2020全国卷Ⅱ高考理数试卷（word版含答案）

2020全国卷Ⅱ高考理数试卷（word版含答案）

绝密★启用前 2020 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、座位号填写在答题卡上。本试卷满分 150 分。 2．作答时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的． 1．已知集合 U={−2，−1，0，1，2，3}，A={−1，0，1}，B={1，2}，则 A．{−2，3} B．{−2，2，3} C．{−2，−1，0，3} D．{−2，−1，0，2，3} 2．若 α 为第四象限角，则 A．cos2α>0 B．cos2α<0 C．sin2α>0 D．sin2α<0 3．在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成 1200 份订单的配货，由于订单量大 幅增加，导致订单积压．为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作．已知该超市某日积压 500 份 订单未配货，预计第二天的新订单超过 1600 份的概率为 0.05，志愿者每人每天能完成 50 份订单的配货， 为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于 0.95，则至少需要志愿者 A．10 名 B．18 名 C．24 名 D．32 名 4．北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环 绕天心石砌 9 块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加 9 块，下一层的第一环比上一层的最后一环 多 9 块，向外每环依次也增加 9 块，已知每层环数相同，且下层比中层多 729 块，则三层共有扇面形石 板(不含天心石) A．3699 块 B．3474 块 C．3402 块 D．3339 块 ( )U A B = 5．若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线 的距离为 A． B． C． D． 6．数列 中， ， ，若 ，则 A．2 B．3 C．4 D．5 7．右图是一个多面体的三视图，这个多面体某条棱的一个端点在正视图中对应的点为 ，在俯视图中对 应的点为 ，则该端点在侧视图中对应的点为 A． B． C． D． 2 3 0x y− − = 5 5 2 5 5 3 5 5 4 5 5 { }na 1 2a = m n m na a a+ = 15 5 1 2 10 2 2k k ka a a+ + ++ + + = − k = M N E F G H 8．设 为坐标原点，直线 与双曲线 的两条渐近线分别交于 两点， 若 的面积为 8，则 的焦距的最小值为 A．4 B．8 C．16 D．32 9．设函数 ，则 f(x) A．是偶函数，且在 单调递增 B．是奇函数，且在 单调递减 C．是偶函数，且在 单调递增 D．是奇函数，且在 单调递减 10．已知△ABC 是面积为 的等边三角形，且其顶点都在球 O 的球面上．若球 O 的表面积为 16π，则 O 到平面 ABC 的距离为 A． B． C．1 D． 11．若 2x－2y<3−x－3−y，则 A．ln(y-x+1)>0 B．ln(y-x+1)<0 C．ln∣x-y∣>0 D．ln∣x-y∣<0 12．0-1 周期序列在通信技术中有着重要应用．若序列 满足 ，且存在正整数 ，使得 成立，则称其为 0-1 周期序列，并称满足 的最小正整数 为这个序列的周期．对于周期为 的 0-1 序列 ， 是描述其 性质的重要指标，下列周期为 5 的 0-1 序列中，满足 的序列是 A． B． C． D． 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13．已知单位向量a，b的夹角为45°，ka–b与a垂直，则k=__________． 14．4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不 同的安排方法共有__________种． 15．