【2020年高考数学预测题】上海市高考数学试卷（文科）2【附详细答案和解析_可编辑】
【2020年高考数学预测题】上海市高考数学试卷（文科）2【附详细答案和解析_可编辑】
学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________
一、 选择题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ， ）
1. 已知函数f(x)=3x-3-x，∀a，b∈R，则“a>b“是“f(a)>f(b)”的( )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
2. 如图，点P、Q、R、S分别在正方体的四条棱上，并且是所在棱的中点，则直线PQ与RS是异面直线的图是（ ）
A. B.
C. D.
3. 若x1=π4,x2=3π4是函数f(x)＝sin(ωx+φ)(ω>0)两个相邻的零点，则ω＝（ ）
A.2 B.32 C.1 D.12
4. 设f(x)，g(x)，h(x)是定义域为R的三个函数，对于命题：①若f(x)+g(x)，f(x)+h(x)，g(x)+h(x)均是增函数，则f(x)，g(x)，h(x)均是增函数；②若f(x)+g(x)，f(x)+h(x)，g(x)+h(x)均是以T为周期的函数，则f(x)，g(x)，h(x)均是以T为周期的函数，下列判断正确的是( )
A.①和②均为真命题 B.①和②均为假命题
C.①为真命题，②为假命题 D.①为假命题，②为真命题
二、 填空题 （本题共计 14 小题 ，每题 4 分 ，共计56分 ， ）
5. 如关于x的不等式|x+1|-|ax-1|>0对任意x∈(0，1)恒成立，则a的取值范围为________.
6. 设实数x>0，若x+i2是纯虚数（其中i为虚数单位），则x=________.
7. 平行于直线4x+3y-10=0，且与其距离为2的直线方程是________．
8. 已知样本数据x1，x2，⋯，xn的平均数x¯=5，则样本数据2x1+1，2x2+1，…，2xn+1的平均数为________．
9. 求值sin61∘cos1∘-sin29∘sin1∘=________.
10. 若函数y=x2-2ax+a在x∈[1, 3]上存在反函数，且|a-1|+|a-3|≤4，则a的取值范围是________．
11. 若变量x，y满足约束条件y≥x，y≤2x，x+y≤4，则z=x-2y的最小值是________.
12. 已知x∈(0, π2)，tanx=34，则2sin(π-x)+sin2x1+cosx=________．
13. 二项式 x-13x8 的展开式中常数项为________．
14. △ABC三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足(b+c)(b-c)=a(b-a)，则内角C等于________.
15. 将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具）先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是________．
16. log2(sin2α+sec2α+1sec2α-1cot2α)=________．
17. 已知正数x，y满足x+y=1，则4x+1+9y+1的最小值是________．
18. 无穷数列{an}由k个不同的数组成，Sn为{an}的前n项和．若对任意n∈N*，Sn∈{2, 3}，则k的最大值为________．
三、 解答题 （本题共计 5 小题 ，每题 14 分 ，共计70分 ， ）
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19. 将边长为1的正方形AA1O1O（及其内部）绕OO1旋转一周形成圆柱，如图，AC长为5π6，A1B1长为π3，其中B1与C在平面AA1O1O的同侧．
(1)求圆柱的体积与侧面积；
(2)求异面直线O1B1与OC所成的角的大小．
20. 有一块正方形EFGH，EH所在直线是一条小河，收获的蔬菜可送到F点或河边运走．于是，菜地分别为两个区域S1和S2，其中S1中的蔬菜运到河边较近，S2中的蔬菜运到F点较近，而菜地内S1和S2的分界线C上的点到河边与到F点的距离相等，现建立平面直角坐标系，其中原点O为EF的中点，点F的坐标为(1, 0)，如图
(1)求菜地内的分界线C的方程；
(2)菜农从蔬菜运量估计出S1面积是S2面积的两倍，由此得到S1面积的经验值为83．设M是C上纵坐标为1的点，请计算以EH为一边，另一边过点M的矩形的面积，及五边形EOMGH的面积，并判断哪一个更接近于S1面积的“经验值”．
21. 双曲线x2-y2b2=1(b>0)的左，右焦点分别为F1，F2，直线l过F2且与双曲线交于A，B两点．
(1)若l的倾斜角为π2，△F1AB是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；
(2)设b=3，若l的斜率存在，且|AB|=4，求l的斜率．
22. 已知数列{an}是等差数列，且a1=2，a1+a2+a3=12．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)令bn=an⋅2n，求数列{bn}的前n项和．
23. 已知函数f(x)=x2-2ax-ln1x.
