江苏省无锡市天一中学2018-2019学年高一下学期期中考试数学（平行班）试题

江苏省无锡市天一中学2018-2019学年高一下学期期中考试数学（平行班）试题

www.ks5u.com 江苏省天一中学2020届髙二下学期期末考试数学试卷 ‎（理科平行班）‎ 一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分.不需写出解答过程， 请把答案写在答题纸的指定位置上）‎ ‎1.已知集合,则_____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接进行交集的运算即可．‎ ‎【详解】解：∵A＝{2，3，4}，B＝{3，5}；‎ ‎∴A∩B＝{3}．‎ 故答案为：{3}．‎ ‎【点睛】考查列举法的定义以及交集的运算，属于基础题.‎ ‎2.在极坐标系中，点到直线的距离为_____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 把点的极坐标化为直角坐标，把直线的极坐标方程化为直角坐标方程，利用点到直线的距离公式求出A到直线的距离．‎ ‎【详解】解：点A（2，）的直角坐标为（0，2），直线ρ（cosθ+sinθ）＝6的直角坐标方程为 x+y﹣6＝0，利用点到直线的距离公式可得，点A（2，）到直线ρ（cosθ+sinθ）＝6的距离为 ，‎ 故答案为 .‎ ‎【点睛】本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，点到直线的距离公式的应用，属于基础题．‎ ‎3.若“”是“”的必要不充分条件，则的取值范围是________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题，“”是“”的必要不充分条件，则是的真子集，可得答案.‎ ‎【详解】因为“”是“”的必要不充分条件，‎ 所以是的真子集，所以，‎ 故答案为.‎ ‎【点睛】本题考查了不要不充分条件，属于基础题.‎ ‎4.函数在点处切线的斜率为______‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求得函数的导数，计算得，即可得到切线的斜率．‎ ‎【详解】由题意，函数，则，所以，即切线的斜率为，‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题主要考查了利用导数求解曲线在某点处的切线的斜率，其中解答中熟记导数的几何意义的应用，以及准确求解函数的导数是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．‎ ‎5.从2个男生、3个女生中随机抽取2人，则抽中的2人不全是女生的概率是____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 基本事件总数n＝＝10，抽中的2人不全是女生包含的基本事件个数m＝＝7，由此能求出抽中的2人不全是女生的概率．‎ ‎【详解】解：从2个男生、3个女生中随机抽取2人，‎ 基本事件总数n＝＝10，‎ 抽中的2人不全是女生包含的基本事件个数m＝＝7，‎ ‎∴抽中的2人不全是女生的概率p＝．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．‎ ‎6.将函数的图象向右平移个单位后,得到函数的图象，则的值是____.‎ ‎【答案】0‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律求得g（x）的解析式，再代入后可得g（）的值．‎ ‎【详解】解：将函数f（x）＝sin（2x+π）的图象向右平移个单位后，‎ 得到函数g（x）＝sin[2（x﹣）+π]＝cos2x的图象，‎ 则g（）＝cos（2×）＝0，‎ 故答案为：0．‎ ‎【点睛】本题主要考查诱导公式的应用，函数y＝Asin（ωx+φ ‎）的图象平移变换，属于基础题．‎ ‎7.函数在上的单调减区间为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先根据两角和与差的公式化简，然后利用正弦函数的单调递减区间可得．