新疆维吾尔自治区石河子市石河子第一中学2019-2020学年高二上学期期末考试数学试题

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石河子一中2019-2020学年高二上学期 期末数学试题 第Ⅰ卷 客观题 一、单选题（共12题；共57分）‎ ‎1.若集合, 则集合( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：作数轴观察易得.‎ 考点：集合的基本运算.‎ ‎2.如图，网格纸上小正方形的边长为，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 由已知可得该几何体是一个以主视图为底面的四棱柱， 底面面积，高， 故体积，故选C.‎ ‎3.若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是（ ）‎ A. 5 B. ‎4 ‎C. 3 D. 2‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 模拟执行循环结构的程序得到与的值，计算得到时满足判断框的条件，退出循环，输出结果，即可得到答案.‎ ‎【详解】模拟执行循环结构的程序框图，可得：，‎ 第1次循环：；‎ 第2次循环：；‎ 第3次循环：，‎ 此时满足判断框的条件，输出.‎ ‎【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图的应用，其中解答中根据给定的程序框图，根据判断框的条件推出循环，逐项准确计算输出结果是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.‎ ‎4.设集合，若动点，则的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【详解】分析：利用线性规划知识，画出所表示的区域，就是区域内点到距离的平方，根据平面几何知识可得结果.‎ 详解：‎ ‎ ‎ 在同一直角坐标系中画出集合所在区域，‎ 取交集后可得所表示的区域如图中阴影部分所示，‎ 而表示的是中的点到的距离，‎ 由图可知，到直线的距离最小，为；‎ 到的距离最大，为，‎ 所以范围是，故选C.‎ 点睛：本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.‎ ‎5.已知等差数列的前三项依次为，则此数列的第项为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：已知等差数列的前三项依次为，故有，解得，故等差数列的前三项依次为，，，故数列是以为首项，以为公差的等差数列，故通项公式，故选B．‎ 考点：（1）等差数列的性质；（2）等差数列的通项公式.‎ ‎6.已知向量=(2，3)，=(−1，2)，若(m＋n)∥(−2)，则等于 A. −2 B. 2‎ C. − D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【详解】由题意得m＋n=(‎2m−n，‎3m＋2n)，−2=(4，−1)，∵(m＋n)∥(−2)，∴−(‎2m−n)−4(‎3m＋2n)=0，∴ ，故选C．‎ ‎7.在等差数列中，，，则（ ）‎ A. 9 B. ‎9.5 ‎C. 10 D. 11‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 联立计算得到，再代入式子计算得到答案.‎ ‎【详解】；，解得 ‎ 故选：‎ ‎【点睛】本题考查了等差数列的计算，属于简单题.‎ ‎8.将A，B，C，D这4名同学从左至右随机地排成一排，则“A与B相邻且A与C之间恰好有1名同学”的概率是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出基本事件总数，再利用列举法求出“A与B相邻且A与C之间恰好有1名同学”包含的基本事件个数，由此能求出“A与B相邻且A与C之间恰好有1名同学”的概率.‎ ‎【详解】A，B，C，D 4名同学排成一排有种排法，‎ 当A，C之间是B时，有2×2＝4种排法，‎ 当A，C之间是D时，有2种排法，‎ 所以所求概率P＝＝.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用.