【数学】河北省衡水市桃城区第十四中学2019-2020学年高一暑假前第一次周测试卷（解析版）

【数学】河北省衡水市桃城区第十四中学2019-2020学年高一暑假前第一次周测试卷（解析版）

河北省衡水市桃城区第十四中学2019-2020学年 高一暑假前第一次周测试卷www.ks5u.com 一．选择题（共25小题）‎ ‎1．已知直线l1：x+ay+2＝0，l2：ax+（a+2）y+4＝0，若l1∥l2，则实数a的值是（　　）‎ A．2或﹣1 B．﹣1 C．2 D．﹣2或1‎ ‎2．已知直线l1：xsinα+2y﹣1＝0，直线l2：x﹣ycosα+3＝0，若l1⊥l2，则tan2α＝（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎3．若a，b为正实数，直线2x+（2a﹣3）y+2＝0与直线bx+2y﹣1＝0互相垂直，则ab的最大值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎4．已知直线kx﹣y+2＝0和以M（3，﹣2），N（2，5）为端点的线段相交，则实数k的取值范围为（　　）‎ A．k≤ B．k≥ ‎ C．﹣≤k≤ D．k≤﹣或k≥‎ ‎5．下列四条直线，其倾斜角最大的是（　　）‎ A．x+2y+3＝0 B．2x﹣y+1＝0 C．x+y+1＝0 D．x+1＝0‎ ‎6．经过点M（1，1）且在两坐标轴上截距相等的直线方程是（　　）‎ A．x+y＝2 B．x+y＝1 ‎ C．x＝1或y＝1 D．x+y＝2或x＝y ‎7．直线l绕它与x轴的交点逆时针旋转，得到直线，则直线l的直线方程 ‎（　　）‎ A． B．x﹣y﹣3＝0 ‎ C． D．‎ ‎8．若θ是直线l的倾斜角，且sinθ+cosθ＝，则l的斜率为（　　）‎ A．﹣ B．﹣或﹣2 C．或2 D．﹣2‎ ‎9．经过两条直线2x+3y+1＝0和x﹣3y+4＝0的交点，并且垂直于直线3x+4y ‎﹣7＝0的直线方程为（　　）‎ A．4x﹣3y+9＝0 B．4x+3y+9＝0 ‎ C．3x﹣4y+9＝0 D．3x+4y+9＝0‎ ‎10．直线2ax+（a2+1）y﹣1＝0的倾斜角的取值范围是（　　）‎ A．[，] B．[0，]∪[，π] ‎ C．（0，]∪[，π） D．[0，]∪[，π）‎ ‎11．在R上定义运算a※b＝（a+1）b，若存在x∈[1，2]使不等式（m﹣x）※（m+x）＜4，成立，则实数m的取值范围为（　　）‎ A．（﹣3，2） B．（﹣1，2） C．（﹣2，2） D．（1，2）‎ ‎12．若关于x的不等式ax2+bx﹣1＞0的解集是{x|1＜x＜2}，则不等式bx2+ax﹣1＜0的解集是（　　）‎ A． B．{x|x＜﹣1或 ‎ C． D．或x＞1}‎ ‎13．存在x∈[﹣1，1]，使得不等式x2+（a﹣4）x+4﹣2a＞0有解，则实数a的取值范围是（　　）‎ A．a＜1 B．a＜3 ‎ C．a≥1 D．a≥3‎ ‎14．若x，y满足约束条件，则z＝x+3y的最小值是（　　）‎ A．﹣4 B．﹣2 C．2 D．4‎ ‎15．若x＞1，则的最大值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎16．已知（x＞0，y＞0），则x+y的最小值为（　　）‎ A．12 B．14 C．16 D．18‎ ‎17．已知正数a，b满足a+b＝3，则的最小值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎18．