2009年广东省高考数学试卷（文科）【word版本、可编辑、附详细答案和解释】

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‎2009年广东省高考数学试卷（文科）‎ 一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）‎ ‎1.已知全集U=R，则正确表示集合M={-1, 0, 1}‎和N={x|x‎2‎+x=0}‎关系的韦恩‎(Venn)‎图是（ ）‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎2. 下列n的取值中，使in‎=1‎（i是虚数单位）的是（ ）‎ A.n=2‎ B.n=3‎ C.n=4‎ D.‎n=5‎ ‎3. 已知平面向量a‎→‎‎=(x, 1)‎，b‎→‎‎=(-x, x‎2‎)‎，则向量a‎→‎‎+b‎→‎(‎ ‎‎)‎ A.平行于x轴 B.平行于第一、三象限的角平分线 C.平行于y轴 D.平行于第二、四象限的角平分线 ‎4. 若函数y=f(x)‎是函数y=ax-a(a>0‎，且a≠1)‎的反函数，且f(‎1‎‎2‎)=1‎，则函数y=(‎ ‎‎)‎ A.log‎2‎x B.‎1‎‎2‎x C.log‎1‎‎2‎x D.‎‎2‎x-2‎ ‎5. 已知等比数列‎{an}‎的公比为正数，且a‎3‎‎⋅‎a‎9‎＝‎2‎a‎5‎‎2‎，a‎2‎＝‎1‎，则a‎1‎＝（ ）‎ A.‎1‎‎2‎ B.‎2‎‎2‎ C.‎2‎ D.‎‎2‎ ‎6. 给定下列四个命题：‎ ‎①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；‎ ‎②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；‎ ‎③垂直于同一直线的两条直线相互平行；‎ ‎④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．‎ 其中，为真命题的是(        )‎ A.①和② B.②和③ C.③和④ D.②和④‎ ‎7. 已知‎△ABC中，‎∠A，‎∠B，‎∠C的对边分别为a，b，c．若a=c=‎6‎+‎‎2‎，且‎∠A=‎‎75‎‎∘‎，则b=(‎ ‎‎)‎ A.‎2‎ B.‎4+2‎‎3‎ C.‎4-2‎‎3‎ D.‎‎6‎‎-‎‎2‎ ‎8. 函数f(x)=(x-3)‎ex的单调递增区间是(        )‎ A.‎(-∞, 2)‎ B.‎(0, 3)‎ C.‎(1, 4)‎ D.‎‎(2, +∞)‎ ‎9. 函数y=2cos‎2‎(x-π‎4‎)-1‎是（ ）‎ A.最小正周期为π的奇函数 B.最小正周期为π的偶函数 C.最小正周期为π‎2‎的奇函数 D.最小正周期为π‎2‎的偶函数 ‎10. 广州‎2010‎年亚运会火炬传递在A，B，C，D，E五个城市之间进行，各城市之间的距离（单位：百公里）见表．若以A为起点，E为终点，每个城市经过且只经过一次，那么火炬传递的最短路线距离是（ ）‎ A B C D E A ‎0‎ ‎5‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ B ‎5‎ ‎0‎ ‎7‎ ‎6‎ ‎2‎ C ‎4‎ ‎7‎ ‎0‎ ‎9‎ ‎8.6‎ D ‎5‎ ‎6‎ ‎9‎ ‎0‎ ‎5‎ E ‎6‎ ‎2‎ ‎8.6‎ ‎5‎ ‎0‎ A.‎20.6‎ B.‎21‎ C.‎22‎ D.