设复数 ， 满足 ， ，则 =__________． O x a= 2 2 2 2: 1( 0, 0)x yC a ba b − = > > ,D E ODE△ C ( ) ln | 2 1| ln | 2 1|f x x x= + − − 1( , )2 +∞ 1 1( , )2 2 − 1( , )2 −∞ − 1( , )2 −∞ − 9 3 4 3 3 2 3 2 1 2 na a a  {0,1}( 1,2, )ia i∈ =  m ( 1,2, )i m ia a i+ = =  ( 1,2, )i m ia a i+ = =  m m 1 2 na a a  1 1( ) ( 1,2, , 1) m i i k i C k a a k mm + = = = −∑  1( ) ( 1,2,3,4)5C k k≤ = 11010 11011 10001 11001 1z 2z 1 2| |=| |=2z z 1 2 3 iz z+ = + 1 2| |z z− 16．设有下列四个命题： p1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内． p2：过空间中任意三点有且仅有一个平面． p3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行． p4：若直线l 平面α，直线m⊥平面α，则m⊥l． 则下述命题中所有真命题的序号是__________． ① ② ③ ④ 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17～21 题为必考题，每个试题考 生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共 60 分。 17．（12 分） 中，sin2A－sin2B－sin2C= sinBsinC． （1）求 A； （2）若 BC=3，求 周长的最大值． 18．（12 分） 某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加．为调查该地区某种野生动物 的数量，将其分成面积相近的 200 个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取 20 个作为样区， 调查得到样本数据(xi，yi) (i=1，2，…，20)，其中 xi 和 yi 分别表示第 i 个样区的植物覆盖面积(单位： 公 顷 ) 和 这 种 野 生 动 物 的 数 量 ， 并 计 算 得 ， ， ， ， ． （1）求该地区这种野生动物数量的估计值（这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的 平均数乘以地块数）； ⊂ 1 4p p∧ 1 2p p∧ 2 3p p¬ ∨ 3 4p p¬ ∨ ¬ ABC△ ABC△ 20 1 60 i ix = =∑ 20 1 1200 i iy = =∑ 20 2 1 ) 80 i i xx = − =∑（ 20 2 1 ) 9000 i iy y = − =∑（ 20 1 ) ) 800i i ix yx y = − − =∑（ （ （2）求样本(xi，yi) (i=1，2，…，20)的相关系数（精确到 0.01）； （3）根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大．为提高样本的代表性以获得该地区这种野 生动物数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由． 附：相关系数 r= ， =1.414． 19．（12 分） 已知椭圆 C1： (a>b>0)的右焦点 F 与抛物线 C2 的焦点重合，C1 的中心与 C2 的顶点重合．过 F 且与 x 轴垂直的直线交 C1 于 A，B 两点，交 C2 于 C，D 两点，且|CD|= |AB|． （1）求 C1 的离心率； （2）设 M 是 C1 与 C2 的公共点，若|MF|=5，求 C1 与 C2 的标准方程． 20．（12 分） 如图，已知三棱柱 ABC-A1B1C1 的底面是正三角形，侧面 BB1C1C 是矩形，M，N 分别为 BC，B1C1 的中 点，P 为 AM 上一点，过 B1C1 和 P 的平面交 AB 于 E，交 AC 于 F． （1）证明：AA1∥MN，且平面 A1AMN⊥EB1C1F； （2）设 O 为△A1B1C1 的中心，若 AO∥平面 EB1C1F，且 AO=AB，求直线 B1E 与平面 A1AMN 所成角的 正弦值． 21． (12 分) 1 2 2 1 1 ) ) ) ) n i i i i i n n i i x y x x y yyx = = = − − − − ∑ ∑ ∑ （ （ （ （ 2 2 2 2 2 1x y a b + = 4 3 已知函数 f(x)= sin2x sin2x． （1）讨论 f(x)在区间(0，π)的单调性； （2）证明: ； （3）设 n∈N*，证明：sin2x sin22x sin24x…sin22nx≤ ． （二）选考题：共 10 分．