两个正实数a，b满足3a+b＝1，则满足，恒成立的m取值范围（　　）‎ A．[﹣4，3] B．[﹣3，4] ‎ C．[﹣2，6] D．[﹣6，2]‎ ‎19．已知数列{an}的通项公式an＝﹣n2+8n﹣12，前n项和为Sn，若n＞m，则Sn﹣Sm的最大值是（　　）‎ A．5 B．10 C．15 D．20‎ ‎20．已知数列{an}满足，数列的前n项和为Sn，则S2020＝（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎21．记Sn为数列{an}的前n项和，且Sn＝﹣2an+1，则S6的值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎22．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a＝1，b＝2，C＝120°，则△ABC的外接圆半径（　　）‎ A． B． C． D．4‎ ‎23．在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若bcosC﹣ccosB＝2c•cosC，则角C的取值范围为（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎24．△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，求b+c的取 值范围（　　）‎ A．（1，） B．（，2] ‎ C．（1，2） D．（1，2]‎ ‎25．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且△ABC面积为 ‎，则△ABC面积S的最大值为（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ 二．解答题（共3小题）‎ ‎26．已知△ABC的内角X的对边分别为X，满足b2+c2﹣a2＝c（acosC+ccosA）．‎ ‎（Ⅰ）求角A的大小；‎ ‎（Ⅱ）若，求sin（2B+A）的值；‎ ‎（Ⅲ）若△ABC的面积为，a＝3，求△ABC的周长．‎ ‎27．数列{an}满足a1＝1，an＝an+1（1+2an）（n∈N*）．‎ ‎（1）求证：数列是等差数列；‎ ‎（2）若a1a2+a2a3+…+anan+1＞，求正整数n的最小值．‎ ‎28．已知数列{an}和{bn}满足an•bn+1﹣an+1•bn﹣2an•an+1＝0，且a1＝1，b1＝1，设cn＝．‎ ‎（1）求数列{cn}的通项公式；‎ ‎（2）若{an}是等比数列，且a2＝3，求数列{bn}的前n项和Sn．‎ ‎【参考答案】‎ 一．选择题（共25小题）‎ ‎1．【分析】由a2﹣（a+2）＝0，解得a，经过验证a看是否使得两条直线平行．‎ ‎【解答】解：由a2﹣（a+2）＝0，解得a＝2或﹣1．‎ 经过验证a＝2时两条直线重合，舍去．‎ ‎∴a＝﹣1时，l1∥l2．故选：B．‎ ‎2．【分析】根据两直线垂直求出sinα与cosα的关系，计算tanα的值，再求tan2α的值．‎ ‎【解答】解：直线l1：xsinα+2y﹣1＝0，直线l2：x﹣ycosα+3＝0，‎ 若l1⊥l2，则sinα﹣2cosα＝0，‎ 即sinα＝2cosα，所以tanα＝2，‎ 所以tan2α＝＝＝﹣．故选：B．‎ ‎3．【分析】由两直线垂直求出2a+b＝3，再利用基本不等式求出ab的最大值．