‎ ‎9.在△ABC中，内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c.若a＝15，b＝10，A＝60°，则cosB＝（ ）‎ A. B. C. － D. －‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由正弦定理可得，可求sinB，然后结合大边对大角及同角平方关系即可求解 ‎【详解】∵a=15,b=10,A=60∘‎ 由正弦定理可得 ‎∵a>b ‎∴A>B ‎∴B为锐角 故选：A.‎ ‎【点睛】本题主要考查正弦定理在解三角形中的应用，属于中档题.正弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下几种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径.‎ ‎10.三个数,,的从小到大的顺序是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据指数函数的增减性，对数函数的增减性，确定,,的大致范围，即可比较大小.‎ ‎【详解】因为是增函数，‎ 所以，‎ 因为是减函数，‎ 所以，‎ 因为是减函数，‎ 所以，‎ 综上可知，‎ 故选：A ‎【点睛】本题主要考查了指数函数、对数函数的单调性，属于中档题.‎ ‎11.若是纯虚数，则（ ）‎ A. B. ‎-1 ‎C. D. -7‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据复数为纯虚数得到，，故，展开计算得到答案.‎ ‎【详解】是纯虚数，则且，故 ‎，‎ 故选：‎ ‎【点睛】本题考查了复数的概念，和差公式，意在考查学生的综合应用能力和计算能力.‎ 第Ⅱ卷 主观题 二、填空题（共5题；共21分）‎ ‎12.的三个内角，，的对边分别是，，，则：‎ ‎①若，则一定是钝角三角形；‎ ‎②若，则为等腰三角形；‎ ‎③，，若，则为锐角三角形；‎ ‎④若为的外心，；‎ ‎⑤若，且，则.‎ 以上叙述正确的序号是________．‎ ‎【答案】①③④⑤‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 依次判断每个选项：得到①正确；或②错误；‎ ‎③正确；计算得到④⑤正确，得到答案.‎ ‎【详解】①若，即 ，即，则是钝角三角形，①正确；‎ ‎②若，则，故或 ‎ ，②错误；‎ ‎③，，若， ‎ 则，则为锐角三角形，③正确；‎ ‎④若为的外心，则 ‎ 同理：‎ 故，④正确；‎ ‎⑤若即，且，则为重心 如图所示：‎ ‎，⑤正确 故答案为：①③④⑤‎ ‎【点睛】本题考查了正弦定理，和差公式，向量的运算，意在考查学生的综合应用能力.‎ ‎13.在中，角，，所对应边分别是，，，若，则角的值是________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接利用余弦定理得到答案.‎ ‎【详解】，又 即 ‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查了余弦定理，意在考查学生的计算能力.‎ ‎14.已知四点共面，，，，则最大值为______．‎ ‎【答案】10‎ ‎【解析】‎ 解：设 ，由题意可得： ，‎ 则： ，‎ ABC构成三角形，则：，解得：，‎ 由余弦定理：‎ ‎，‎ 当时，取得最大值为10.‎ 点睛：在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围．‎ ‎15.函数，则________，若方程有两个不同的实数根，则的取值范围为________‎ ‎【答案】 (1). (2). ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 代入直接计算得到；画出函数图像得到的取值范围.‎ ‎【详解】则 如图所示：画出函数图像，根据图像知 故答案为：；‎ ‎【点睛】本题考查了函数值的计算，方程解的个数问题，画出函数图形是解题的关键.‎ ‎16.在正四棱柱中，底面的边长为，与底面所成角的大小为，则该正四棱柱的高等于__________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 连结辅助线,证明与底面所成的角为,再根据正切值求解.