(1)当a=1时，求 f(x)的单调区间；
(2)若f(x)有两个极值点x1,x2(x1
b“是“f(a)>f(b)"的充要条件.
故选C.
2.【答案】
C
【解答】
A中，PQ // RS，B中，PQ // RS，C中，PQ与RS为异面直线，D．PQ与RS相交．
3.【答案】
A
【解答】
由于x1=π4,x2=3π4是函数f(x)＝sin(ωx+φ)(ω>0)两个相邻的零点，
所以T2=3π4-π4=π2，解得T＝π，
所以ω=2ππ=2．
4.【答案】
D
【解答】
解：对于①，举反例说明：f(x)=2x，g(x)=-x，h(x)=3x；
f(x)+g(x)=x，f(x)+h(x)=5x，g(x)+h(x)=2x都是定义域R上的增函数，
但g(x)=-x不是增函数，所以①是假命题；
对于②，∵ f(x)+g(x)=f(x+T)+g(x+T)，
f(x)+h(x)=f(x+T)+h(x+T)，
h(x)+g(x)=h(x+T)+g(x+T)，
前两式作差可得：g(x)-h(x)=g(x+T)-h(x+T)，
结合第三式可得：g(x)=g(x+T)，h(x)=h(x+T)，
同理可得：f(x)=f(x+T)，所以②是真命题．
故选D．
二、 填空题 （本题共计 14 小题 ，每题 4 分 ，共计56分 ）
5.【答案】
-1-1，对任意x∈(0，1)恒成立 ，
∵ 1+2x>1+2=3，
∴ -10，∴ x=1.
故答案为：1.
7.【答案】
4x+3y=0或4x+3y-20=0
【解答】
解：设直线方程为4x+3y+c=0，
∵ 与直线4x+3y-10=0平行且距离为2，
∴ |c+10|16+9=2，
∴ c=0或-20，
∴ 直线方程为4x+3y=0或4x+3y-20=0．
故答案为：4x+3y=0或4x+3y-20=0．
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8.【答案】
11
【解答】
解：∵ x1，x2，⋯xn的平均数为x¯=5．
∴ 2x1+1，2x2+1，⋯2xn+1的平均数为2×5+1=11．
故答案为：11．
9.【答案】
32
【解答】
解：sin61∘cos1∘-sin29∘sin1∘
=sin61∘cos1∘-sin90∘-61∘sin1∘=sin61∘cos1∘-cos61∘sin1∘
=sin(61∘-1∘)=sin60∘
=32.
故答案为：32.
10.【答案】
[0, 1]∪[3, 4]
【解答】
解：∵ 函数y=x2-2ax+a在x∈[1, 3]上存在反函数，
∴ 函数y=x2-2ax+a在[1, 3]上单调，
∴ 对称轴x=a在区间[1, 3]之外，
∴ a≥3或a≤1，
当a≥3时，有a-1+a-3≤4，解得3≤a≤4；
当a≤1时，有1-a+3-a≤4，∴ 0≤a≤1；
综上得a的取值范围是[0, 1]∪[3, 4]．
故答案为：[0, 1]∪[3, 4]．
11.【答案】
-4
【解答】
解：根据约束条件画出不等式组所表示的区域如图，
将z=x-2y化为y=12x-12z，在可行域中平移直线y=12x，
易知当直线经过点A时，-12z最大，z最小，
联立x+y=4，y=2x，解得A(43,83)，
∴ zmin=43-2×83=-4.