‎ ‎【解答】解：由直线2x+（2a﹣3）y+2＝0与直线bx+2y﹣1＝0互相垂直，‎ 所以2b+2（2a﹣3）＝0，即2a+b＝3；‎ 又a、b为正实数，所以2a+b≥2，‎ 即2ab≤＝，当且仅当a＝，b＝时取“＝”；‎ 所以ab的最大值为．故选：B．‎ ‎4．【分析】因为直线kx﹣y+2＝0恒过定点A（0，2），结合kAM＝，kAN＝，可求．‎ ‎【解答】解：因为直线kx﹣y+2＝0恒过定点A（0，2），‎ 又因为kAM＝，kAN＝，‎ 故直线的斜率k的范围为．故选：C．‎ ‎5．【分析】根据题意，依次分析选项，求出所给直线的斜率，比较其倾斜角的大小，即可得答案．‎ ‎【解答】解：根据题意，依次分析选项：‎ 对于A、x+2y+3＝0，其斜率k1＝﹣，倾斜角θ1为钝角，‎ 对于B、2x﹣y+1＝0，其斜率k2＝2，倾斜角θ2为锐角，‎ 对于C、x+y+1＝0，其斜率k3＝﹣1，倾斜角θ3为135°，‎ 对于D、x+1＝0，倾斜角θ4为90°，‎ 而k1＞k3，故θ1＞θ3，故选：A．‎ ‎6．【分析】分两种情况考虑，第一：当所求直线与两坐标轴的截距不为0时，设出该直线的方程为x+y＝a，把已知点坐标代入即可求出a的值，得到直线的方程；第二：当所求直线与两坐标轴的截距为0时，设该直线的方程为y＝kx，把已知点的坐标代入即可求出k的值，得到直线的方程，综上，得到所有满足题意的直线的方程．‎ ‎【解答】解：①当所求的直线与两坐标轴的截距不为0时，设该直线的方程为x+y＝a，‎ 把（1，1）代入所设的方程得：a＝2，则所求直线的方程为x+y＝2；‎ ‎②当所求的直线与两坐标轴的截距为0时，设该直线的方程为y＝kx，‎ 把（1，1）代入所求的方程得：k＝1，则所求直线的方程为y＝x．‎ 综上，所求直线的方程为：x+y＝2或x﹣y＝0．故选：D．‎ ‎7．【分析】先得到直线倾斜角θ，由题意可得所求直线的倾斜角等于θ﹣，可得所求直线的斜率，用点斜式求的直线方程．‎ ‎【解答】解：直线直线的斜率等于﹣，设倾斜角等于θ，即θ＝，‎ 绕它与x轴的交点（，0）逆时针旋转，‎ 所得到的直线的倾斜角等于θ﹣，故所求直线的斜率为tan（﹣，）＝，‎ 故所求的直线方程为 y﹣0＝（x﹣），即 x﹣y﹣3＝0，‎ 故选：B．‎ ‎8．【分析】由直线l的倾斜角为α，知直线的斜率k＝tanα，求出sinθ，cosθ的值，作商求出直线的斜率．‎ ‎【解答】解：∵sinθ+cosθ＝①，‎ ‎∴（sinθ+cosθ）2＝1+sin2θ＝，‎ ‎∴2sinθcosθ＝﹣，∴（sinθ﹣cosθ）2＝，‎ ‎∵sinθ﹣cosθ＞0，∴sinθ﹣cosθ＝②，‎ 解得，故tanθ＝﹣2．‎ 故选：D．‎ ‎9．【分析】先设出经过两条直线的交点的直线系方程，再根据两直线垂直列式，解得．‎ ‎【解答】解：经过两条直线2x+3y+1＝0和x﹣3y+4＝0的交点的直线设为：‎ ‎2x+3y+1+λ（x﹣3y+4）＝0，即（2+λ）x+（3﹣3λ）y+1+4λ＝0，‎ 依题意得：（2+λ）×3+（3﹣3λ）×4＝0解得：λ＝2，‎ 所以所求直线为：4x﹣3y+9＝0‎ 故选：A．‎ ‎10．【分析】设直线2ax+（a2+1）y﹣1＝0的倾斜角为θ，可得tanθ＝﹣，对a分类讨论，利用基本不等式的性质、三角函数求值即可得出．‎ ‎【解答】解：设直线2ax+（a2+1）y﹣1＝0的倾斜角为θ，‎ 则tanθ＝﹣，‎ a＝0时，tanθ＝0，可得θ＝0；‎ a＞0时，tanθ≥＝﹣1，当且仅当a＝1时取等号，∴θ∈；‎ a＜0时，tanθ≤1，当且仅当a＝﹣1时取等号，∴θ∈；‎ 综上可得：θ∈∪．‎ 故选：D．‎ ‎11．