高考数学一轮复习第一章集合与常用逻辑用语1-3量词、逻辑联结词练习理北师大版

高考数学一轮复习第一章集合与常用逻辑用语1-3量词、逻辑联结词练习理北师大版

‎1.3 量词、逻辑联结词 考点一　含有逻辑联结词命题的真假判断 ‎ ‎1.若命题“p∨q”是真命题,“p为真命题”,则 (　　)‎ A.p真,q真 B.p假,q真 C.p真,q假 D.p假,q假 ‎【解析】选B.因为p为真命题,所以p为假命题,又因为p∨q为真命题,所以q为真命题.‎ ‎2.已知命题p:若x>y,则-x<-y;命题q:若x>y,则x2>y2.在命题①p且q;②p或q;③p且(q);④(p)或q中,真命题是 (　　)‎ A.①③ B.①④ C.②③ D.②④‎ ‎【解析】选C.当x>y时,-x<-y,故命题p为真命题,从而p为假命题.当x>y时,x2>y2不一定成立,故命题q为假命题,从而q为真命题.由真值表知,①p且q为假命题;②p或q为真命题;③p且(q)为真命题;④(p)或q为假命题.‎ ‎3.“p或q”为真命题是“p且q”为真命题的　　　　条件.(填“充分不必要”“必要不充分”或“充要”) ‎ ‎【解析】p或q为真命题p且q为真命题;p且q为真命题⇒p或q为真命题.‎ 答案:必要不充分 ‎1.判断含有逻辑联结词“或”“且”“非”的命题的真假 ‎(1)弄清构成它的命题p,q的真假;‎ ‎(2)弄清结构形式;‎ ‎(3)根据真值表来判断新命题的真假.‎ ‎2.判断复合命题的真假 关键是准确判断p,q的真假,本部分内容可和其他知识建立广泛的联系,因此,要注意相关知识的熟练掌握.‎ 考点二　全称命题与特称命题 ‎ ‎【典例】1.(2020·西安模拟)下列命题中,真命题是 (　　)‎ A.∃x∈R,sin2+cos2=‎ - 6 -‎ B.∀x∈(0,π),sin x>cos x C.∃x∈R,x2+x=-2‎ D.∀x∈(0,+∞),ex>x+1‎ ‎2.命题“∀x>0,>0”的否定是 (　　)‎ A.∃x≥0,≤0‎ B.∃x>0,0≤x≤1‎ C.∀x>0,≤0‎ D.∀x<0,0≤x≤1‎ ‎3.(2020·武汉模拟)命题“∃x∈(0,+∞),ln x=x-1”的否定是 (　　)‎ A.∀x∈(0,+∞),ln x≠x-1‎ B.∀x∉(0,+∞),ln x=x-1‎ C.∃x∈(0,+∞),ln x≠x-1‎ D.∃x∉(0,+∞),ln x=x-1‎ ‎【解题导思】‎ 序号 联想解题 ‎1‎ 由全称命题正确,想到对所有实数都成立,由特称命题正确,想到只要存在一个实数让命题成立即可 ‎2‎ 由全称命题的否定,想到换量词,否结论 ‎3‎ 由特称命题的否定,想到换量词,否结论 ‎【解析】1.选D.∀x∈R,均有sin2+cos2=1,故A是假命题;‎ 当x∈时,sin x≤cos x,故B是假命题;‎ 因为方程x2+x+2=0对应的判别式Δ=1-8<0,‎ 所以x2+x+2=0无解,‎ 所以∃x∈R,x2+x=-2是假命题,故C是假命题;‎ - 6 -‎ 令f(x)=ex-x-1,则f′(x)=ex-1,‎ 当x∈(0,+∞)时,f′(x)>0恒成立,‎ 则f(x)为增函数,故f(x)>f(0)=0,‎ 即∀x∈(0,+∞),ex>x+1.‎ ‎2.选B.因为>0,所以x<0或x>1,‎ 所以>0的否定是0≤x≤1,‎ 所以命题的否定是“∃x>0,0≤x≤1”.‎ ‎3.选A.改变原命题中的两个地方即可得其否定,∃改为∀,否定结论,即ln x≠x-1.‎ ‎1.全称命题、特称命题的真假判断方法 ‎(1)要判断一个全称命题是真命题,必须对限定集合M中的每个元素x验证p(x)成立;但要判断全称命题是假命题,只要能找出集合M中的一个x,使得p(x)不成立即可.‎ ‎(2)要判断一个特称命题是真命题,只要在限定集合M中,至少能找到一个x,使p(x)成立即可,否则,这一特称命题就是假命题.‎ ‎(3)不管是全称命题,还是特称命题,其真假不容易正面判断时,可先判断其命题的否定的真假.‎ ‎2.对全称(特称)命题进行否定的两步操作 ‎(1)转换量词:找到命题所含的量词,没有量词的要结合命题的含义加上量词,再改变量词.