请考生在第 22、23 题中任选一题作答。并用 2B 铅笔将所选题号涂黑，多涂、错 涂、漏涂均不给分．如果多做，则按所做的第一题计分． 22．[选修 4—4：坐标系与参数方程]（10 分） 已知曲线 C1，C2 的参数方程分别为 C1： （θ 为参数），C2： （t 为参数）． （1）将 C1，C2 的参数方程化为普通方程； （2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．设 C1，C2 的交点为 P，求圆心在极轴上， 且经过极点和 P 的圆的极坐标方程． 23．[选修 4—5：不等式选讲]（10 分） 已知函数 f(x)= |x-a2|+|x-2a+1|． （1）当 a=2 时，求不等式 f(x)≥4 的解集； （2）若 f(x)≥4，求 a 的取值范围． 参考答案 1．A 2．D 3．B 4．C 5．B 6．C 7．A 8．B 9．D 10．C 11．A 12．C 13． 14．36 15． 16．①③④ 3 3( ) 8f x ≤ 3 4 n n 2 2 4cos 4sin x y θ θ  = = ， 1, 1 x t t y t t  = +  = − 2 2 2 3 17．解：（1）由正弦定理和已知条件得 ，① 由余弦定理得 ，② 由①，②得 . 因为 ，所以 . （2）由正弦定理及（1）得 ， 从而 ， . 故 . 又 ，所以当 时， 周长取得最大值 . 18．解：（1）由己知得样本平均数 ，从而该地区这种野生动物数量的估计值为 60×200= 12 000． （2）样本 的相关系数 ． （3）分层抽样：根据植物覆盖面积的大小对地块分层，再对 200 个地块进行分层抽样． 理由如下：由（2）知各样区的这种野生动物数量与植物覆盖面积有很强的正相关．由于各地块间植物 覆盖面积差异很大，从而各地块间这种野生动物数量差异也很大，采用分层抽样的方法较好地保持了 样本结构与总体结构的一致性，提高了样本的代表性，从而可以获得该地区这种野生动物数量更准确 的估计． 19．解：（1）由已知可设 的方程为 ，其中 . 2 2 2BC AC AB AC AB− − = ⋅ 2 2 2 2 cosBC AC AB AC AB A= + − ⋅ 1cos 2A = 0 πA< < 2π 3A = 2 3sin sin sin AC AB BC B C A = = = 2 3sinAC B= 2 3sin(π ) 3cos 3sinAB A B B B= − − = − π3 3sin 3cos 3 2 3sin( )3BC AC AB B B B+ + = + + = + + π0 3B< < π 6B = ABC△ 3 2 3+ 20 1 601 20 i iy y = == ∑ ( , )i ix y ( 1,2, ,20)i =  20 1 20 20 2 2 1 1 ) ) 80 2 2 0.94380 9000) ) i i i i i i i x y r x x y yx y = = = − − = = = ≈ ×− − ∑ ∑ ∑ （ （ （ （ 2C 2 4y cx= 2 2c a b= − 不妨设 在第一象限，由题设得 的纵坐标分别为 ， ； 的纵坐标分别为 ， ， 故 ， . 由 得 ，即 ，解得 （舍去）， . 所以 的离心率为 . （2）由（1）知 ， ，故 ， 设 ，则 ， ，故 .① 由于 的准线为 ，所以 ，而 ，故 ，代入①得 ，即 ，解得 （舍去）， . 所以 的标准方程为 ， 的标准方程为 . 20．解：（1）因为M，N分别为BC，B1C1的中点，所以MN∥CC．又由已知得AA1∥CC1，故AA1∥MN． 因为△A1B1C1是正三角形，所以B1C1⊥A1N．又B1C1⊥MN，故B1C1⊥平面A1AMN． 所以平面A1AMN⊥平面EB1CF． （2）由己知得AM⊥BC．以M为坐标原点， 的方向为x轴正方向， 为单位长，建立如图所示的 空间直角坐标系M-xyz，则AB=2，AM= ． 连接 NP，则四边形 AONP 为平行四边形，故 ．