【数学】2020届一轮复习（文）通用版2-3函数的奇偶性与周期性作业

【数学】2020届一轮复习（文）通用版2-3函数的奇偶性与周期性作业

第三节　函数的奇偶性与周期性 A组　基础题组 ‎1.函数f(x)=‎1‎x-x的图象关于(　　)‎ A.y轴对称 B.直线y=-x对称 C.坐标原点对称 D.直线y=x对称 答案　C　易知f(x)=‎1‎x-x是奇函数,所以图象关于原点对称.‎ ‎2.已知f(x)为定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=2x+m,则f(-2)=(　　)‎ A.-3 B.-‎5‎‎4‎ C.‎5‎‎4‎ D.3‎ 答案　A　因为f(x)为R上的奇函数,所以f(0)=0,即f(0)=20+m=0,解得m=-1,则f(-2)=-f(2)=-(22-1)=-3.‎ ‎3.已知函数f(x)是定义域为R的偶函数,且f(x+1)=‎1‎f(x)‎,若f(x)在[-1,0]上是减函数,则f(x)在[2,3]上是(　　)‎ A.增函数 B.减函数 C.先增后减的函数 D.先减后增的函数 答案　A　由题意知f(x+2)=‎1‎f(x+1)‎=f(x),所以f(x)是以2为周期的周期函数,又函数f(x)是定义域为R的偶函数,且f(x)在[-1,0]上是减函数,则f(x)在[0,1]上是增函数,所以f(x)在[2,3]上是增函数.‎ ‎4.设f(x)是定义在R上的周期为3的函数,当x∈[-2,1]时,f(x)=‎4x‎2‎-2,-2≤x≤0,‎x,00,‎ ‎∴f(x)在[-2,0]上也是增函数,且f(x)<0.‎ ‎∴当x∈(2,4)时, f(x)=-f(x-4)>0,且f(x)为减函数.‎ ‎∵f(-25)=f(-1)<0, f(11)=f(3)>0, f(80)=f(0)=0,‎ ‎∴f(-25)0时,f(x)=x2-x,则当x<0时,函数f(x)的最大值为　　　　. ‎ 答案　‎‎1‎‎4‎ 解析　设x<0,则-x>0,所以f(-x)=x2+x,又函数f(x)为奇函数,所以f(x)=-f(-x)=-x2-x=-x+‎‎1‎‎2‎‎2‎+‎1‎‎4‎,所以当x<0时,函数f(x)的最大值为‎1‎‎4‎.‎ ‎8.已知偶函数f(x)在[0,+∞)上单调递减, f(2)=0.若f(x-1)>0,则x的取值范围是　　　　. ‎ 答案　(-1,3)‎ 解析　∵f(2)=0, f(x-1)>0,∴f(x-1)>f(2),‎ 又∵f(x)是偶函数,且在[0,+∞)上单调递减,‎ ‎∴f(|x-1|)>f(2),∴|x-1|<2,∴-20时, f(x)=x‎1-‎‎3‎x.‎ ‎(1)求当x<0时, f(x)的解析式;‎ ‎(2)解不等式f(x)<-x‎8‎.‎ 解析　(1)当x<0时,-x>0,‎ ‎∵f(x)是奇函数,∴f(x)=-f(-x)=-‎-x‎1-‎‎3‎‎-x=x‎1-‎‎3‎‎-x.‎ ‎(2)f(x)<-x‎8‎,当x>0时,x‎1-‎‎3‎x<-x‎8‎,‎ 所以‎1‎‎1-‎‎3‎x<-‎1‎‎8‎,所以‎1‎‎3‎x‎-1‎>‎1‎‎8‎,‎ 所以3x-1<8,解得x<2,所以x∈(0,2);‎ 当x<0时,x‎1-‎‎3‎‎-x<-x‎8‎,所以‎1‎‎1-‎‎3‎‎-x>-‎1‎‎8‎,‎ 所以3-x>32,所以x<-2,‎ 所以原不等式的解集是(-∞,-2)∪(0,2).‎ ‎10.已知函数f(x)=‎-x‎2‎+2x,x>0,‎‎0,x=0,‎x‎2‎‎+mx,x<0‎是奇函数.‎ ‎(1)求实数m的值;‎ ‎(2)若函数f(x)在区间[-1,a-2]上单调递增,求实数a的取值范围.‎ 解析　(1)设x<0,则-x>0,‎ 所以f(x)=x2+mx, f(-x)=-(-x)2+2(-x)=-x2-2x.‎ 又f(x)为奇函数,所以f(-x)=-f(x),‎ 即-x2-2x=-x2-mx,所以m=2.‎ ‎(2)要使f(x)在[-1,a-2]上单调递增,‎ 结合f(x)的图象(图略)知a-2>-1,‎a-2≤1,‎ 所以1b>c B.c>a>b C.b>c>a D.a>c>b 答案　D　∵偶函数f(x)满足f(x+2)=f(x),∴函数的周期为2.∴a=f(-2.8)=f(-0.8),b=f(-1.6)=f(0.4)=f(-0.4),c=f(0.5)=f(-0.5).∵函数f(x)在[-1,0]上单调递减,且-0.8<-0.5<-0.4,∴a>c>b,故选D.‎ ‎4.设函数f(x)是(-∞,+∞)上的奇函数,f(x+2)=-f(x),当0≤x≤1时,f(x)=x.‎ ‎(1)求f(π)的值;‎ ‎(2)当-4≤x≤4时,求函数f(x)的图象与x轴所围成图形的面积.‎ 解析　(1)由f(x+2)=-f(x)得,‎ f(x+4)=f((x+2)+2)=-f(x+2)=f(x),‎ 所以f(x)是以4为周期的周期函数,‎ 所以f(π)=f(-1×4+π)=f(π-4)=-f(4-π)=-(4-π)=π-4.‎ ‎(2)由f(x)是奇函数且f(x+2)=-f(x),‎ 得f((x-1)+2)=-f(x-1)=f(-(x-1)),‎ 即f(1+x)=f(1-x).‎ 所以函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称.‎ 又当0≤x≤1时,f(x)=x,且f(x)的图象关于原点成中心对称,则f(x)的图象如图所示.‎ 当-4≤x≤4时,设f(x)的图象与x轴围成的图形面积为S,则S=4S△OAB=4×‎1‎‎2‎‎×2×1‎=4.‎