‎‎23‎ 第17页 共20页 ◎ 第18页 共20页 二、填空题（共5小题，每小题5分，第14-15题，属选做题，满分25分）‎ ‎11. 某篮球队‎6‎名主力队员在最近三场比赛中投进的三分球个数如下表所示：‎ 队员i ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ 三分球个数 a‎1‎ a‎2‎ a‎3‎ a‎4‎ a‎5‎ a‎6‎ 如图是统计该‎6‎名队员在最近三场比赛中投进的三分球总数的程序框图，则图中判断框应填________，输出的s=‎________．（注：框图中的赋值符号“‎=‎”也可以写成“‎←‎”或“：‎=‎”）‎ ‎12. 某单位‎200‎名职工的年龄分布情况如图，现要从中抽取‎40‎名职工作样本、用系统抽样法，将全体职工随机按‎1∼200‎编号，并按编号顺序平均分为‎40‎组（‎1∼5‎号，‎6∼10‎号，…，‎196∼200‎号）．若第‎5‎组抽出的号码为‎22‎，则第‎8‎组抽出的号码应是________．若用分层抽样方法，则‎40‎岁以下年龄段应抽取________人．‎ ‎13. 以点‎(2, -1)‎为圆心且与直线x+y=6‎相切的圆的方程是________．‎ ‎14. 选做题：若直线y=2+3t．x=1-2t，（t为参数）与直线‎4x+ky=1‎垂直，则常数k=‎________．‎ ‎15. 选做题：如图，点A、B、C是圆O上的点，且AB=4‎，‎∠ACB=‎‎30‎‎∘‎，则圆O的面积等于________．‎ 三、解答题（共6小题，满分80分）‎ ‎16. 已知向量a‎→‎‎=(sinθ,-2)‎与b‎→‎‎=(1,cosθ)‎互相垂直，其中θ∈(0,π‎2‎)‎．‎ ‎（1）求sinθ和cosθ的值；‎ ‎（2）若sin(θ-φ)=‎10‎‎10‎，0<φ<‎π‎2‎，求cosφ的值．‎ ‎17. 某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图‎(1)‎所示．墩的上半部分是正四棱锥P-EFGH，下半部分是长方体ABCD-EFGH．图‎(2)‎、图‎(3)‎分别是该标识墩的正（主）视图和俯视图．‎ ‎（1）请画出该安全标识墩的侧（左）视图；‎ ‎（2）求该安全标识墩的体积；‎ ‎（3）证明：直线BD⊥‎平面PEG．‎ 第17页 共20页 ◎ 第18页 共20页 ‎18. 随机抽取某中学甲乙两班各‎10‎名同学，测量他们的身高（单位：cm），获得身高数据的茎叶图如图．‎ ‎(1)‎根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高；‎ ‎(2)‎计算甲班的样本方差；‎ ‎(3)‎现从乙班这‎10‎名同学中随机抽取两名身高不低于‎173cm的同学，求身高为‎176cm的同学被抽中的概率．‎ ‎19. 已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为‎3‎‎2‎，两个焦点分别为F‎1‎和F‎2‎，椭圆G上一点到F‎1‎和F‎2‎的距离之和为‎12‎．圆Ck‎:x‎2‎+y‎2‎+2kx-4y-21=0(k∈R)‎的圆心为点Ak．‎ ‎（1）求椭圆G的方程 ‎（2）求‎△‎AkF‎1‎F‎2‎的面积 ‎（3）问是否存在圆Ck包围椭圆G？请说明理由．‎ ‎20. 已知点‎(1, ‎1‎‎2‎)‎是函数f(x)=ax(a>0‎，且a≠1)‎的图象上一点，等比数列‎{an}‎的前n项和为f(n)-c，数列‎{bn}(bn>0)‎的首项为c，且前n项和Sn满足Sn‎-Sn-1‎=Sn+Sn-1‎(n≥2)‎．