【推荐】专题10-4+曲线方程-2018年高三数学（理）一轮总复习名师伴学
真题回放
1. 【2016高考新课标1卷】（本小题满分12分）设圆的圆心为A,直线l过点B（1,0）且与x轴不重合,l交圆A于C,D两点,过B作AC的平行线交AD于点E.
（I）证明为定值,并写出点E的轨迹方程；
（II）设点E的轨迹为曲线C1,直线l交C1于M,N两点,过B且与l垂直的直线与圆A交于P,Q两点,求四边形MPNQ面积的取值范围.
【答案】（Ⅰ）（）（II）
【解析】
（Ⅱ）当与轴不垂直时,设的方程为,,.
由得.
则,.
所以.
考点：圆锥曲线综合问题
【名师点睛】高考解析几何解答题大多考查直线与圆锥曲线的位置关系,直线与圆锥曲线的位置关系是一个很宽泛的考试内容,主要由求值、求方程、求定值、最值、求参数取值范围等几部分组成, .其中考查较多的圆锥曲线是椭圆与抛物线,解决这类问题要重视方程思想、函数思想及化归思想的应用.
2. 【2017课标II，理】设O为坐标原点，动点M在椭圆C：上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足。
(1) 求点P的轨迹方程；
(2)设点Q在直线上，且。证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F。
【答案】(1) 。
(2)证明略。
【解析】
试题分析：(1)设出点P的坐标，利用得到点P与点,M坐标之间的关系即可求得轨迹方程为。
(2)利用可得坐标关系，结合(1)中的结论整理可得，即，据此即可得出题中的结论。
试题解析：（1）设,设, 。
由得。
因为在C上，所以。
因此点P的轨迹方程为。
【考点】 轨迹方程的求解；直线过定点问题。
【名师点睛】求轨迹方程的常用方法有：
(1)直接法：直接利用条件建立x，y之间的关系F(x，y)＝0。
(2)待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程。
(3)定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程。
(4)代入(相关点)法：动点P(x，y)依赖于另一动点Q(x0，y0)的变化而运动，常利用代入法求动点P(x，y)的轨迹方程。
3. 【2016高考新课标3理数】已知抛物线：的焦点为，平行于轴的两条直线分别交于两点，交的准线于两点．
（I）若在线段上，是的中点，证明；
（II）若的面积是的面积的两倍，求中点的轨迹方程.
【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）．
【解析】
（Ⅰ）由于在线段上，故.
记的斜率为，的斜率为，则，
所以. ......5分
（Ⅱ）设与轴的交点为，
则.
由题设可得，所以（舍去），.
设满足条件的的中点为.
当与轴不垂直时，由可得.
而，所以.
当与轴垂直时，与重合，所以，所求轨迹方程为. ....12分
考点：1、抛物线定义与几何性质；2、直线与抛物线位置关系；3、轨迹求法．
【方法归纳】（1）解析几何中平行问题的证明主要是通过证明两条直线的斜率相等或转化为利用向量证明；（2）求轨迹的方法在高考中最常考的是直接法与代入法（相关点法），利用代入法求解时必须找准主动点与从动点．
考点分析
考点
了解A
掌握B
灵活运用C
曲线与方程
A
圆锥曲线是解析几何的核心内容，是高中数学的重点，求圆锥曲线的方程和轨迹方程是历年高考命题的热点 。以解答题的形式出现。求轨迹方程的常用方法有：
(1)直接法：直接利用条件建立x，y之间的关系F(x，y)＝0。
(2)待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程。
(3)定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程。
(4)代入(相关点)法：动点P(x，y)依赖于另一动点Q(x0，y0)的变化而运动，常利用代入法求动点P(x，y)的轨迹方程。
知识链接
1．曲线与方程的定义
一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立如下的对应关系：
那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线．
2．求动点的轨迹方程的基本步骤
【知识拓展】
1．“曲线C是方程f(x，y)＝0的曲线”是“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解”的充分不必要条件．
2．曲线的交点与方程组的关系：
(1)两条曲线交点的坐标是两个曲线方程的公共解，即两个曲线方程组成的方程组的实数解；
(2)方程组有几组解，两条曲线就有几个交点；方程组无解，两条曲线就没有交点．
融会贯通
题型一 定义法求轨迹方程
典例1如图，动圆C1：x2＋y2＝t2,1
b>0)的一个焦点为(，0)，离心率为.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若动点P(x0，y0)为椭圆C外一点，且点P到椭圆C的两条切线相互垂直，求点P的轨迹方程．
【答案】（1）＋＝1. （2）x2＋y2＝13.
整理得(x－9)k2－2x0y0k＋y－4＝0.
又所引的两条切线相互垂直，
设两切线的斜率分别为k1，k2，
于是有k1k2＝－1，即＝－1，
即x＋y＝13(x0≠±3)．
若两切线中有一条斜率不存在，
则易得或或或
经检验知均满足x＋y＝13.