‎ ‎(2)否定结论:对原命题的结论进行否定.‎ ‎1.已知命题“∃x>0,使2x(x-a)>1”,则这个命题的否定是 (　　)‎ A.∀x>0,使2x(x-a)>1‎ B.∀x>0,使2x(x-a)≤1‎ C.∀x≤0,使2x(x-a)≤1‎ D.∀x≤0,使2x(x-a)>1‎ ‎2.下列命题中,真命题是 (　　)‎ A.∀x∈R,x2-x-1>0‎ B.∀α,β∈R,sin(α+β)0,使2x(x-a)≤1.‎ ‎2.选D.因为x2-x-1=-≥-,所以A是假命题.当α=β=0时,有sin(α+β)=sin α+sin β,所以B是假命题.x2-x+1=+≥,所以C是假命题.当α=β=时,有sin(α+β)=cos α+cos β,所以D是真命题.‎ 考点三　根据命题的真假求参数的取值范围 ‎ 命题 精解 读 ‎1.考什么:(1)根据命题的真假,求参数的取值(取值范围)‎ ‎(2)考查学生的数学运算、逻辑推理的核心素养 ‎2.怎么考:与方程、不等式结合,根据命题的真假,求参数的取值范围 学霸 好方 法 ‎1.求参数问题的解题思路:‎ ‎(1)不等式类问题,根据集合之间的关系求解 ‎(2)恒成立、存在性问题,求最值 ‎2.交汇问题: 与方程、不等式、函数等问题结合,注意恒成立、存在性问题的解决方法 复合命题真假的应用 ‎【典例】已知命题p:存在实数m,使方程x2+mx+1=0有两个不等的负根;命题q:存在实数m,使方程4x2+4(m-2)x+1=0无实根.若“p∧q”为假命题,“p∨q”为真命题,则m的取值范围为 (　　)‎ A.[3,+∞) B.(1,2]‎ C.(1,2]∪[3,+∞) D.[1,2)∪(3,+∞)‎ ‎【解析】选C.因为方程x2+mx+1=0有两个不相等的负根,所以解得m>2,‎ 因为方程4x2+4(m-2)x+1=0无实根,所以Δ<0,解得10,若p和q都是假命题,则实数m的取值范围为 (　　)‎ A.m≥2 B.m≤-2‎ C.m≤-2或m≥2 D.-2≤m≤2‎ ‎【解析】1.选B.若p∨(q)为假命题,则p假q真.由ex-mx=0,得m=,设f(x)=,则f′(x)=,当x>1时,f′(x)>0,f(x)为增函数,当00恒成立,则有m≥0;当q是假命题时,则有Δ=m2-4≥0,m≤-2或m≥2.综上m≥2.‎ 若全称命题是假命题,则能得到哪个命题是真命题?同样,若特称命题是假命题,则能得到哪个命题是真命题?‎ 提示:若全称命题是假命题,则其否定——特称命题是真命题,若特称命题是假命题,则其否定——全称命题是真命题.‎ - 6 -‎ ‎1.命题“任意x∈R,>0”的否定是 (　　)‎ A.存在x∈R,<0 B.任意x∈R,≤0‎ C.任意x∈R,<0 D.存在x∈R,≤0‎ ‎【解析】选D.全称命题的否定是特称命题,“>”的否定是“≤”.‎ ‎2.设命题p:∃n∈N,n2>2n,则p为 (　　)‎ A.∀n∈N,n2>2n B.∃n∈N,n2≤2n C.∀n∈N,n2≤2n D.∃n∈N,n2=2n ‎【解析】选C.因为“∃x∈M,p(x)”的否定是“∀x∈M,p(x)”,所以命题“∃n∈N,n2>2n”的否定是“∀n∈N,n2≤2n”.‎ ‎3.已知命题“∃x∈R,x2+ax-4a<0”为假命题,则实数a的取值范围为 (　　)‎ A.[-16,0] B.(-16,0)‎ C.[-4,0] D.(-4,0)‎ ‎【解析】选A.由题意可知“∀x∈R,x2+ax-4a≥0”为真命题,所以Δ=a2+16a≤0,解得-16≤a≤0.‎ ‎(2019·全国卷Ⅲ)记不等式组表示的平面区域为D.命题p:∃(x,y)∈D,2x+y≥9;命题q:∀(x,y)∈D,2x+y≤12.下面给出了四个命题 ‎①p∨q;②p∨q;③p∧q;④p∧q.‎ 这四个命题中,所有真命题的编号是 (　　)‎ A.①③ B.①② C.②③ D.③④‎ ‎【解析】选A.分别取区域D内的点A(6,0),B(6,3),对于命题p,因为2×6+0=12≥9,故是真命题;对于命题q,因为2×6+3=15>12,故是假命题.所以p为假命题,q为真命题.故p∨q,p∧q为真命题. ‎ - 6 -‎