‎ ‎【详解】解：∵y＝2sin（x+），‎ 由+2kπ≤x+≤+2kπ，k∈Z．‎ 得+2kπ≤x≤+2kπ，k∈Z，‎ 又x∈[0，π]，∴x∈，‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题考查了正弦函数的单调性，考查了三角函数辅助角公式，属中档题．‎ ‎8.己知函数是定义在R上的周期为2的奇函数，时，，的值是____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，由函数的奇偶性与周期性分析可得f（﹣）＝f（﹣）＝﹣f（），结合解析式求出f（）的值，又因为f（2019）＝f（1+2×1009）＝f（1）＝0；据此分析可得答案．‎ ‎【详解】解：根据题意，函数f（x）是定义在R上的周期为2的奇函数，‎ 则f（﹣）＝f（﹣）＝﹣f（），‎ f（2019）＝f（1+2×1009）＝f（1），‎ 又由函数f（x）是定义在R上的周期为2的奇函数，则有f（1）＝f（﹣1）且f（1）＝﹣f（﹣1），故f（1）＝0，则f（2019）＝0‎ ‎，又由0＜x＜l时，f（x）＝4x，则f（）＝＝2，则f（﹣）＝﹣f（）＝﹣2；‎ 则＝﹣2；‎ 故答案为：﹣2‎ ‎【点睛】本题考查函数的周期性与函数值的计算，属于基础题．‎ ‎9.己知矩阵，若矩阵C满足，则矩阵C所有特征值之和为____.‎ ‎【答案】5‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 本题根据矩阵乘法运算解出矩阵C，再依据特征多项式求出特征值，即可得到所有特征值之和．‎ ‎【详解】解：由题意，可设C＝，‎ 则有•＝．‎ 即，解得．‎ ‎∴C＝．‎ ‎∵f（λ）＝＝（λ﹣1）（λ﹣4）+2＝λ2﹣5λ+6＝（λ﹣2）（λ﹣3）＝0，‎ ‎∴特征值λ1＝2，λ2＝3．‎ ‎∴λ1+λ2＝2+3＝5．‎ 故答案为：5．‎ ‎【点睛】本题主要考查矩阵乘法运算及依据特征多项式求出特征值，本题不难，但有一定综合性．本题属基础题．‎ ‎10.已知，则 的值是_____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由sin（x+）的值，利用同角三角函数间的基本关系求出cos2（x+）的值，将所求式子的第一项中的角变形为π-（x+），第二项中的角变形为﹣（x+），分别利用诱导公式化简后，将各自的值代入即可求出值．‎ ‎【详解】解：∵sin（x+）＝，‎ ‎ ‎ ‎= ‎ ‎= ‎ ‎= ‎ ‎= ‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】此题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握诱导公式，灵活变换角度是解本题的关键，属于基础题.‎ ‎11.已知函数 ,若对任意,存在,，则实数的取值范围为_____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用导数求函数f（x）在（﹣1，1）上的最小值，把对任意x1∈（﹣1，1），存在x2∈（3，4），f（x1）≥g（x2）转化为g（x）在（3，4）上的最小值小于等于1有解．‎ ‎【详解】解：由f（x）＝ex﹣x，得f′（x）＝ex﹣1，‎ 当x∈（﹣1，0）时，f′（x）＜0，当x∈（0，1）时，f′（x）＞0，‎ ‎∴f（x）在（﹣1，0）上单调递减，在（0，1）上单调递增，‎ ‎∴f（x）min＝f（0）＝1．‎ 对任意x1∈（﹣1，1），存在x2∈（3，4），f（x1）≥g（x2），‎ 即g（x）在（3，4）上的最小值小于等于1，‎ 函数g（x）＝x2﹣bx+4的对称轴为x＝．‎ 当≤3，即b≤6时，g（x）在（3，4）上单调递增，g（x）＞g（3）＝13﹣3b，‎ 由13﹣3b≤1，得b≥4，∴4≤b≤6；‎ 当≥4，即b≥8时，g（x）在（3，4）上单调递减，g（x）＞g（4）＝20﹣4b，‎ 由20﹣4b≤1，得b≥，∴b≥8；‎ 当3＜＜4，即6＜b＜8时，g（x）在（3，4）上先减后增，，‎ 由≤1，解得或b，∴6＜b＜8．