因此，动点P(x0，y0)的轨迹方程是x2＋y2＝13.
解题技巧与方法总结
直接法求曲线方程时最关键的就是把几何条件或等量关系翻译为代数方程，要注意翻译的等价性．通常将步骤简记为建系设点、列式、代换、化简、证明这五个步骤，但最后的证明可以省略，如果给出了直角坐标系则可省去建系这一步，求出曲线的方程后还需注意检验方程的纯粹性和完备性．
【变式训练】在平面直角坐标系xOy中，点P(a，b)为动点，F1，F2分别为椭圆＋＝1(a>b>0)的左，右焦点．已知△F1PF2为等腰三角形．
(1)求椭圆的离心率e；
(2)设直线PF2与椭圆相交于A，B两点，M是直线PF2上的点，满足·＝－2，求点M的轨迹方程．
【答案】（1）e＝. （2）18x2－16xy－15＝0(x>0)．
得方程组的解
不妨设A，B(0，－c)．
设点M的坐标为(x，y)，
则＝，＝(x，y＋c)．
由y＝(x－c)，得c＝x－y.
于是＝，＝(x，x)，由·＝－2，
即·x＋·x＝－2.
化简得18x2－16xy－15＝0.
将y＝代入c＝x－y，
得c＝>0.
所以x>0.
因此，点M的轨迹方程是18x2－16xy－15＝0(x>0)．
题型三 相关点法求轨迹方程
典例3 (2016·大连模拟)如图所示，抛物线C1：x2＝4y，C2：x2＝－2py(p>0)．点M(x0，y0)在抛物线C2上，过M作C1的切线，切点为A，B(M为原点O时，A，B重合于O)．当x0＝1－时，切线MA的斜率为－.
(1)求p的值；
(2)当M在C2上运动时，求线段AB中点N的轨迹方程(A，B重合于O时，中点为O)．
【答案】（1）p＝2. （2）AB的中点N的轨迹方程是x2＝y.
由①②得p＝2.
解题技巧与方法总结
“相关点法”的基本步骤
(1)设点：设被动点坐标为(x，y)，主动点坐标为(x1，y1)；
(2)求关系式：求出两个动点坐标之间的关系式
(3)代换：将上述关系式代入已知曲线方程，便可得到所求动点的轨迹方程．
【变式训练】设直线x－y＝4a与抛物线y2＝4ax交于两点A，B(a为定值)，C为抛物线上任意一点，求△ABC的重心的轨迹方程．
【答案】△ABC的重心的轨迹方程为(y－)2＝(x－4a)(x≠(6±)a)．
【解析】 设△ABC的重心为G(x，y)，
点C的坐标为(x0，y0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)．
由方程组
消去y并整理得
x2－12ax＋16a2＝0.
∴x1＋x2＝12a，
y1＋y2＝(x1－4a)＋(x2－4a)＝(x1＋x2)－8a＝4a.
∵G(x，y)为△ABC的重心，
∴∴
又点C(x0，y0)在抛物线上，
∴将点C的坐标代入抛物线的方程得
练习检测
1．（云南省昆明市2017届高三下学期第二次统测）在直角坐标系中， 已知定圆，动圆过点且与圆相切，记动圆圆心的轨迹为曲线.
（1）求曲线的方程；
（2）设是曲线上两点，点关于轴的对称点为 (异于点)，若直线分别交轴于点，证明: 为定值.
【答案】（1）；（2）详见解析.
试题解析：
解：(1)因为点在内，所以圆内切于圆，则，由椭圆定义知，圆心的轨迹为椭圆，且，则，所以动圆圆心的轨迹方程为.
(2)设，则，由题意知.则，直线方程为，令，得
，同理，于是，
又和在椭圆上，故，则
.
所以.
2．（安徽省合肥市2018届高三调研性检测）已知为椭圆上的动点，过点作轴的垂线段， 为垂足，点满足.
（Ⅰ）求动点的轨迹的方程；
（Ⅱ）若两点分别为椭圆的左右顶点， 为椭圆的左焦点，直线与椭圆交于点，直线的斜率分别为，求的取值范围.
【答案】（Ⅰ）动点的轨迹的方程为 （Ⅱ）
解：（Ⅰ）设依题意，且，
∵,即,
则有.
又∵为椭圆上的点，
可得，即，
即动点的轨迹的方程为.
（Ⅱ）依题意，设
∵为圆的直径，则有，故的斜率满足，
，
∵点不同于两点且直线的斜率存在，故且，
在和都是单调减函数，
的范围为，
故 .
3．（河南省八市重点高中2018届高三第一次测评）已知圆，定点为圆上一动点，线段的垂直平分线交线段于点，设点的轨迹为曲线；
（Ⅰ）求曲线的方程；
（Ⅱ）若经过的直线交曲线于不同的两点，（点在点, 之间），且满足，求直线的方程.
