2020年高中数学新教材同步必修第一册 第5章 5.2 三角函数的概念 5.2.1 三角函数的概念

2020年高中数学新教材同步必修第一册 第5章 5.2 三角函数的概念 5.2.1 三角函数的概念

5.2 三角函数的概念 5.2.1 三角函数的概念 学习目标 1.借助单位圆理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.2.掌握任意角三角 函数(正弦、余弦、正切)在各象限的符号.3.会利用角的终边上的点的坐标求角的正弦、余弦、 正切.4.掌握公式并会应用． 知识点一 任意角的三角函数的定义 设α是一个任意角，α∈R，它的终边 OP 与单位圆相交于点 P(x，y)， 点 P 的纵坐标 y 叫做α的正弦函数，记作 sin α，即 sin α＝y；点 P 的横坐标 x 叫做α的余弦函 数，记作 cos α，即 cos α＝x；把点 P 的纵坐标与横坐标的比值y x 叫做α的正切，记作 tan α，即 tan α＝y x(x≠0)． 正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数，分别记为： 正弦函数 y＝sin x，x∈R； 余弦函数 y＝cos x，x∈R； 正切函数 y＝tan x，x≠π 2 ＋kπ(k∈Z)． 思考 三角函数值的大小与点 P 在角α终边上位置是否有关？ 答案 三角函数值是比值，是一个实数，它的大小与点 P 在终边上的位置无关，只与角α的 终边位置有关，即三角函数值的大小只与角有关． 知识点二 正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号 1．图示： 2．口诀：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”． 知识点三 公式一 sin(α＋2kπ)＝sin α， cos(α＋2kπ)＝cos α， tan(α＋2kπ)＝tan α， 其中 k∈Z. 终边相同的角的同一三角函数的值相等． 思考 同一三角函数值相等时，角是否一定相等或相差周角的整数倍？ 答案 不一定，如 sin 30°＝sin 150°＝1 2. 1．sin α表示 sin 与α的乘积．( × ) 2．设角α终边上的点 P(x，y)，r＝|OP|≠0，则 sin α＝y r ，且 y 越大，sin α的值越大．( × ) 3．终边相同的角的同一三角函数值相等．( √ ) 4．终边落在 y 轴上的角的正切函数值为 0.( × ) 一、任意角三角函数的定义及应用 例 1 (1)已知角α的终边与单位圆的交点为 P 3 5 ，y (y<0)，则 tan α＝ . 答案 －4 3 解析 因为点 P 3 5 ，y (y<0)在单位圆上，则 9 25 ＋y2＝1， 所以 y＝－4 5 ，所以 tan α＝－4 3. (2)已知角α的终边落在射线 y＝2x(x≥0)上，求 sin α，cos α的值． 解 设射线 y＝2x(x≥0)上任一点 P(x0，y0)， 则|OP|＝r＝ x20＋y20， ∵y0＝2x0，∴r＝ 5x0， ∴sin α＝y0 r ＝2 5 5 ，cos α＝x0 r ＝ 5 5 . 延伸探究 1．若将本例(1)中条件“α的终边与单位圆的交点为 P 3 5 ，y (y<0)”改为“α的终边经过点 P(－ 3，－4)”，求角α的正弦、余弦和正切值． 解 由已知可得|OP|＝ －32＋－42＝5. 如图所示，设角α的终边与单位圆交于点 P0(x，y)． 分别过点 P，P0 作 x 轴的垂线 PM，P0M0， 则|MP|＝4，|M0P0|＝－y， |OM|＝3，|OM0|＝－x， △OMP∽△OM0P0， 于是，sin α＝y＝y 1 ＝－|M0P0| |OP0| ＝－|MP| |OP| ＝－4 5 ； cos α＝x＝x 1 ＝－|OM0| |OP0| ＝－|OM| |OP| ＝－3 5 ； tan α＝y x ＝sin α cos α ＝4 3. 2．若将本例(2)中条件“α的终边落在射线 y＝2x(x≥0)上”，换为“α的终边落在直线 y＝2x 上”，其结论又如何呢？ 解 (1)若α的终边在第一象限内， 设点 P(a,2a)(a>0)是其终边上任意一点， 因为 r＝|OP|＝ a2＋4a2＝ 5a 所以 sin α＝y r ＝ 2a 5a ＝2 5 5 ，cos α＝x r ＝ a 5a ＝ 5 5 . (2)若α的终边在第三象限内， 设点 P(a,2a)(a<0)是其终边上任意一点， 因为 r＝|OP|＝ a2＋4a2＝－ 5a(a<0)， 所以 sin α＝y r ＝ 2a － 5a ＝－2 5 5 ，cos α＝x r ＝ a － 5a ＝－ 5 5 . 