【数学】宁夏吴忠市青铜峡市高级中学2019-2020学年高一3月空中课堂在线第一次测试试题（解析版）

【数学】宁夏吴忠市青铜峡市高级中学2019-2020学年高一3月空中课堂在线第一次测试试题（解析版）

宁夏青铜峡市高级中学（吴忠中学青铜峡分校）2019-2020 学年高一 3 月空中课堂在线第一次测试试题 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的． 1.如图，在平行四边形 中，下列结论中错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】在平行四边形 中,显然有 , ,故 A,D 正确; 根据向量的平行四边形法则,可知 ,故 B 正确; 根据向量的三角形法, ,故 C 错误; 故选:C. 2.已知 为第二象限角， ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】因为 为第二象限角， ，所以 ． 所以 ．故选：A． 3.(2015 新课标全国Ⅰ理科) =（ ） A. B. ABCD AB DC=  AD AB AC+ =   AB AD BD− =   0AD CB+ =   ABCD AB DC=  0AD CB+ =   AD AB AC+ =   AB AD DB− =   α 3sin 5 α = sin 2α = 24 25 − 12 25 − 12 25 24 25 α 3sin 5 α = 23 4cos 1 ( )5 5 α = − − = − 3 4 24sin 2 2sin cos 2 ( )5 5 25 α α α= = × × − = − o o o osin 20 cos10 cos160 sin10− 3 2 − 3 2 C. D. 【答案】D 【解析】原式= = = ，故选 D. 4.已知点 ，向量 ，则向量 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【 解 析 】 由 题 意 ， 所 以 ． 故选：C． 5. ， ， ，则 （ ） A. 1 B. C. D. 【解析】由题意 ，则 ， 故选：A． 6.在 中， ， ．若点 满足 ，则 =（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】因为 ，所以 ， 所以 ． 故选：C． 7.若 ，则 （ ） A. B. C. D. 1 2 − 1 2 o o o osin 20 cos10 cos20 sin10+ osin30 1 2 (1,1), (3,2)A B (4,3)AC = BC = (6,4) ( 6, 4)− − (2,2) ( 2, 2)− − (3,2) (1,1) (2,1)AB = − = (4,3) (2,1) (2,2)BC AC AB= − = − =   (1, 2)= −a ( 3,5)b = − (1,2)c = (2 )a b c+ ⋅ =   1− 3 ( 1,2)− 2 ( 1,1)a b+ = −  (2 ) 1 1 1 2 1a b c+ ⋅ = − × + × =   ABC AB c=  AC b=  D 3BD DC=  AD 1 1 2 4b c−  5 1 4 4c b−  3 1 4 4b c+  1 3 4 4b c+  3BD DC=  3 4BD BC=  3 3 ( )4 4AD AB BD AB BC AB AC AB= + = + = + −        1 3 1 3 4 4 4 4AB AC c b= + = +    tan 2,tan( ) 3α α β= + = tan =b 1 7 1− 5 7 1 5 − 【答案】A 【解析】 ． 故选：A． 8.设 ， ， ．若 ，则实数 值等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】由已知得 ，因为 ，则 ， 因此 ，解得 ，故选 A． 9. （ ） A. B. C. D. 【答案】B 解】 ． 故选：B． 10.平面向量 与 的夹角为 ,则 （ ） A. B. 12 C. 4 D. 【答案】D 【解析】由题意可得 的 【 tan( ) tan 3 2 1tan tan[( ) ] 1 tan( ) tan 1 3 2 7 α β αβ α β α α β α + − −= + − = = =+ + + × (1,2)a = (1,1)b = c a kb= +   b c ⊥ k 3 2 − 5 3 − 5 3 3 2 (1,2) (1,1)c k= + ( 1, 2)k k= + + b c ⊥ 0b c⋅ =  1 2 0k k+ + + = k = 3 2 − cos49 cos19 cos30 sin19 − =    3 2 − 1 2 − 1 2 3 2 cos49 cos19 cos30 cos(19 30 ) cos19 cos30 sin19 sin19 − + ° −=        cos19 cos30 sin19 sin30 cos19 cos30 sin19 °− ° °−=     1 2 = − a b 60 ,| | 2 |, | 1a b= =  | 2 |a b+ = 3 2 3 2| 2 | ( 2 )a b a b+ = +   2 2 2 24 4 4 4| || | cos60a b a b a b a b= + + ⋅ = + + °      2 2 12 4 1 4 2 1 2 32 = + × + × × × = 故选：D． 11.设非零向量 满足 ，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】因为 ，所以 ，即 ， 所以 ，所以 ． 故选：D． 12.已知 ， 均为锐角，且 ，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】因为 ，所以 ， 即 ，故选 A． 二、填空题：本题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分． 13. ， ，若 ，则 ___________ 【答案】 【解析】由题意 ， ． 故答案为： ． 14.