‎ ‎（1）求数列‎{an}‎和‎{bn}‎的通项公式；‎ ‎（2）若数列‎{‎1‎bnbn+1‎}‎前n项和为Tn，问满足Tn‎>‎‎999‎‎2010‎的最小正整数n是多少？‎ ‎21. 已知二次函数y=g(x)‎的导函数的图象与直线y=2x平行，且y=g(x)‎在x=-1‎处取得极小值m-1(m≠0)‎．设f(x)=‎g(x)‎x．‎ ‎（1）若曲线y=f(x)‎上的点P到点Q(0, 2)‎的距离的最小值为‎2‎，求m的值；‎ ‎（2）k(k∈R)‎如何取值时，函数y=f(x)-kx存在零点，并求出零点．‎ 第17页 共20页 ◎ 第18页 共20页 参考答案与试题解析 ‎2009年广东省高考数学试卷（文科）‎ 一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）‎ ‎1.B ‎【解释】‎ 解：．由N={x|x‎2‎+x=0}‎，‎ 得N={-1, 0}‎．‎ ‎∵ M={-1, 0, 1}‎，‎ ‎∴ N⊂M.‎ 故选B．‎ ‎2.C ‎【解释】‎ 解：∵ 要使in；‎=1‎，‎ 则n必须是‎4‎的整数倍，‎ 在下列的选项中只有C符合题意，‎ 故选C ‎3.C ‎【解释】‎ 解：a‎→‎‎+b‎→‎=(0, 1+x‎2‎)‎，‎1+x‎2‎≠0‎，‎ 故a‎→‎‎+‎b‎→‎平行于y轴．‎ 故选C ‎4.D ‎【解释】‎ 解：∵ f(‎1‎‎2‎)=1‎，‎ ‎∴ f‎-1‎‎(1)=‎‎1‎‎2‎，‎ 由题意知a‎1-a‎=‎‎1‎‎2‎，‎ ‎∴ a=2‎，‎ y=ax-a(a>0‎‎，且a≠1)y=‎‎2‎x-2‎，‎ 故选D．‎ ‎5.B ‎【解释】‎ 设公比为q，由已知得a‎1‎q‎2‎‎⋅‎a‎1‎q‎8‎＝‎2(‎a‎1‎q‎4‎‎)‎‎2‎，‎ 即q‎2‎＝‎2‎，又因为等比数列‎{an}‎的公比为正数，‎ 所以q=‎‎2‎，故a‎1‎‎=a‎2‎q=‎1‎‎2‎=‎‎2‎‎2‎．‎ ‎6.D ‎【解释】‎ 解：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；如果这两条直线平行，可能得到两个平面相交，所以不正确．‎ ‎②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；这是判定定理，正确．‎ ‎③垂直于同一直线的两条直线相互平行；可能是异面直线．不正确．‎ ‎④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．正确．‎ 故选D．‎ ‎7.A ‎【解释】‎ 解：如图所示．在‎△ABC中，‎ 由正弦定理得：bsin‎30‎‎∘‎‎=‎6‎‎+‎‎2‎sin‎75‎‎∘‎=‎6‎‎+‎‎2‎sin(‎45‎‎∘‎+‎30‎‎∘‎)‎=4‎，‎ ‎∴ b=2‎．‎ 第17页 共20页 ◎ 第18页 共20页 故选A ‎8.D ‎【解释】‎ 解：f'(x)=(x-3)'ex+(x-3)(ex)'=(x-2)‎ex，‎ 求f(x)‎的单调递增区间，令f'(x)>0‎，‎ 解得x>2‎，‎ 故选D．‎ ‎9.A ‎【解释】‎ 解：由y=2cos‎2‎(x-π‎4‎)-1=cos(2x-π‎2‎)=sin2x，‎ ‎∴ T=π，且y=sin2x奇函数，即函数y=2cos‎2‎(x-π‎4‎)-1‎是奇函数．‎ 故选A．