反思感悟 利用三角函数的定义求值的策略 (1)已知角α的终边在直线上求α的三角函数值时，常用的解题方法有以下两种： ①先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后利用三角函数的定义求出相应的三角函数值． ②注意到角的终边为直线，所以应分两种情况来处理，取射线上任一点坐标(a，b)(a≠0)，则 对应角的正弦值 sin α＝ b a2＋b2 ，余弦值 cos α＝ a a2＋b2 ，正切值 tan α＝b a. (2)当角的终边上的点的坐标以参数的形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论. 跟踪训练 1 已知角α的终边过点 P(－3a,4a)(a≠0)，则 2sin α＋cos α＝ . 答案 1 或－1 解析 因为 r＝ －3a2＋4a2＝5|a|， ①若 a>0，则 r＝5a，角α在第二象限． sin α＝y r ＝4a 5a ＝4 5 ，cos α＝x r ＝－3a 5a ＝－3 5 ， 所以 2sin α＋cos α＝8 5 －3 5 ＝1. ②若 a<0，则 r＝－5a，角α在第四象限， sin α＝ 4a －5a ＝－4 5 ，cos α＝－3a －5a ＝3 5. 所以 2sin α＋cos α＝－8 5 ＋3 5 ＝－1. 二、三角函数值符号的运用 例 2 (1)已知点 P(tan α，cos α)在第四象限，则角α的终边在( ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 (2)下列各式： ①sin(－100°)；②cos(－220°)；③tan(－10)；④cos π. 其中符号为负的有( ) A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 答案 (1)C (2)D 解析 (1)因为点 P 在第四象限，所以有 tan α>0， cos α<0， 由此可判断角α的终边在第三象限． (2)－100°在第三象限，故 sin(－100°)<0；－220°在第二象限，故 cos(－220°)<0； －10∈ －7 2π，－3π ，在第二象限，故 tan(－10)<0，cos π＝－1<0. 反思感悟 判断三角函数值正负的两个步骤 (1)定象限：确定角α所在的象限． (2)定符号：利用三角函数值的符号规律，即“一全正，二正弦，三正切，四余弦”来判断． 跟踪训练 2 已知点 P(sin α，cos α)在第三象限，则角α的终边在( ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 答案 C 三、公式一的应用 例 3 计算下列各式的值： (1)sin(－1 395°)cos 1 110°＋cos(－1 020°)sin 750°； (2)sin －11π 6 ＋cos12π 5 tan 4π. 解 (1)原式 ＝sin(－4×360°＋45°)cos(3×360°＋30°)＋cos(－3×360°＋60°)sin(2×360°＋30°) ＝sin 45°cos 30°＋cos 60°sin 30° ＝ 2 2 × 3 2 ＋1 2 ×1 2 ＝ 6 4 ＋1 4 ＝1＋ 6 4 . (2)原式＝sin －2π＋π 6 ＋cos 2π＋2π 5 tan(4π＋0)＝sin π 6 ＋cos 2π 5 ×0＝1 2. 反思感悟 利用诱导公式一求解任意角的三角函数的步骤 跟踪训练 3 (1)cos 405°的值是( ) A.1 2 B．－1 2 C. 2 2 D．－ 2 2 答案 C 解析 cos 405°＝cos(45°＋360°)＝cos 45°＝ 2 2 . (2)sin 25π 3 ＋tan －15π 4 ＝ . 答案 3 2 ＋1 解析 sin 25π 3 ＋tan －15π 4 ＝sin π 3 ＋8π ＋tan π 4 －4π ＝sin π 3 ＋tan π 4 ＝ 3 2 ＋1. 1．已知角α的终边经过点(－4,3)，则 cos α等于( ) A.4 5 B.3 5 C．－3 5 D．－4 5 答案 D 2．sin(－315°)的值是( ) A．－ 2 2 B．－1 2 C. 2 2 D.1 2 答案 C 解析 sin(－315°)＝sin(－360°＋45°)＝sin 45°＝ 2 2 . 3．若 sin θ·cos θ>0，则θ在( ) A．第一或第四象限 B．第一或第三象限 C．第一或第二象限 D．第二或第四象限 答案 B 解析 因为 sin θ·cos θ>0， 所以 sin θ<0，cos θ<0 或 sin θ>0，cos θ>0， 所以θ在第一象限或第三象限． 4．tan －17π 3 ＝ . 答案 3 解析 tan －17π 3 ＝tan －6π＋π 3 ＝tan π 3 ＝ 3. 5．y＝sin x＋tan x 的定义域为 ． 答案 x|x≠π 2 ＋kπ，k∈Z 解析 要使函数有意义，需满足 x∈R， x≠π 2 ＋kπ，k∈Z. ∴函数的定义域为 x|x≠π 2 ＋kπ，k∈Z . 1．知识清单： (1)三角函数的定义及求法； (2)三角函数在各象限内的符号； (3)公式一． 2．方法归纳：负角化为正角、大角化为小角的化归思想；角的终边位置上点的不确定引起的 分类讨论思想． 