【分析】由题意把不等式化为（m﹣x+1）（m+x）＜4，分离出m和x，利用函数的最值求关于m的不等式的解集即可．‎ ‎【解答】解：由题意知，不等式（m﹣x）※（m+x）＜4化为（m﹣x+1）（m+x）＜4，‎ 即m2+m﹣4＜x2﹣x；‎ 设f（x）＝x2﹣x，x∈[1，2]，‎ 则f（x）的最大值是f（2）＝4﹣2＝2；‎ 令m2+m﹣4＜2，即m2+m﹣6＜0，‎ 解得﹣3＜m＜2，∴实数m的取值范围是（﹣3，2）．‎ 故选：A．‎ ‎12．【分析】先由不等式的解集与不等式之间的关系，得出1和2是关于x的方程ax2+bx﹣1＝0的两根，由韦达定理可求出a和b的值，再代入不等式bx2+ax﹣1＜0，解出该不等式即可得出答案．‎ ‎【解答】解：由题意可知，1和2是关于x的方程ax2+bx﹣1＝0的两实根，‎ 由韦达定理可得，解得，‎ 所以，不等式bx2+ax﹣1＜0，即为，即3x2﹣x﹣2＜0，解得，‎ 故选：C．‎ ‎13．【分析】把不等式化为a（x﹣2）＞﹣x2+4x﹣4，根据x∈[﹣1，1]时x﹣2＜0，得出a＜﹣（x﹣2），求出x∈[﹣1，1]﹣（x﹣2）的最大值即可．‎ ‎【解答】解：不等式x2+（a﹣4）x+4﹣2a＞0化为a（x﹣2）＞﹣x2+4x﹣4，‎ ‎∵x∈[﹣1，1]，∴x﹣2＜0，∴a＜﹣（x﹣2）；‎ 由存在x∈[﹣1，1]，使得不等式x2+（a﹣4）x+4﹣2a＞0有解，‎ ‎∴a＜﹣（﹣1﹣2）＝3，即实数a的取值范围是a＜3．‎ 故选：B．‎ ‎14．【分析】作出题中不等式组表示的平面区域，得到如图的△ABC及其内部，再将目标函数z＝x+3y对应的直线进行平移，观察直线在y轴上的截距变化，然后求解最优解得到结果．‎ ‎【解答】解：作出x，y满足约束条件表示的平面区域，如图：‎ 其中B（4，﹣2），A（2，2）．‎ 设z＝F（x，y）＝x+3y，‎ 将直线l：z＝x+3y进行平移，观察直线在y轴上的截距变化，‎ 可得当l经过点B时，目标函数z达到最小值．‎ ‎∴z最小值＝F（4，﹣2）＝﹣2．‎ 故选：B．‎ ‎15．【分析】令t＝x﹣1，换元，将原式转化为t的算式，结合基本不等式即可得到结果．‎ ‎【解答】解：令t＝x﹣1，则x＝t+1，t＞0，‎ 原式＝＝＝≤＝，‎ 当且仅当t＝1即x＝2时等号成立，‎ 故选：C．‎ ‎16．【分析】x+y＝（x+y）（+）＝1+++9，根据基本不等式求得最小值．‎ ‎【解答】解：∵x＞0，y＞0，‎ ‎∴x+y＝（x+y）（+）＝1+++9＝10++≥10+6＝16，‎ 当且仅当＝时，即x＝4，y＝12时x+y有最小值16．‎ 故选：C．‎ ‎17．【分析】正数a，b满足a+b＝3，则a+b+1＝4．利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．‎ ‎【解答】解：正数a，b满足a+b＝3，则a+b+1＝4．‎ 则＝[a+（b+1）]（）＝（1+++4）‎ ‎＝（5++）≥（5+4）＝，‎ 当且仅当＝即a＝，b＝时原式有最小值．‎ 故选：A．‎ ‎18．【分析】由基本不等式和“1”的代换，可得+的最小值，再由不等式恒成立思想可得m2﹣m小于等于最小值，解不等式可得所求范围．‎ ‎【解答】解：由3a+b＝1，a＞0，b＞0，‎ 可得+＝（3a+b）（+）＝6++≥6+2＝12，‎ 当且仅当a＝，b＝上式取得等号，‎ 由题意可得m2﹣m≤+的最小值，‎ 即有m2﹣m≤12，解得﹣3≤m≤4．‎ 故选：B．‎ ‎19．【分析】由数列的通项公式可得Sn﹣Sm＝am+1+am+2+…+an，可得当am+1+am+2+…+an最大时，Sn﹣Sm取得最大值，由an≥0，解不等式，计算即可得到所求最大值．