‎ ‎10.B ‎【解释】‎ 解：∵ 以A为起点，E为终点，每个城市经过且只经过一次，‎ 那么火炬传递的路线是中间三个位置的排列共有A‎3‎‎3‎‎=6‎种结果，‎ 列举出六种结果的路途长度选出最短的路途，‎ A→B→C→D→E‎，总长是‎26‎，‎ A→C→D→B→E‎，总长是‎21‎，‎ A→B→D→C→E‎，总长是‎28.6‎，‎ A→D→B→C→E‎，总长是‎26.6‎，‎ A→C→B→D→E‎，总长是‎22‎，‎ A→D→C→B→E‎，总长是‎23‎，‎ 总上可知最短的路径是‎21‎．‎ 故选B 二、填空题（共5小题，每小题5分，第14-15题，属选做题，满分25分）‎ ‎11.i≤6‎,‎a‎1‎‎+a‎2‎+a‎3‎+a‎4‎+a‎5‎+‎a‎6‎ ‎【解释】‎ 解：∵ 统计该‎6‎名队员在最近三场比赛中投进的三分球总数的程序框图 ‎∴ 要求a‎1‎‎+a‎2‎+a‎3‎+a‎4‎+a‎5‎+‎a‎6‎的和 由题意可知循环体要执行‎6‎次 所以图中判断框应填i≤6‎ 故答案为：i≤6‎，‎a‎1‎‎+a‎2‎+a‎3‎+a‎4‎+a‎5‎+‎a‎6‎ ‎12.‎37‎,‎‎20‎ ‎【解释】‎ 解：∵ 将全体职工随机按‎1∼200‎编号，并按编号顺序平均分为‎40‎组，‎ 由分组可知，抽号的间隔为‎5‎，‎ ‎∵ 第‎5‎组抽出的号码为‎22‎，‎ ‎∴ 第‎6‎组抽出的号码为‎27‎，第‎7‎组抽出的号码为‎32‎，第‎8‎组抽出的号码为‎37‎．‎ ‎40‎岁以下的年龄段的职工数为‎200×0.5=100‎，‎ 则应抽取的人数为‎40‎‎200‎‎×100=20‎（人）．‎ 故答案为：‎37‎；‎‎20‎ ‎13.‎‎(x-2‎)‎‎2‎+(y+1‎)‎‎2‎=‎‎25‎‎2‎ ‎【解释】‎ 解：将直线x+y=6‎化为x+y-6=0‎，‎ 圆的半径r=‎|2-1-6|‎‎1+1‎=‎‎5‎‎2‎，‎ 所以圆的方程为‎(x-2‎)‎‎2‎+(y+1‎)‎‎2‎=‎‎25‎‎2‎．‎ 第17页 共20页 ◎ 第18页 共20页 答案：‎‎(x-2‎)‎‎2‎+(y+1‎)‎‎2‎=‎‎25‎‎2‎ ‎14.‎‎-6‎ ‎【解释】‎ 解：直线y=2+3t．x=1-2t，（t为参数）‎ 消去参数t得：‎‎3x+2y-7=0‎ ‎∵ 直线‎3x+2y-7=0‎与直线‎4x+ky=1‎垂直 ‎∴ ‎(-‎3‎‎2‎)×(-‎4‎k)=-1‎解得：‎k=-6‎ 故答案为‎-6‎．‎ ‎15.‎‎16π ‎【解释】‎ 解：连接OA，OB，‎ ‎∵ ‎∠ACB=‎‎30‎‎∘‎，‎ ‎∴ ‎∠AoB=‎‎60‎‎∘‎，‎ ‎∴ ‎△AOB是一个等边三角形，‎ ‎∴ OA=AB=4‎，‎ ‎∴ ‎⊙O的面积是‎16π 故答案为‎16π 三、解答题（共6小题，满分80分）‎ ‎16.解：（1）∵ a‎→‎与b‎→‎互相垂直，则a‎→‎‎⋅b‎→‎=sinθ-2cosθ=0‎，‎ 即sinθ=2cosθ，代入sin‎2‎θ+cos‎2‎θ=1‎得sinθ=±‎2‎‎5‎‎5‎，cosθ=±‎‎5‎‎5‎，又θ∈(0,π‎2‎)‎，‎ ‎∴ ‎sinθ=‎2‎‎5‎‎5‎，cosθ=‎‎5‎‎5‎ ‎（2）∵ ‎0<φ<‎π‎2‎，‎0<θ<‎π‎2‎，‎ ‎∴ ‎-π‎2‎<θ-φ<‎π‎2‎，则cos(θ-φ)=‎1-sin‎2‎(θ-φ)‎=‎‎3‎‎10‎‎10‎，‎ ‎∴ cosφ=cos[θ-(θ-φ)]=cosθcos(θ-φ)+sinθsin(θ-φ)=‎‎2‎‎2‎．‎ ‎【解释】‎ 解：（1）∵ a‎→‎与b‎→‎互相垂直，则a‎→‎‎⋅b‎→‎=sinθ-2cosθ=0‎，‎ 即sinθ=2cosθ，代入sin‎2‎θ+cos‎2‎θ=1‎得sinθ=±‎2‎‎5‎‎5‎，cosθ=±‎‎5‎‎5‎，又θ∈(0,π‎2‎)‎，‎ ‎∴ ‎sinθ=‎2‎‎5‎‎5‎，cosθ=‎‎5‎‎5‎ ‎（2）∵ ‎0<φ<‎π‎2‎，‎0<θ<‎π‎2‎，‎ ‎∴ ‎-π‎2‎<θ-φ<‎π‎2‎，则cos(θ-φ)=‎1-sin‎2‎(θ-φ)‎=‎‎3‎‎10‎‎10‎，‎ ‎∴ cosφ=cos[θ-(θ-φ)]=cosθcos(θ-φ)+sinθsin(θ-φ)=‎‎2‎‎2‎．