大小． (1) 证明： 连接 OP 、 OM ，如图． ∵ AP 与⊙ O 相切于点 P ， ∴ OP ⊥ AP . ∵ 点 M 是⊙ O 的弦 BC 的中点， ∴ OM ⊥ BC . 于是∠ OPA ＋∠ OMA ＝ 180° ，由圆心 O 在∠ PAC 的内部 , 可知四边形 APOM 的对角互补，∴ A 、 P 、 O 、 M 四点共圆． (2) 解析： 由 (1) 得 A 、 P 、 O 、 M 四点共圆， 所以∠ OAM ＝∠ OPM . 由 (1) 得 OP ⊥ AP . 由圆心 O 在∠ PAC 的内部，可知∠ OPM ＋∠ APM ＝ 90°. ∴∠ OAM ＋∠ APM ＝ 90° 1 ． 分析圆的切线的性质定理及两个推论的条件和结论间的关系，可以得出如下结论：如果一条直线具备下列三个条件中的任意两个，就可以推出第三个：①垂直于切线；②过切点；③过圆心．于是，在利用切线性质时，通常作的辅助线是过切点的半径． 2 ．圆的切线还有两条性质应当注意：一是切线和圆只有一个公共点；二是切线和圆心的距离等于圆的半径．在许多实际问题中，我们也利用它们来解决． 3 ．在切线的判定定理中，要分清定理的题设和结论，强调 “ 经过半径外端 ” 和 “ 垂直于这条半径 ” ，这两个条件缺一不可，否则就不是圆的切线，如下图的例子就不同时满足两个条件，所以都不是圆的切线． 4 ．用判定定理证明一直线与圆相切时，必须满足两个条件：①过半径的外端；②垂直于这条半径．因此在解决相关问题时，若已知要证的切线经过圆上一点，则需把这点与圆心相连，证这条直线与此半径垂直，否则需先向这条直线作垂线，再证此垂线段是圆的半径． 感谢您的使用，退出请按 ESC 键 本小节结束