‎ ‎【解答】解：根据题意，数列{an}的通项公式是，‎ 其前n项和是Sn，n＞m，有Sn﹣Sm＝am+1+am+2+…+an，‎ 即当am+1+am+2+…+an最大时，Sn﹣Sm取得最大值；‎ 若，且n∈N+，解得2≤n≤6，‎ 即当2≤n≤6时，an的值为正．‎ 当n＝6，m＝2时，S6﹣S2＝a3+a4+a5+a6＝3+4+3+0＝10，‎ 此时Sn﹣Sm取得最大值10．‎ 故选：B．‎ ‎20．【分析】本题先根据已知条件2a1+22a2+…+2nan＝n，可得2a1+22a2+…+2n﹣1an﹣1＝n﹣1，两式相减，进一步计算可得数列{an}的通项公式，注意n＝1要验证，然后可计算出数列的通项公式，再运用裂项相消法可计算出S2020的值，得到正确选项．‎ ‎【解答】解：由题意，当n＝1时，2a1＝1，解得a1＝，‎ 当n≥2时，由2a1+22a2+…+2nan＝n，可得 ‎2a1+22a2+…+2n﹣1an﹣1＝n﹣1，‎ 两式相减，可得2nan＝n﹣（n﹣1）＝1，即an＝，‎ ‎∵当n＝1时，a1＝也满足上式，∴an＝，n∈N*，‎ ‎∴＝‎ ‎＝＝＝﹣，‎ ‎∴S2020＝++…+‎ ‎＝1﹣+﹣+…+﹣＝1﹣‎ ‎＝．‎ 故选：A．‎ ‎21．【分析】本题根据题意可应用公式an＝进行计算即可判断出数列{an}是以为首项，为公比的等比数列，然后根据等比数列的求和公式计算出S6的值．‎ ‎【解答】解：由题意，当n＝1时，a1＝S1＝﹣2a1+1，解得a1＝，‎ 当n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1＝﹣2an+1+2an﹣1﹣1，整理，得an＝an﹣1，‎ ‎∴数列{an}是以为首项，为公比的等比数列，‎ ‎∴S6＝＝．‎ 故选：A．‎ ‎22．【分析】先根据余弦定理求出c，再由正弦定理可求得R．‎ ‎【解答】解：由余弦定理可得cosC＝，即﹣＝，解得c＝，‎ 根据正弦定理可得2R＝＝＝，故R＝，‎ 故选：A．‎ ‎23．【分析】由已知利用正弦定理，两角差的正弦函数公式，二倍角的正弦函数公式可得sin（B﹣C）＝sin2C，在锐角三角形中可求B＝3C，可得，且，从而解 得C的取值范围．‎ ‎【解答】解：∵bcosC﹣ccosB＝2c•cosC，‎ ‎∴由正弦定理可得：sinBcosC﹣sinCcosB＝2sinCcosC，‎ ‎∴sin（B﹣C）＝sin2C，∴B﹣C＝2C，∴B＝3C，‎ ‎∴，且，∴．‎ 故选：A．‎ ‎24．【分析】结合正弦定理可得：b+c＝2 sin（B+），借助于B的范围，故有sin（B+）‎ ‎∈（ ，1]，从而可求b+c．‎ ‎【解答】解：∵，‎ 由正弦定理得：∵b＝＝sinB，c＝＝sinC，‎ 又由（1）知：B+C＝∴C＝﹣B ‎∴b+c＝sinB+sinC＝[sinB+sin（ ﹣B）]‎ ‎＝（sinB+sinB）＝2 sin（B+），‎ ‎∵A＝，∴B∈（0，），‎ ‎∴B+∈（ ，），‎ ‎∴sin（B+）∈（ ，1]，‎ ‎∴b+c∈（ 1，2]．‎ 故选：D．‎ ‎25．【分析】由已知利用三角形的面积公式可求tanB，可得cosB，sinB的值，由余弦定理，基本不等式可求ac≤8（2﹣），根据三角形的面积公式即可求解其最大值．‎ ‎【解答】解：∵S＝（b2﹣a2﹣c2）＝•（﹣2accosB）＝acsinB，‎ ‎∴tanB＝﹣，B＝，cosB＝﹣，sinB＝，‎ 又∵b＝2，由余弦定理可得：8＝a2+c2+ac≥（2+）ac，‎ ‎∴ac≤＝8（2﹣），‎ ‎∴S△ABC＝acsinB≤×8（2﹣）×＝4﹣2．