故答案为：-4.
12.【答案】
65
【解答】
∵ x∈(0, π2)，tanx=sinxcosx=34，sin2x+cos2x=1，∴ sinx=35，cosx=45．
则2sin(π-x)+sin2x1+cosx=2sinx+2sinxcosx1+cosx=2sinx=65，
13.【答案】
28
【解答】
解：二项式 x-13x8 的展开式的通项为
Tr+1=C8rx8-r(-1)rx(-r3) =C8r(-1)rx(8-4r3)，
令8-4r3=0，解得r=6，
故二项展开式的常数项C86(-1)6=28.
故答案为：28.
14.【答案】
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π3
【解答】
解：∵ 根据题意得b2-c2=ab-a2,
即b2+a2-c2=ab.
∵ cosC=a2+b2-c22ab，
∴ cosC=ab2ab=12，
∴ C=π3.
故答案为：π3.
15.【答案】
56
【解答】
本题为古典概型，基本事件共有36个，点数之和大于等于10的有4,6，5,5，5,6，6,6，6,5，6,4，共计6个基本事件，故点数之和小于10的有30个基本事件，所求概率为56．
16.【答案】
1
【解答】
解：由于：sin2α+sec2α+1sec2α-1cot2α
=sin2α+1cos2α+cos2α-sin2αcos2α=2，
故：log2(sin2α+sec2α+1sec2α-1cot2α)=log22=1.
故答案为：1.
17.【答案】
253
【解答】
解：∵ 正数x，y满足x+y=1，
∴ 4x+1+9y+1=13(4x+1+9y+1)(x+1+y+1)
=1313+4(y+1)x+1+9(x+1)y+1
≥1313+24(y+1)x+1⋅9(x+1)y+1
=253，
当且仅当4(y+1)x+1=9(x+1)y+1，即x=15,y=45时取等号，
∴ 4x+1+9y+1的最小值为253．
故答案为：253．
18.【答案】
4
【解答】
解：依题意得，a1=S1∈{2,3}，Sn∈{2,3}且Sn+1∈{2,3}，
因此an+1=Sn+1-Sn∈{-1,0,1}(n∈N*)，
即数列{an}从第2项起的不同取值不超过3个，
进而可知数列{an}中的项的所有不同取值的个数k≤4，
且事实上，取数列{an}为2,1,0,-1,1,0,-1,1,0,-1,⋯，
此时相应的k=4，Sn∈{2,3}．
因此k的最大值是4．
故答案为：4．
三、 解答题 （本题共计 5 小题 ，每题 14 分 ，共计70分 ）
19.【答案】
解：(1)将边长为1的正方形AA1O1O（及其内部）绕OO1旋转一周形成如图的圆柱，
则圆柱的体积为：π⋅12⋅1=π．
侧面积为：2π⋅1=2π．
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(2)设点B1在下底面圆周的射影为B，连结BB1，OB，
则OB // O1B，
∴ ∠AOB=π3，
异面直线O1B1与OC所成的角的大小就是∠COB，
大小为：5π6-π3=π2．
【解答】
解：(1)将边长为1的正方形AA1O1O（及其内部）绕OO1旋转一周形成如图的圆柱，
则圆柱的体积为：π⋅12⋅1=π．
侧面积为：2π⋅1=2π．
(2)设点B1在下底面圆周的射影为B，连结BB1，OB，
则OB // O1B，
∴ ∠AOB=π3，
异面直线O1B1与OC所成的角的大小就是∠COB，
大小为：5π6-π3=π2．
20.【答案】
解：(1)设分界线上任意一点为(x, y)，
由题意得|x+1|=(x-1)2+y2，
整理得：y2=4x，(0≤x≤1).