‎ ‎17.解：（1）侧视图同正视图：‎ ‎（2）该安全标识墩的体积为V=‎VP-EFGH ‎+VABCD-EFGH=‎1‎‎3‎×‎40‎‎2‎×60+‎40‎‎2‎×20‎ ‎=32000+32000=64000(cm‎3‎)‎‎．‎ ‎（3）证明：如图，连接EG、HF及BD，EG与 HF相交于O点，连接PO，‎ 由正四棱锥的性质可知，PO⊥‎平面EFGH，‎ ‎∴ PO⊥HF．又∵ EG⊥HF，‎ ‎∴ HF⊥‎平面PEG．‎ 又∵ BD // HF，∴ BD⊥‎平面PEG．‎ 第17页 共20页 ◎ 第18页 共20页 ‎【解释】‎ 解：（1）侧视图同正视图：‎ ‎（2）该安全标识墩的体积为V=‎VP-EFGH ‎+VABCD-EFGH=‎1‎‎3‎×‎40‎‎2‎×60+‎40‎‎2‎×20‎ ‎=32000+32000=64000(cm‎3‎)‎‎．‎ ‎（3）证明：如图，连接EG、HF及BD，EG与 HF相交于O点，连接PO，‎ 由正四棱锥的性质可知，PO⊥‎平面EFGH，‎ ‎∴ PO⊥HF．又∵ EG⊥HF，‎ ‎∴ HF⊥‎平面PEG．‎ 又∵ BD // HF，∴ BD⊥‎平面PEG．‎ ‎18.解：‎(1)‎由茎叶图可知：甲班身高集中于‎160∼169‎之间，而乙班身高集中于‎170∼180‎之间．‎ 因此乙班平均身高高于甲班 ‎(2)‎x‎¯‎ ‎=(158+162+163+168+168+170‎ ‎+171+179+179+182)÷10‎ ‎=170‎‎，‎ 甲班的样本方差为 ‎1‎‎10‎‎[(158-170‎)‎‎2‎+(162-170‎)‎‎2‎+(163-170‎)‎‎2‎+(168-170‎‎)‎‎2‎ ‎+(168-170‎)‎‎2‎+(170-170‎)‎‎2‎+(171-170‎‎)‎‎2‎ ‎+(179-170‎)‎‎2‎+(179-170‎)‎‎2‎+(182-170‎)‎‎2‎]=57.2‎‎．‎ ‎(3)‎设身高为‎176cm的同学被抽中的事件为A；‎ 从乙班‎10‎名同学中抽中两名身高不低于‎173cm的同学有：‎‎(181, 173)(181, 176)‎ ‎(181, 178)(181, 179)(179, 173)(179, 176)(179, 178)(178, 173)‎ ‎(178, 176)(176, 173)‎共‎10‎个基本事件，而事件A含有‎4‎个基本事件．‎ ‎∴ P(A)=‎4‎‎10‎=‎‎2‎‎5‎．‎ ‎【解释】‎ 解：‎(1)‎由茎叶图可知：甲班身高集中于‎160∼169‎之间，而乙班身高集中于‎170∼180‎之间．‎ 因此乙班平均身高高于甲班 第17页 共20页 ◎ 第18页 共20页 ‎(2)‎x‎¯‎ ‎=(158+162+163+168+168+170‎ ‎+171+179+179+182)÷10‎ ‎=170‎‎，‎ 甲班的样本方差为 ‎1‎‎10‎‎[(158-170‎)‎‎2‎+(162-170‎)‎‎2‎+(163-170‎)‎‎2‎+(168-170‎‎)‎‎2‎ ‎+(168-170‎)‎‎2‎+(170-170‎)‎‎2‎+(171-170‎‎)‎‎2‎ ‎+(179-170‎)‎‎2‎+(179-170‎)‎‎2‎+(182-170‎)‎‎2‎]=57.2‎‎．