‎ ‎∴面积S的最大值为4﹣2．‎ 故选：B．‎ 二．解答题（共3小题）‎ ‎26．【分析】（Ⅰ）由余弦定理化简已知等式得b2+c2﹣a2＝bc，可求cosA的值，结合范围0＜A＜π，可求A的值．‎ ‎（Ⅱ）利用同角三角函数基本关系式可求sinB的值，利用二倍角公式可求sin2B，cos2B的值，进而根据两角和的正弦函数公式可求sin（2B+A）的值．‎ ‎（Ⅲ）由已知利用三角形的面积公式可求，进而根据余弦定理解得b+c＝5，即可求解△ABC的周长．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）∵b2+c2﹣a2＝c（acosC+ccosA），‎ 由余弦定理得，，‎ 化简得，b2+c2﹣a2＝bc，‎ ‎∴，………………………………..3分 又0＜A＜π，‎ ‎∴．………………………………………..4分 ‎（Ⅱ）由已知得，，……………………….5分 ‎∴，，‎ ‎∴sin（2B+A）＝sin（2B+）＝sin2Bcos+cos2Bsin＝．………..7分 ‎（Ⅲ）∵，‎ ‎∴，…………………………………..8分 ‎∵由余弦定理得，a2＝b2+c2﹣2bccosA＝（b+c）2﹣2bc﹣2bccosA．‎ 解得b+c＝5．‎ ‎∴△ABC的周长为a+b+c＝8．……………………………..10分 ‎27．【分析】（1）由题意可得＝＝2，结合等差数列的定义，即可得证；‎ ‎（2）运用等差数列的通项公式，可得anan+1＝＝（﹣），再由数列的裂项相消求和，结合不等式解法可得所求最小值．‎ ‎【解答】解：（1）证明：由an＝an+1（1+2an）（n∈N*），‎ 可得an﹣an+1＝2anan+1，则＝＝2，‎ 所以数列是首项为1，公差为2的等差数列；……………………..4分 ‎（2）由（1）可得＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1，即an＝，………………….5分 anan+1＝＝（﹣），………………………….6分 所以a1a2+a2a3+…+anan+1＝（1﹣+﹣+…+﹣）‎ ‎＝（1﹣）＝＞，…………………………………9分 解得n＞16，所以正整数n的最小值为17．………………………………….10‎ ‎28．【分析】（1）直接利用递推关系式的应用求出数列的通项公式．‎ ‎（2）利用乘公比错位相减法的应用求出结果．‎ ‎【解答】解：（1）依题意，由an•bn+1﹣an+1•bn﹣2an•an+1＝0，可得 an•bn+1﹣an+1•bn＝2an•an+1，‎ 两边同时乘以，可得﹣＝2，即cn+1﹣cn＝2，‎ ‎∵c1＝＝1，∴数列{cn}是以1为首项，2为公差的等差数列，‎ ‎∴cn＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1，n∈N*．……………………………4分 ‎（2）由题意，设等比数列{an}的公比为q，则q＝＝＝3，‎ 故an＝1•3n﹣1＝3n﹣1，n∈N*．………………………………..5分 由（1）知，cn＝2n﹣1，且cn＝，‎ 则bn＝cn•an＝（2n﹣1）•3n﹣1，…………………………….6分 所以：①，………………………7分 ‎②，……………………………8分 ‎①﹣②得：﹣2，‎ ‎＝，‎ ‎＝﹣2﹣（2n﹣2）×3n，………………………………9分 所以．…………………………………10分