3．常见误区：三角函数值的大小只与角的大小有关，与终边上的点无关；正切函数的定义域 为 x|x≠π 2 ＋kπ，k∈Z . 1．已知角α的终边与单位圆交于点 － 3 2 ，－1 2 ，则 sin α的值为( ) A．－ 3 2 B．－1 2 C. 3 2 D.1 2 答案 B 2．若 cos α＝－ 3 2 ，且角α的终边经过点 P(x,2)，则 P 点的横坐标 x 是( ) A．2 3 B．±2 3 C．－2 2 D．－2 3 答案 D 解析 因为 cos α＝－ 3 2 <0，所以 x<0， 又 r＝ x2＋22，由题意得 x x2＋22 ＝－ 3 2 ， 所以 x＝－2 3.故选 D. 3．有下列命题，其中正确的个数是( ) ①终边相同的角的同名三角函数值相等； ②同名三角函数值相等的角也相等； ③终边不相同，它们的同名三角函数值一定不相等； ④不相等的角，同名三角函数值也不相等． A．0 B．1 C．2 D．3 答案 B 解析 对于①，由诱导公式一可得正确； 对于②，由 sin 30°＝sin 150°＝1 2 ， 但 30°≠150°，所以②错误； 对于③，如α＝60°，β＝120°的终边不相同， 但 sin 60°＝sin 120°＝ 3 2 ，所以③错误； 对于④，由③中的例子可知④错误． 4．代数式 sin(－330°)cos 390°的值为( ) A．－3 4 B. 3 4 C．－3 2 D.1 4 答案 B 解析 由诱导公式可得， sin(－330°)cos 390°＝sin 30°×cos 30° ＝1 2 × 3 2 ＝ 3 4 ，故选 B. 5．函数 y＝ sin x＋ －cos x的定义域是( ) A．(2kπ，2kπ＋π)，k∈Z B. 2kπ＋π 2 ，2kπ＋π ，k∈Z C. kπ＋π 2 ，kπ＋π ，k∈Z D．[2kπ，2kπ＋π]，k∈Z 答案 B 解析 由 sin x≥0，－cos x≥0， 得 x 为第二象限角或 y 轴正半轴上的角或 x 轴负半轴上的角， 所以 2kπ＋π 2 ≤x≤2kπ＋π，k∈Z. 6．若 420°角的终边所在直线上有一点(－4，a)，则 a 的值为 ． 答案 －4 3 解析 由三角函数定义知，tan 420°＝－a 4 ， 又 tan 420°＝tan(360°＋60°)＝tan 60°＝ 3， ∴－a 4 ＝ 3，∴a＝－4 3. 7．点 P(tan 2 019°，cos 2 019°)位于第 象限． 答案 四 解析 因为 2 019°＝5×360°＋219°， 所以 2 019°与 219°终边相同，是第三象限角， 所以 tan 2 019°>0，cos 2 019°<0， 所以点 P 位于第四象限． 8．已知角α的终边经过点(3a－9，a＋2)，且 cos α≤0，sin α>0，则实数 a 的取值范围是 ． 考点 三角函数值在各象限的符号 题点 三角函数值在各象限的符号 答案 (－2,3] 解析 由 cos α≤0，sin α>0 可知，角α的终边落在第二象限内或 y 轴的正半轴上，所以 3a－9≤0， a＋2>0， 解得－20， 则有 sin θ<0 且 cos θ<0， ∴角θ位于第三象限． 12．某点从点(1,0)出发，沿单位圆 x2＋y2＝1 按逆时针方向运动2π 3 弧长到达 Q 点，则 Q 点的 坐标为( ) A. －1 2 ， 3 2 B. － 3 2 ，－1 2 C. －1 2 ，－ 3 2 D. － 3 2 ，1 2 答案 A 解析 由三角函数定义可得 Q cos2π 3 ，sin2π 3 ， cos 2π 3 ＝－1 2 ，sin 2π 3 ＝ 3 2 . 13．如果 cos x＝|cos x|，那么角 x 的取值范围是 ． 答案 2kπ－π 2 ，2kπ＋π 2 ，k∈Z 解析 因为 cos x＝|cos x|，所以 cos x≥0，所以角 x 的终边落在 y 轴或其右侧，从而角 x 的取 值范围是 2kπ－π 2 ，2kπ＋π 2 ，k∈Z. 14．已知角α的顶点为坐标原点，以 x 轴的非负半轴为始边，它的终边过点 1 2 ，－ 3 2 ，则 sin α＝ ，cos α＝ . 答案 － 3 2 1 2 解析 由三角函数的定义得 r＝ 1 2 2＋ － 3 2 2＝ 1 4 ＋3 4 ＝1， 则 sin α＝y r ＝－ 3 2 ，cos α＝1 2. 15．α是第三象限角，且|cos α 2|＝－cos α 2 ，则α 2 所在象限是( ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 答案 B 解析 因为α是第三象限角， 所以 2kπ＋π<α<2kπ＋3π 2 ，k∈Z. 所以 kπ＋π 2<α 20， 所以角α是第四象限角． (2)∵|OM|＝1，∴ 3 5 2＋m2＝1， 解得 m＝±4 5. 又α是第四象限角，故 m<0，从而 m＝－4 5. 由正弦函数的定义可知 sin α＝y r ＝ m |OM| ＝ －4 5 1 ＝－4 5.