(2)如图，过M作MD⊥x轴，
因为M是C上纵坐标为1的点，
设M(x0, 1)，则y0=1，
∴ x0=y024=14，
∴ 设所表述的矩形面积为S3，则S3=2×(14+1)=2×54=52，
设五边形EMOGH的面积为S4，
则S4=S3-S△OMP+S△MGN=52-12×14×1+12×34×1=114，
S1-S3=83-52=16，S4-S1=114-83=112<16，
∴ 五边形EMOGH的面积更接近S1的面积．
【解答】
解：(1)设分界线上任意一点为(x, y)，
由题意得|x+1|=(x-1)2+y2，
整理得：y2=4x，(0≤x≤1).
(2)如图，过M作MD⊥x轴，
因为M是C上纵坐标为1的点，
设M(x0, y0)，则y0=1，
∴ x0=y024=14，
∴ 设所表述的矩形面积为S3，则S3=2×(14+1)=2×54=52，
设五边形EMOGH的面积为S4，
则S4=S3-S△OMP+S△MGN=52-12×14×1+12×34×1=114，
S1-S3=83-52=16，S4-S1=114-83=112<16，
∴ 五边形EMOGH的面积更接近S1的面积．
21.【答案】
解：(1)若l的倾斜角为π2，△F1AB是等边三角形，
把x=c=1+b2代入双曲线的方程可得点A的纵坐标为b2，
由tan∠AF1F2=tanπ6=33=b221+b2，
求得b2=2，b=2，
故双曲线的渐近线方程为y=±bx=±2x，
即双曲线的渐近线方程为y=±2x．
(2)设b=3，则双曲线为x2-y23=1，F2(2, 0)，
若l的斜率存在，设l的斜率为k，
则l的方程为y-0=k(x-2)，即y=kx-2k，
联立y=kx-2kx2-y23=1，可得(3-k2)x2+4k2x-4k2-3=0，
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由直线与双曲线有两个交点，则3-k2≠0，即k≠±3．
Δ=36(1+k2)>0．
x1+x2=4k2k2-3，x1⋅x2=4k2+3k2-3．
∵ |AB|=1+k2⋅|x1-x2|
=1+k2⋅(x1+x2)2-4x1⋅x2
=1+k2⋅(4k2k2-3)2-4⋅4k2+3k2-3=4，
化简可得，5k4+42k2-27=0，解得k2=35，
求得k=±155．
∴ l的斜率为±155．
【解答】
解：(1)若l的倾斜角为π2，△F1AB是等边三角形，
把x=c=1+b2代入双曲线的方程可得点A的纵坐标为b2，
由tan∠AF1F2=tanπ6=33=b221+b2，
求得b2=2，b=2，
故双曲线的渐近线方程为y=±bx=±2x，
即双曲线的渐近线方程为y=±2x．
(2)设b=3，则双曲线为x2-y23=1，F2(2, 0)，
若l的斜率存在，设l的斜率为k，
则l的方程为y-0=k(x-2)，即y=kx-2k，
联立y=kx-2kx2-y23=1，可得(3-k2)x2+4k2x-4k2-3=0，
由直线与双曲线有两个交点，则3-k2≠0，即k≠±3．
Δ=36(1+k2)>0．
x1+x2=4k2k2-3，x1⋅x2=4k2+3k2-3．
∵ |AB|=1+k2⋅|x1-x2|
=1+k2⋅(x1+x2)2-4x1⋅x2
=1+k2⋅(4k2k2-3)2-4⋅4k2+3k2-3=4，
化简可得，5k4+42k2-27=0，解得k2=35，
求得k=±155．
∴ l的斜率为±155．
22.【答案】
解：(1)∵ 数列{an}是等差数列，
且a1=2，a1+a2+a3=12，
∴ 2+2+d+2+2d=12，
解得d=2，
∴ an=2+(n-1)×2=2n．
(2)bn=an⋅2n=n⋅2n+1，
∴ Sn=b1+b2+⋯+bn-1+bn
=1⋅22+2⋅23+3⋅24+…+(n-1)⋅2n+n⋅2n+1① ，
2Sn=1⋅23+2⋅24+3⋅25+…+(n-1)⋅2n+1+n⋅2n+2② ，
①-②，得
-Sn=22+23+…+2n+1-n⋅2n+2
=4(1-2n)1-2-n⋅2n+2
=2n+2-4-n⋅2n+2.