‎ ‎(3)‎设身高为‎176cm的同学被抽中的事件为A；‎ 从乙班‎10‎名同学中抽中两名身高不低于‎173cm的同学有：‎‎(181, 173)(181, 176)‎ ‎(181, 178)(181, 179)(179, 173)(179, 176)(179, 178)(178, 173)‎ ‎(178, 176)(176, 173)‎共‎10‎个基本事件，而事件A含有‎4‎个基本事件．‎ ‎∴ P(A)=‎4‎‎10‎=‎‎2‎‎5‎．‎ ‎19.解：（1）设椭圆G的方程为：x‎2‎a‎2‎‎+y‎2‎b‎2‎=1(a>b>0)‎，半焦距为c，‎ 则‎2a=12‎ca‎=‎‎3‎‎2‎，解得a=6‎c=3‎‎3‎，‎ ‎∴ ‎b‎2‎‎=a‎2‎-c‎2‎=36-27=9‎ 所以椭圆G的方程为：x‎2‎‎36‎‎+y‎2‎‎9‎=1‎．‎ ‎（2）由圆Ck的方程知，圆心AK的坐标为‎(-k, 2)‎，‎ ‎∴ S‎△‎AKF‎1‎F‎2‎‎=‎1‎‎2‎×F‎1‎F‎2‎×2=‎1‎‎2‎×6‎3‎×2=6‎‎3‎．‎ ‎（3）若k≥0‎，由‎6‎‎2‎‎+‎0‎‎2‎+12k-0-21=15+12k>0‎可知点‎(6, 0)‎在圆Ck外，‎ 若k<0‎，由‎(-6‎)‎‎2‎+‎0‎‎2‎-12k-0-21=15-12k>0‎可知点‎(-6, 0)‎在圆Ck外；‎ ‎∴ 不论k为何值圆Ck都不能包围椭圆G．‎ ‎【解释】‎ 解：（1）设椭圆G的方程为：x‎2‎a‎2‎‎+y‎2‎b‎2‎=1(a>b>0)‎，半焦距为c，‎ 则‎2a=12‎ca‎=‎‎3‎‎2‎，解得a=6‎c=3‎‎3‎，‎ ‎∴ ‎b‎2‎‎=a‎2‎-c‎2‎=36-27=9‎ 所以椭圆G的方程为：x‎2‎‎36‎‎+y‎2‎‎9‎=1‎．‎ ‎（2）由圆Ck的方程知，圆心AK的坐标为‎(-k, 2)‎，‎ ‎∴ S‎△‎AKF‎1‎F‎2‎‎=‎1‎‎2‎×F‎1‎F‎2‎×2=‎1‎‎2‎×6‎3‎×2=6‎‎3‎．‎ ‎（3）若k≥0‎，由‎6‎‎2‎‎+‎0‎‎2‎+12k-0-21=15+12k>0‎可知点‎(6, 0)‎在圆Ck外，‎ 若k<0‎，由‎(-6‎)‎‎2‎+‎0‎‎2‎-12k-0-21=15-12k>0‎可知点‎(-6, 0)‎在圆Ck外；‎ ‎∴ 不论k为何值圆Ck都不能包围椭圆G．‎ ‎20.解：（1）∵ ‎f(1)=a=‎‎1‎‎2‎ ‎∴ f(x)=(‎‎1‎‎2‎‎)‎x，‎ ‎∴ a‎1‎‎=f(1)-c=‎1‎‎2‎-c，‎ ‎∴ a‎2‎‎=[f(2)-c]-[f(1)-c]=-‎‎1‎‎4‎，‎a‎3‎‎=[f(3)-c]-[f(2)-c]=-‎‎1‎‎8‎ 又数列‎{an}‎成等比数列，‎ a‎1‎‎=a‎2‎‎2‎a‎3‎=-‎‎1‎‎2‎‎，‎ ‎∵ ‎a‎1‎‎=‎1‎‎2‎-c ‎∴ ‎-‎1‎‎2‎=‎1‎‎2‎-c，∴ ‎c=1‎ 又公比q=a‎2‎a‎1‎=‎‎1‎‎2‎ 所以an‎=-‎1‎‎2‎(‎1‎‎2‎‎)‎n-1‎=-(‎‎1‎‎2‎‎)‎n，n∈N；‎ ‎∵ ‎Sn‎-Sn-1‎=(Sn+Sn-1‎)(Sn-Sn-1‎)=Sn+Sn-1‎(n≥2)‎ 又bn‎>0‎，Sn‎>0‎，∴ Sn‎-Sn-1‎=1‎；‎ ‎∴ 数列‎{Sn}‎构成一个首项为‎1‎公差为‎1‎的等差数列，‎ 第17页 共20页 ◎ 第18页 共20页 ‎∴ Sn‎=1+(n-1)×1=n，‎Sn‎=‎n‎2‎ 当n≥2‎，bn‎=Sn-Sn-1‎=n‎2‎-(n-1‎)‎‎2‎=2n-1‎；‎ 又b‎1‎‎=c=1‎适合上式，∴ bn‎=2n-1(n∈N)‎；‎ ‎（2）‎Tn‎=‎1‎b‎1‎b‎2‎+‎1‎b‎2‎b‎3‎+...