‎ ‎【详解】解：连结,因为为四棱柱,‎ 所以面,‎ 则与底面所成的角为,‎ ‎,即,‎ 解得该正四棱柱的高.‎ 故答案为 ‎【点睛】本题考查了正四棱柱的性质,正四棱柱的高的计算,考查了线面角的定义,关键是找到直线与平面所成的角.‎ 三、解答题（共6题；共72分）‎ ‎17.已知函数（为实数常数）‎ ‎（1）当时，求函数在上的单调区间；‎ ‎（2）当时，成立，求证：．‎ ‎【答案】(1) 单调递增区间是，单调递减区间是．(2)证明见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先求出函数的导函数，再解不等式与，从而求出函数的单调区间；‎ ‎（2）当时，由等价于恒成立，再分别讨论：①当时，②当时，③当时，利用导数研究函数的单调性及最值从而得解.‎ ‎【详解】解：（1）因为，所以，‎ 当时，由得，解得，‎ 由得，解得，‎ 所以函数在的单调递增区间是，单调递减区间是． ‎ ‎（2）当时，由得 即恒成立（*），‎ 设，则，由题可知 ‎①当时，，所以在上单调递增，‎ ‎，可知且时，，使得，可知（*）式不成立，则不符合条件；‎ ‎②当时，，所以在上单调递减，‎ ‎，可知（*）式成立，则符合条件，所以成立；‎ ‎③当时，由得，由得，‎ 所以在上单调递增，可知在上单调递减，‎ 所以，由（*）式得，‎ 设，则，所以在上单调递减，‎ 而，，可知．‎ 综上所述，．‎ ‎【点睛】本题考查了利用导数求函数的单调区间及由不等式恒成立求参数的范围，重点考查了不等式与函数的相互转化，属中档题.‎ ‎18.设是等差数列，是各项都为正数的等比数列，且，，‎ ‎（1）求数列，的通项公式；‎ ‎（2）设数列的前项和为试比较与6的大小.‎ ‎【答案】（1），．‎ ‎（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）设的公差为，的公比为，则依题意有且，‎ 解得，所以通项公式可求；（2）根据（1）知，所以 ‎，用错位相减法即可求出前项和的值．‎ ‎（1）设的公差为，的公比为，则依题意有且，‎ 解得，所以通项公式可求；（2）根据（1）知，所以 ‎，用错位相减法即可求出前项和的值．‎ ‎【详解】（1）设的公差为，的公比为．‎ 则依题意有且，‎ 解得，‎ 所以，．‎ ‎（2），‎ ‎，①‎ ‎，②‎ ‎②-①得：‎ ‎．‎ ‎19.在中，，且.‎ ‎（1）求边长；‎ ‎（2）求边上中线的长.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用同角的三角函数关系，可以求出的值，利用三角形内角和定理，二角和的正弦公式可以求出，最后利用正弦定理求出长；‎ ‎（2）利用余弦定理可以求出的长，进而可以求出的长，然后在中，再利用余弦定理求出边上中线的长.‎ ‎【详解】（1），‎ ‎，由正弦定理可知中：‎ ‎（2）由余弦定理可知：‎ ‎，是的中点，故，在中，由余弦定理可知：‎ ‎【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理、同角的三角函数关系、以及三角形内角和定理，考查了数学运算能力.‎ ‎20.计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站，过去50年的水文资料显示，水库年入流量(年入流量：一年内上游来水与库区降水之和.单位：亿立方米）都在40以上.其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年.将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立.‎ ‎（1）求未来4年中，至多1年的年入流量超过120的概率；‎ ‎（2）水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量限制，并有如下关系:‎ 年入流量 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 发电量最多可运行台数 ‎ ‎1 ‎ ‎2 ‎ ‎3 ‎ ‎ ‎ 若某台发电机运行，则该台年利润为5000万元；若某台发电机未运行，则该台年亏损800万元，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？