已知 是锐角， ，则 ___________． ,a b  a b a b+ = −    | | | |a b=  | | | |a b>  / /a b  a b⊥  a b a b+ = −    2 2( ) ( )a b a b+ = −    2 2 2 2 2 2a a b b a a b b+ ⋅ + = − ⋅ +        0a b⋅ =  a b⊥  α β sin2 2sin2α β= tan( ) 3tan( )α β α β+ = − tan( ) 2tan( )α β α β+ = − 3tan( ) tan( )α β α β+ = − 3tan( ) 2tan( )α β α β+ = − sin2 2sin2α β= ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 sin2 sin2tan sin cos 2 1tan cos sin sin2 sin22 α βα β α β α β α β α β α β α β ++ + −= = =− + − − 3sin2 3sin2 β β = ( ) ( )tan 3tanα β α β+ = − (1, 2)= −a ( ,1)b x= / /a b  x = 1 2 − 1 1 ( 2) 0x× − − ⋅ = 1 2x = − 1 2 − α 1cos 3 α = tan2α = 【解析】因为 是锐角， ，所以 ， 所以 ，所以 ． 故答案为： ． 15.已知 ，则 ___________． 【答案】6 【 解 析 】 ． 故答案为：6． 16. ___________． 【答案】1 【解析】 故答案为：1 17.在平面直角坐标系中，已知点 , ， ， 是 轴上的两个动点，且 ， 则 的最小值为__________ 【答案】 【解析】设 ， ，又 , ， 所以 ， ， 所以 ，又知 ， α 1cos 3 α = 21 2 2sin 1 ( )3 3 α = − = sintan 2 2cos αα α= = 2 2 2tan 2 2 2 4 2tan 2 1 tan 71 (2 2) αα α ×= = = −− − 4 2 7 − 1sin 2 3 α = 1tan tan α α+ = 2 21 sin cos sin cos 1 2 2tan 61tan cos sin sin cos sin cos sin 2 3 α α α αα α α α α α α α α ++ = + = = = = = 3 tan15 1 3 tan15 − ° = + ° ( )3 tan15 tan60 tan15 tan 60 15 tan 45 11 tan 60 tan151 3 tan15 − ° °− °= = °− ° = ° =+ ° °+ ° ( 1 0)A − ， (2,0)B E F y 4EF = AE BF⋅  6− (0, )E m (0, )F n ( 1 0)A − ， (2,0)B (1, )AE m= ( 2, )BF n= − 2AE BF mn⋅ = − +  4EF = 所以 ， ①当 时， ， 所以当 时，即 ， 时， 的最小值为 ； ②当 时， ， 所以当 时，即 ， 时， 的最小值为 . 综上， 的最小值为 . 故答案为： . 三、解答题：共 35 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18.已知 ， ， 是第一象限的角 （1）求 的值 （2）求 的值 【解】（1） ， 是第一象限的角 ， （2） ， 19.已知 ， ， 与 的夹角为 ， ， . 4m n− = 4m n= + 2 22 ( 4) 2 4 2 ( 2) 6AE BF mn n n n n n⋅ = − + = + − = + − = + −  2n = − (0,2)E (0, 2)F − AE BF⋅  6− 4m n= − 2 22 ( 4) 2 4 2 ( 2) 6AE BF mn n n n n n⋅ = − + = − − = − − = − −  2n = (0, 2)E − (0,2)F AE BF⋅  6− AE BF⋅  6− 6− 5 12sin ,cos5 13 α β= = ( , )2 πα π∈ β sin( ) α β− tan(2 )α β+ ,2 πα π ∈   β 2 5 2 5cos 1 5 5 α  ∴ = − − = −    212 5sin 1 13 13 β  = − =   5 12 2 5 5 22 5sin( ) sin cos cos sin 5 13 5 13 65 α β α β α β  ∴ − = ⋅ − ⋅ = × − − × =    5 5 1tan 5 22 5 α  = × − = −   5 13 5tan 13 12 12 β = × = 2 2tan 1 4tan 2 11 tan 31 4 αα α −∴ = = = −− − 4 5 tan 2 tan 333tan(2 ) 4 51 tan 2 tan 12 561 3 12 α βα β α β − ++∴ + = = = −− ⋅ + × 2a = 3b = a b 60 5 3c a b= +   ( )2d a kb k R= + ∈   （1）若 ，求 ； （2）若 ，求 ． 【解】（1） ， 存在唯一的实数 ，使得 ，即 ， ，解得 ， ； （2） ， ， ，即 ， ， ，解得 . 20.已知函数 . （1）求函数 的最小正周期和最大值； （2）讨论函数 的单调递增区间. 【解】（1） ∴ 的最小正周期 ， 的最大值为 2. （2）由 ， ∴函数 的单调递增区间为 . //c d  k c d⊥  k //c d   ∴ λ c dλ=  5 3 2a b a k bλ λ+ = +    2 5 3k λ λ =∴ = 5 2x = 6 5k = 2 3 cos60 3a b⋅ = × × =   c d⊥   0c d∴ ⋅ =  ( ) ( )5 3 2 0a b a kb+ ⋅ + =    ( )2 2 10 5 6 3 0a k a b kb∴ + + ⋅ + =    ( )40 3 5 6 27 0k k∴ + + + = 29 21k = − ( ) 22 3sin cos 2cos 1f x x x x= + − ( )f x ( )f x ( )f x 3sin2 cos2 2sin 2 6x x x π = + = +   ( )f x T π= ( )f x 2 2 2 ,2 6 2k x k k π π ππ π− + ≤ + ≤ + ∈Z ,3 6k x k k π ππ π− + ≤ ≤ + ∈Z ( )f x , ,3 6k k k π ππ π − + + ∈   Z