由（1）知平面 A1AMN⊥平面 ABC，作 NQ⊥AM，垂足为 Q，则 NQ⊥平面 ABC． ,A C ,A B 2b a 2b a − ,C D 2c 2c− 22| | bAB a = | | 4CD c= 4| | | |3CD AB= 284 3 bc a = 23 2 2( )c c a a × = − 2c a = − 1 2 c a = 1C 1 2 2a c= 3b c= 2 2 1 2 2: 14 3 x yC c c + = 0 0( , )M x y 2 2 0 0 2 2 14 3 x y c c + = 2 0 04y cx= 2 0 0 2 4 14 3 x x c c + = 2C x c= − 0| |MF x c= + | | 5MF = 0 5x c= − 2 2 (5 ) 4(5 ) 14 3 c c c c − −+ = 2 2 3 0c c− − = 1c = − 3c = 1C 2 2 136 27 x y+ = 2C 2 12y x= MA MB 3 2 3 2 3 1, ( , ,0)3 3 3PM E= 设 ，则 ， 故 ． 又 是平面 A1AM 的法向量，故 ． 所以直线 B1E 与平面 A1AMN 所成角的正弦值为 ． 21．解：（1） ． 当 时， ；当 时， ． 所以 在区间 单调递增，在区间 单调递减． （2）因为 ，由（1）知， 在区间 的最大值为 ， 最小值为 ．而 是周期为 的周期函数，故 ． （3）由于 ( ,0,0)Q a 2 2 1 2 3 2 34 ( ) , ( ,1, 4 ( ) )3 3NQ a B a a= − − − − 2 1 1 2 3 2 2 3 2 10( , , 4 ( ) ),| |3 3 3 3B E a a B E= − − − − − =  (0, 1,0)= −n 1 1 1 1 ,π 10sin( , ) cos ,2 10| | B EB E B E B E − = = = ⋅    nn n | n | 10 10 ( ) cos (sin sin 2 ) sin (sin sin 2 )f x x x x x x x '′ = + 22sin cos sin 2 2sin cos2x x x x x= + 2sin sin3x x= (0, ) ( , )3 3x π 2π∈ π ( ) 0f x′ > ( , )3 3x π 2π∈ ( ) 0f x′ < ( )f x (0, ),( , )3 3 π 2π π ( , )3 3 π 2π (0) ( ) 0f f= π = ( )f x [0, ]π 3 3( )3 8f π = 3 3( )3 8f 2π = − ( )f x π 3 3| ( ) | 8f x ≤ 3 2 2 2 2(sin sin 2 sin 2 )nx x x 3 3 3| sin sin 2 sin 2 |nx x x=  ， 所以 ． 22．解：（1） 的普通方程为 ． 由 的参数方程得 ， ，所以 ． 故 的普通方程为 ． （2）由 得 所以 的直角坐标为 ． 设所求圆的圆心的直角坐标为 ，由题意得 ， 解得 ． 因此，所求圆的极坐标方程为 ． 23．解：（1）当 时， 因此，不等式 的解集为 ． （ 2 ） 因 为 ， 故 当 ， 即 时 ， ．所以当 a≥3 或 a≤-1 时， ． 所以 a 的取值范围是 ． 2 3 3 1 2| sin || sin sin 2 sin 2 sin 2 || sin 2 |n n nx x x x x x−=  1 2| sin || ( ) (2 ) (2 ) || sin 2 |n nx f x f x f x x−=  1| ( ) (2 ) (2 ) |nf x f x f x−≤  2 2 2 2 33 3 3sin sin 2 sin 2 ( )8 4 n n n nx x x ≤ = 1C 4(0 4)x y x+ = ≤ ≤ 2C 2 2 2 1 2x t t = + + 2 2 2 1 2y t t = + − 2 2 4x y− = 2C 2 2 4x y− = 2 2 4, 4 x y x y + =  − = 5 ,2 3 ,2 x y  =  = P 5 3( , )2 2 0( ,0)x 2 2 0 0 5 9( )2 4x x= − + 0 17 10x = 17 cos5 ρ θ= 2a = 7 2 , 3, ( ) 1,3 4, 2 7, 4, x x f x x x x − ≤ = < ≤  − > ( ) 4f x ≥ 3 11{ | }2 2x x x≤ ≥或 2 2 2( ) | | | 2 1| | 2 1| ( 1)f x x a x a a a a= − + − + ≥ − + = − 2( 1) 4a − ≥ | 1| 2a − ≥ ( ) 4f x ≥ ( ) 4f x ≥ ( , 1] [3, )−∞ − +∞