‎ 综上，实数b的取值范围为[4，+∞）．‎ 故答案为：[4，+∞）．‎ ‎【点睛】本题考查函数的导数的应用，函数的单调性以及最值的求法，考查分类讨论思想以及转化思想的应用，考查计算能力，是中档题．‎ ‎12.已知函数，若且，则的取值范围是___________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 作出函数的图象，如图所示．‎ ‎∵时，，∴，即，则，∴，且，∴，即的取值范围是，故答案为.‎ ‎13.用长度分别为的四根木条围成一个平面四边形，则该平面四边形面积的最大值是____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ 在四边形ABCD中，设AB＝a，BC＝b，CD＝c，DA＝d，A+C＝2α，利用余弦定理可得 SABCD2+（（a2+d2﹣b2﹣c2）2＝（ad+bc）2﹣abcdcos2α（ad+bc）2，设a＝3，b＝4，c＝5，d＝6，代入计算可得所求最大值．‎ ‎【详解】在四边形ABCD中，设AB＝a，BC＝b，CD＝c，DA＝d，A+C＝2α，‎ 由SABCD＝S△BAD+S△BCD＝adsinA+bcsinC，①‎ 在△ABD中，BD2＝a2+d2﹣2adcosA，‎ 在△BCD中，BD2＝b2+c2﹣2bccosC，‎ 所以有a2+d2﹣b2﹣c2＝2adcosA﹣2bccosC，‎ ‎（a2+d2﹣b2﹣c2）＝adcosA﹣bccosC，②‎ ‎①2+②2可得SABCD2+（（a2+d2﹣b2﹣c2）2‎ ‎＝（a2d2sin2A+b2c2sin2C+2abcdsinAsinC）+（a2d2cos2A+b2c2cos2C﹣2abcdcosAcosC）‎ ‎＝ [a2d2+b2c2﹣2abcdcos（A+C）]＝ [（ad+bc）2﹣2abcd﹣2abcdcos2α]‎ ‎＝（ad+bc）2﹣abcdcos2α（ad+bc）2．‎ 当α＝90°，即四边形为圆内接四边形，此时cosα＝0，‎ SABCD取得最大值为．‎ 由题意可设a＝3，b＝4，c＝5，d＝6‎ 则该平面四边形面积的最大值为S＝6（cm2），‎ 故答案为：6．‎ ‎【点睛】本题考查四边形的面积的最值求法，运用三角形的面积公式和余弦定理，以及化简变形，得到四边形为圆内接四边形时面积取得最大值，是解题的关键，属于难题．‎ ‎14.在中，若，则的最大值为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先由题得，再化简得=，再利用三角函数的图像和性质求出最大值.‎ ‎【详解】在△ABC中，有,‎ 所以=‎ ‎=,当即时取等.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题主要考查三角恒等变换和三角函数图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解能力掌握水平.解题的关键是三角恒等变换.‎ 二、解答题（本大题共6小题，共计90分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）‎ ‎15.（1）求直线在矩阵对应变换作用下的直线的方程；‎ ‎（2）在平面直角坐标系中，已知曲线以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为，求曲线C与直线交点的极坐标.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）设直线上任意一点，在矩阵M对应变换作用下的点，然后矩阵的变换列出关系式，代入原直线方程即可求出变换后的直线.‎ ‎（2）将曲线C和直线方程转化为直角坐标系下直角坐标方程，求出交点坐标，然后再转化为极坐标即可.‎ ‎【详解】（1）设直线上任意一点，在矩阵M对应变换作用下的点 则，所以，解得.‎ 因为点在直线上，‎ 所以，即，‎ 所以变换后的直线的方程为.‎ ‎（2）已知曲线（α为参数），‎ 转换为直角坐标方程为：， ‎ 直线的极坐标方程为．