‎ ‎【答案】（1）0.9477；（2）8620, 2.‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析：（1）先求，，，再利用二项分布求解；（2）记水电站年总利润为（单位：万元）①安装1台发电机的情形.②安装2台发电机.③安装3台发电机，分别求出，比较大小，再确定应安装发电机台数.‎ ‎（1）依题意，，‎ ‎，，‎ 由二项分布，在未来4年中至多有1年入流量找过120概率为：‎ ‎.‎ ‎（2）记水电站年总利润为（单位：万元）‎ ‎①安装1台发电机的情形.‎ 由于水库年入流量总大于40，所以一台发电机运行的概率为1，‎ 对应的年利润，.‎ ‎②安装2台发电机.‎ 当时，一台发电机运行，此时，‎ 因此，‎ 当时，两台发电机运行，此时，‎ 因此.由此得的分布列如下：‎ ‎ ‎ ‎4200 ‎ ‎10000 ‎ ‎ ‎ ‎0.2 ‎ ‎0.8 ‎ 所以.‎ ‎③安装3台发电机.‎ 依题意，当时，一台发电机运行，此时，‎ 因此；‎ 当时，两台发电机运行，此时，‎ 此时，‎ 当时，三台发电机运行，此时，‎ 因此，‎ 由此得的分布列如下：‎ ‎ ‎ ‎34 ‎ ‎9200 ‎ ‎15000 ‎ ‎ ‎ ‎0.2 ‎ ‎0.8 ‎ ‎0.1 ‎ 所以.‎ 综上，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机2台.‎ 考点：二项分布，随机变量的均值.‎ ‎【此处有视频，请去附件查看】‎ ‎21.如图，在长方体中，点是棱的中点，点 在棱上，且（为实数）．‎ ‎（1）求二面角的余弦值； ‎ ‎（2）当时，求直线与平面所成角的正弦值的大小；‎ ‎（3）求证：直线与直线不可能垂直．‎ ‎【答案】（1）；（2）；（3）见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】分析：(1)建立如图所示的空间直角坐标系，写出相应点的坐标，算出相应向量的坐标，利用垂直向量的数量积等于零的方法建立方程组，算出平面对应的法向量，之后应用平面的法向量所成角的余弦值求得二面角的余弦值；’‎ ‎(2)当时，可得E,F坐标，从而求得的坐标，进而算出的余弦值，再由其为锐角，结合直线与平面所成角的定义，即可算出直线与平面所成角的正弦值的大小；‎ ‎(3)假设直线与直线垂直，根据向量的数量积等于零，建立关于的等量关系式，化简可得，由根的判别式小于零得该方程无解，从而得到假设不成立，从而得到原结论成立.‎ 详解：（1）如图所示，建立空间直角坐标系．‎ ‎ ‎ 则 ， ‎ 设平面的法向量为，‎ 则．即．令，则．‎ ‎∴平面的一个法向量．又平面的一个法向量为． ‎ 故，即二面角的余弦值为.‎ ‎（2）当λ =时，E（0，1，2），F（1，4，0），．‎ 所以． ‎ 因为 ，所以为锐角， ‎ 从而直线EF与平面所成角的正弦值的大小为． ‎ ‎(3)假设，则． ‎ ‎ ∵，‎ ‎∴，． ‎ ‎∴．化简得．‎ 该方程无解，所以假设不成立，即直线不可能与直线不可能垂直．‎ 点睛：该题考查的是有关利用空间向量求解二面角的余弦值以及线面角的正弦值，在求解 ‎ 过程中，关于二面角和线面角都需要求面的法向量，之后应用向量所成角的余弦值得到我们想求的结果，必须保证运算的正确性，再者就是有关不可能问题，都是先假设存在，利用向量的数量积等于零来衡量线线垂直的关系，之后得到相应参数所满足的方程无根，从而题中结论得到肯定.‎ ‎22.过点作直线，当的斜率为何值时.‎ ‎（1）将圆平分？ ‎ ‎（2）与圆相切？ ‎ ‎（3）与圆相交且所截得弦长？‎ ‎【答案】（1） （2）0或（3）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）当经过圆心时成立，计算斜率得到答案.‎ ‎（2）设直线的方程为：，利用圆心到直线的距离等于半径计算得到答案.‎ ‎（3）计算得到圆心的到直线的距离为，利用距离公式计算得到答案.‎ ‎【详解】（1）当经过圆心时，可将圆平分，‎ ‎∴直线的方程为：，化为， ‎ ‎（2）设直线的方程为：，化为 ‎∵直线与圆相切，∴圆心到直线的距离 化为：，解得或．∴当或时，直线与圆相切 ‎（3）∵与圆相交且所截得弦长，‎ ‎∴直线的距离，化为，‎ 解得∴当时，满足条件.‎ ‎【点睛】本题考查了直线和圆的位置关系，意在考查学生的计算能力.‎