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）
【解析】试题分析：(1) 是线段的垂直平分线， ， 轨迹方程；（2）设直线的方程为： ，联立方程得： ， ，由,得，巧借韦达定理建立的方程，解之即可.
（Ⅱ）设
当直线斜率存在时，设直线的斜率为
则直线的方程为： ,
,整理得： ,
由，解得： ------①
又,
由,得，结合①得
，即,
解得
直线的方程为： ,
当直线斜率不存在时，直线的方程为与矛盾.
直线的方程为：
4. （黑龙江省大庆中学2017-2018学年高二上学期开学考试）已知， ，动点满足.设动点的轨迹为.
（1）求动点的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形；
（2）求动点与定点连线的斜率的最小值；
（3）设直线交轨迹于两点，是否存在以线段为直径的圆经过？若存在，求出实数的值；若不存在，说明理由.
【答案】（1）轨迹是以为圆心，2为半径的圆；（2）
；（3）.
试题解析：
（1），
化简可得： ，轨迹是以为圆心，2为半径的圆
（2）设过点的直线为，圆心到直线的距离为
∴，
（3）假设存在，联立方程，得，
设，则， ，
，∴
，得，
且满足，
∴.
点睛：求轨迹方程的常用方法：
（1）直接法：直接利用条件建立x，y之间的关系F(x，y)＝0．
（2）待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程．
（3）定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程．
（4）代入(相关点)法：动点P(x，y)依赖于另一动点Q(x0，y0)的变化而运动，常利用代入法求动点P(x，y)的轨迹方程．
5. （江苏省高邮市2018届高三期初考试）已知动点到定点的距离与到定直线的距离之比为，
（1）求点的轨迹的方程。
（2）在平面内有点，点，过点作直线交于轨迹于另一点，若，求点的坐标。
【答案】(1) ;(2) 或.
（2）因为在椭圆上，且可知点为椭圆的左右焦点，由椭圆第一定义可得，又，
可解得
设，由，且点在椭圆上，
得
解得： 或（舍），
此时，故或
6. （安徽省合肥一中、马鞍山二中等六校教育研究会2018届高三上学期第一次联考）已知点是圆心为的圆上的动点，点，线段的垂直平分线交于点.
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）矩形的边所在直线与曲线均相切，设矩形的面积为，求的取值范围.
【答案】(1) ;(2) .
【解析】试题分析：（1）利用定义法求椭圆的轨迹方程；（2）设的方程为， 的方程为，直线与间的距离为，直线与间的距离为， ，从而得到S的范围.
试题解析：
(2)①当矩形的边与坐标轴垂直或平行时，易得；
②当矩形的边均不与坐标轴垂直或平行时，其四边所在直线的斜率存在且不为0，
设的方程为， 的方程为，则的方程为， 的方程为，其中，
直线与间的距离为，
同理直线与间的距离为，
所以
，
因为直线与椭圆相切，所以，所以，同理，
所以
，
(当且仅当时，不等式取等号），
所以，即，
由①②可知， .
7. （湖北省部分重点中学2018届高三7月联考）已知点A（﹣4，4）、B（4，4），直线AM与BM相交于点M，且直线AM的斜率与直线BM的斜率之差为﹣2，点M的轨迹为曲线C．
（1）求曲线C 的轨迹方程；
（2）Q为直线y=﹣1上的动点，过Q做曲线C的切线，切点分别为D、E，求△QDE的面积S的最小值．
【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ）．
试题解析：（Ⅰ）设M（x，y），由题意可得： ，
化为x2=4y．
∴曲线C 的轨迹方程为x2=4y且（x≠±4）．
联立，化为x2﹣4kx+4（km+1）=0，
由于直线与抛物线相切可得△=0，即k2﹣km﹣1=0．
∴x2﹣4kx+4k2=0，解得x=2k．可得切点（2k，k2），
由k2﹣km﹣1=0．∴k1+k2=m，k1•k2=﹣1．
∴切线QD⊥QE．
∴△QDE为直角三角形， |QD|•|QE|．
令切点（2k，k2）到Q的距离为d，
则d2=（2k﹣m）2+（k2+1）2=4（k2﹣km）+m2+（km+2）2=4（k2﹣km）+m2+k2m2+4km+4=（4+m2）（k2+1），
∴|QD|=，
|QE|=，
∴（4+m2）=≥4，
当m=0时，即Q（0，﹣1）时，△QDE的面积S取得最小值4．
考点：直线与圆锥曲线的综合问题；轨迹方程的求解．
【方法点晴】本题主要考查了直线与抛物线相切的性质、切线方程、相互垂直的斜率之间的关系、两点间的距离公式、三角形的面积公式、二次函数的性质等知识点的综合应用，着重考查了分析问题和解答问题的能力、推理与运算能力，试题有一定的难度，属于难题，本题的解答中把切线的方程代入抛物线的方程，利用根与系数的关系，表示出三角形的面积是解答问题的关键．