∴ Sn=(n-1)2n+2+4.
【解答】
解：(1)∵ 数列{an}是等差数列，
且a1=2，a1+a2+a3=12，
∴ 2+2+d+2+2d=12，
解得d=2，
∴ an=2+(n-1)×2=2n．
(2)bn=an⋅2n=n⋅2n+1，
∴ Sn=b1+b2+⋯+bn-1+bn
=1⋅22+2⋅23+3⋅24+…+(n-1)⋅2n+n⋅2n+1① ，
2Sn=1⋅23+2⋅24+3⋅25+…+(n-1)⋅2n+1+n⋅2n+2② ，
①-②，得
-Sn=22+23+…+2n+1-n⋅2n+2
=4(1-2n)1-2-n⋅2n+2
=2n+2-4-n⋅2n+2.
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∴ Sn=(n-1)2n+2+4.
23.【答案】
解：(1)当a=1时，f(x)=x2-2x+lnx(x>0)，
f'(x)=2x+1x-2=2x2-2x+1x=x2+(x-1)2x>0，
∴ f(x)在(0,+∞)上单调递增.
(2)f'(x)=2x-2a+1x=2x2-2ax+1x，
由题意得 x1,x2是2x2-2ax+1=0的两个不相等的正实根，则x1+x2=a>0，x1⋅x2=12，Δ=4a2-8>0，
解得 a>2,2ax1=2x12+1,2ax2=2x22+1，
∵ a>2,a2>22,x1∈(0，22)，x2∈(22，+∞).
f(x2)-2f(x1)=x22-2ax2+lnx2-2(x12-2ax1+lnx1)
=-x22+12x22+32lnx22+1+2ln2，
令t=x22，则t>12，
g(t)=-t+12t+32lnt+1+2ln2，
g'(t)=-1-12t2+32t=-2t2+3t-12t2=-(2t-1)(t-1)2t2，
当120 ；当t>1时， g'(t)<0.
∴ g(t)在(12,1)上单调递增，在(1,+∞) 上单调递减，
∴ g(t)max=g(1)=1+4ln22,
∴ f(x2)-2f(x1) 的最大值为 1+4ln22.
【解答】
解：(1)当a=1时，f(x)=x2-2x+lnx(x>0)，
f'(x)=2x+1x-2=2x2-2x+1x=x2+(x-1)2x>0，
∴ f(x)在(0,+∞)上单调递增.
(2)f'(x)=2x-2a+1x=2x2-2ax+1x，
由题意得 x1,x2是2x2-2ax+1=0的两个不相等的正实根，则x1+x2=a>0，x1⋅x2=12，Δ=4a2-8>0，
解得 a>2,2ax1=2x12+1,2ax2=2x22+1，
∵ a>2,a2>22,x1∈(0，22)，x2∈(22，+∞).
f(x2)-2f(x1)=x22-2ax2+lnx2-2(x12-2ax1+lnx1)
=-x22+12x22+32lnx22+1+2ln2，
令t=x22，则t>12，
g(t)=-t+12t+32lnt+1+2ln2，
g'(t)=-1-12t2+32t=-2t2+3t-12t2=-(2t-1)(t-1)2t2，
当120 ；当t>1时， g'(t)<0.
∴ g(t)在(12,1)上单调递增，在(1,+∞) 上单调递减，
∴ g(t)max=g(1)=1+4ln22,
∴ f(x2)-2f(x1) 的最大值为 1+4ln22.
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