+‎1‎bnbn+1‎=‎1‎‎1×3‎+‎1‎‎3×5‎+‎1‎‎5×7‎+…+‎‎1‎‎(2n-1)×(2n+1)‎ ‎=‎1‎‎2‎(1-‎1‎‎3‎)+‎1‎‎2‎(‎1‎‎3‎-‎1‎‎5‎)+‎1‎‎2‎(‎1‎‎5‎-‎1‎‎7‎)+...+‎1‎‎2‎(‎1‎‎2n-1‎-‎1‎‎2n+1‎)=‎1‎‎2‎(1-‎1‎‎2n+1‎)=‎n‎2n+1‎ 由Tn‎=n‎2n+1‎>‎‎999‎‎2010‎，得n>‎‎333‎‎4‎ 满足Tn‎>‎‎999‎‎2010‎的最小正整数为‎84‎．‎ ‎【解释】‎ 解：（1）∵ ‎f(1)=a=‎‎1‎‎2‎ ‎∴ f(x)=(‎‎1‎‎2‎‎)‎x，‎ ‎∴ a‎1‎‎=f(1)-c=‎1‎‎2‎-c，‎ ‎∴ a‎2‎‎=[f(2)-c]-[f(1)-c]=-‎‎1‎‎4‎，‎a‎3‎‎=[f(3)-c]-[f(2)-c]=-‎‎1‎‎8‎ 又数列‎{an}‎成等比数列，‎ a‎1‎‎=a‎2‎‎2‎a‎3‎=-‎‎1‎‎2‎‎，‎ ‎∵ ‎a‎1‎‎=‎1‎‎2‎-c ‎∴ ‎-‎1‎‎2‎=‎1‎‎2‎-c，∴ ‎c=1‎ 又公比q=a‎2‎a‎1‎=‎‎1‎‎2‎ 所以an‎=-‎1‎‎2‎(‎1‎‎2‎‎)‎n-1‎=-(‎‎1‎‎2‎‎)‎n，n∈N；‎ ‎∵ ‎Sn‎-Sn-1‎=(Sn+Sn-1‎)(Sn-Sn-1‎)=Sn+Sn-1‎(n≥2)‎ 又bn‎>0‎，Sn‎>0‎，∴ Sn‎-Sn-1‎=1‎；‎ ‎∴ 数列‎{Sn}‎构成一个首项为‎1‎公差为‎1‎的等差数列，‎ ‎∴ Sn‎=1+(n-1)×1=n，‎Sn‎=‎n‎2‎ 当n≥2‎，bn‎=Sn-Sn-1‎=n‎2‎-(n-1‎)‎‎2‎=2n-1‎；‎ 又b‎1‎‎=c=1‎适合上式，∴ bn‎=2n-1(n∈N)‎；‎ ‎（2）‎Tn‎=‎1‎b‎1‎b‎2‎+‎1‎b‎2‎b‎3‎+...+‎1‎bnbn+1‎=‎1‎‎1×3‎+‎1‎‎3×5‎+‎1‎‎5×7‎+…+‎‎1‎‎(2n-1)×(2n+1)‎ ‎=‎1‎‎2‎(1-‎1‎‎3‎)+‎1‎‎2‎(‎1‎‎3‎-‎1‎‎5‎)+‎1‎‎2‎(‎1‎‎5‎-‎1‎‎7‎)+...+‎1‎‎2‎(‎1‎‎2n-1‎-‎1‎‎2n+1‎)=‎1‎‎2‎(1-‎1‎‎2n+1‎)=‎n‎2n+1‎ 由Tn‎=n‎2n+1‎>‎‎999‎‎2010‎，得n>‎‎333‎‎4‎ 满足Tn‎>‎‎999‎‎2010‎的最小正整数为‎84‎．‎ ‎21.解：（1）依题可设g(x)=a(x+1‎)‎‎2‎+m-1(a≠0)‎，则g‎'‎‎(x)=2a(x+1)=2ax+2a；‎ 又g‎'‎‎(x)‎的图象与直线y=2x平行∴ ‎2a=2‎∴ ‎a=1‎ ‎∴ g(x)=(x+1‎)‎‎2‎+m-1=x‎2‎+2x+m，f(x)=g(x)‎x=x+mx+2‎，‎ 设P(xo, yo)‎，则‎|PQ‎|‎‎2‎=x‎0‎‎2‎+(y‎0‎-2‎)‎‎2‎=x‎0‎‎2‎+(x‎0‎+mx‎0‎‎)‎‎2‎=2x‎0‎‎2‎+m‎2‎x‎0‎‎2‎+2m≥2‎2‎m‎2‎+2m=2‎2‎|m|+2m 当且仅当‎2x‎0‎‎2‎=‎m‎2‎x‎0‎‎2‎时，‎|PQ‎|‎‎2‎取得最小值，即‎|PQ|‎取得最小值‎2‎ 当m>0‎时，‎(2‎2‎+2)m‎=‎‎2‎解得m=‎2‎-1‎ 当m<0‎时，‎(-2‎2‎+2)m‎=‎‎2‎解得m=-‎2‎-1‎ ‎（2）由y=f(x)-kx=(1-k)x+mx+2=0(x≠0)‎，得‎(1-k)x‎2‎+2x+m=0(*)‎ 当k=1‎时，方程‎(*)‎有一解x=-‎m‎2‎，函数y=f(x)-kx有一零点x=-‎m‎2‎；‎ 当k≠1‎时，方程‎(*)‎有二解‎⇔△=4-4m(1-k)>0‎，‎ 若m>0‎，k>1-‎‎1‎m，‎ 函数y=f(x)-kx有两个零点x=‎‎-2±‎‎4-4m(1-k)‎‎2(1-k)‎，即x=‎‎1±‎‎1-m(1-k)‎k-1‎；‎ 若m<0‎，k<1-‎‎1‎m，‎ 函数y=f(x)-kx有两个零点x=‎‎-2±‎‎4-4m(1-k)‎‎2(1-k)‎，即x=‎‎1±‎‎1-m(1-k)‎k-1‎；‎ 第17页 共20页 ◎ 第18页 共20页 当k≠1‎时，方程‎(*)‎有一解‎⇔△=4-4m(1-k)=0‎，k=1-‎‎1‎m，‎ 函数y=f(x)-kx有一零点x=‎1‎k-1‎=-m 综上，当k=1‎时，函数y=f(x)-kx有一零点x=-‎m‎2‎；‎ 当k>1-‎1‎m(m>0)‎，或k<1-‎1‎m(m<0)‎时，‎ 函数y=f(x)-kx有两个零点x=‎‎1±‎‎1-m(1-k)‎k-1‎；‎ 当k=1-‎‎1‎m时，函数y=f(x)-kx有一零点x=‎1‎k-1‎=-m．‎ ‎【解释】‎ 解：（1）依题可设g(x)=a(x+1‎)‎‎2‎+m-1(a≠0)‎，则g‎'‎‎(x)=2a(x+1)=2ax+2a；‎ 又g‎'‎‎(x)‎的图象与直线y=2x平行∴ ‎2a=2‎∴ ‎a=1‎ ‎∴ g(x)=(x+1‎)‎‎2‎+m-1=x‎2‎+2x+m，f(x)=g(x)‎x=x+mx+2‎，‎ 设P(xo, yo)‎，则‎|PQ‎|‎‎2‎=x‎0‎‎2‎+(y‎0‎-2‎)‎‎2‎=x‎0‎‎2‎+(x‎0‎+mx‎0‎‎)‎‎2‎=2x‎0‎‎2‎+m‎2‎x‎0‎‎2‎+2m≥2‎2‎m‎2‎+2m=2‎2‎|m|+2m 当且仅当‎2x‎0‎‎2‎=‎m‎2‎x‎0‎‎2‎时，‎|PQ‎|‎‎2‎取得最小值，即‎|PQ|‎取得最小值‎2‎ 当m>0‎时，‎(2‎2‎+2)m‎=‎‎2‎解得m=‎2‎-1‎ 当m<0‎时，‎(-2‎2‎+2)m‎=‎‎2‎解得m=-‎2‎-1‎ ‎（2）由y=f(x)-kx=(1-k)x+mx+2=0(x≠0)‎，得‎(1-k)x‎2‎+2x+m=0(*)‎ 当k=1‎时，方程‎(*)‎有一解x=-‎m‎2‎，函数y=f(x)-kx有一零点x=-‎m‎2‎；‎ 当k≠1‎时，方程‎(*)‎有二解‎⇔△=4-4m(1-k)>0‎，‎ 若m>0‎，k>1-‎‎1‎m，‎ 函数y=f(x)-kx有两个零点x=‎‎-2±‎‎4-4m(1-k)‎‎2(1-k)‎，即x=‎‎1±‎‎1-m(1-k)‎k-1‎；‎ 若m<0‎，k<1-‎‎1‎m，‎ 函数y=f(x)-kx有两个零点x=‎‎-2±‎‎4-4m(1-k)‎‎2(1-k)‎，即x=‎‎1±‎‎1-m(1-k)‎k-1‎；‎ 当k≠1‎时，方程‎(*)‎有一解‎⇔△=4-4m(1-k)=0‎，k=1-‎‎1‎m，‎ 函数y=f(x)-kx有一零点x=‎1‎k-1‎=-m 综上，当k=1‎时，函数y=f(x)-kx有一零点x=-‎m‎2‎；‎ 当k>1-‎1‎m(m>0)‎，或k<1-‎1‎m(m<0)‎时，‎ 函数y=f(x)-kx有两个零点x=‎‎1±‎‎1-m(1-k)‎k-1‎；‎ 当k=1-‎‎1‎m时，函数y=f(x)-kx有一零点x=‎1‎k-1‎=-m．‎ 第17页 共20页 ◎ 第18页 共20页