‎ 转换为直角坐标方程为：.‎ 由，解得：或 转换为极坐标为.‎ ‎【点睛】本题考查矩阵变换公式和点的坐标变换，考查极坐标与直角坐标的互换，属于基础题.‎ ‎16.甲、乙两位同学进入新华书店购买数学课外阅读书籍，经过筛选后，他们都对 三种书籍有购买意向，已知甲同学购买书籍的概率分别为,乙同学购买书籍的概率分别为,假设甲、乙是否购买三种书籍相互独立.‎ ‎（1）求甲同学购买3种书籍的概率；‎ ‎（2）设甲、乙同学购买2种书籍的人数为,求的概率分布列和数学期望.‎ ‎【答案】（1）；（2）分布列见解析，.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）这是相互独立事件，所以甲购买书籍的概率直接相乘即可.（2）基本事件为甲购买两本书和乙购买两本书的概率，所以先求出基本事件的概率，然后再求分布列.‎ ‎【详解】（1）记“甲同学购买3种书籍”为事件A，则.‎ 答：甲同学购买3种书籍的概率为.‎ ‎（2）设甲、乙同学购买2种书籍的概率分别为，.‎ 则，‎ ‎，‎ 所以，所以.‎ ‎，，‎ ‎.‎ 所以X的概率分布为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P ‎.‎ 答：所求数学期望为.‎ ‎【点睛】本题考查相互独立事件的概率，考查二项分布独立重复事件的概率的求法，解题的关键是找出基本事件的概率，属于中档题.‎ ‎17.如图，在直三棱柱中，，分别是的中点，且.‎ ‎（1）求直线与所成角的大小；‎ ‎（2）求直线与平面所成角的正弦值.‎ ‎【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：由已知有AC、BC、CC1两两互相垂直，故可分别以、、所在直线为轴建立空间直角坐标系.然后由已知就可写出所需各点的空间坐标．（1）由此就可写出向量的坐标，然后再由两向量的夹角公式：求出这两向量的夹角的余弦值，最后转化为对应两直线的夹角大小；只是应该注意两直线的夹角的取值范围是，而两向量的夹角的取值范围是；所以求出两向量的夹角的余弦值后取绝对值才是两直线的夹角的余弦值；（2）由中点坐标公式可求得点Ｅ的坐标，进而就可写出向量的坐标，再设平面的一个法向量为,由,就可求出平面 的一个法向量，从而就可求得这两向量夹角的余弦值，注意直线与平面所成的角的正弦值就等于直线的方向向量与平面法向量夹角的余弦值．‎ 试题解析：解：分别以、、所在直线为轴建立空间直角坐标系.‎ 则由题意可得：,,,,,,‎ 又分别是的中点，,. 3分 ‎（1）因为，，‎ 所以， 7分 直线与所成角的大小为. 8分 ‎（2）设平面的一个法向量为,由,得,‎ 可取， 10分 又，所以， 13分 直线与平面所成角的正弦值为. 14分 考点：１．异面直线所成的角；２．直线与平面所成的角．‎ ‎18.在中，，，分别为角，，所对的边，且，.‎ ‎（Ⅰ）若，求的面积；‎ ‎（Ⅱ）若为锐角三角形，求的取值范围.‎ ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（I）运用正弦的和公式，计算A角大小，结合余弦定理，计算出b，结合三角形面积计算公式，即可。（II）运用正弦定理处理，即可。‎ ‎【详解】解：（Ⅰ）∵，由正弦定理得，‎ ‎，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∵，∴，‎ ‎∴，∵，∴.‎ 由余弦定理得：，‎ ‎，，∴（负值舍去），‎ ‎∴.‎ 法二：由余弦定理得，，‎ ‎∴，‎ ‎∴，∵，‎ 由余弦定理得：，‎ ‎，，∴（负值舍去），‎ ‎∴.‎ ‎（Ⅱ）由正弦定理得：，‎ ‎.‎ ‎∵是锐角三角形，∴，‎ ‎，，‎ ‎∴.‎ ‎【点睛】本小题主要考查正弦定理、余弦定理及三角恒等变换等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想等，考查应用意识.‎ ‎19.某企业生产一种产品，根据经验，其次品率与日产量 （万件）之间满足关系, （其中为常数，且，已知每生产1万件合格的产品以盈利2万元，但每生产1万件次品将亏损1万元（注:次品率=次品数/生产量， 如表示每生产10件产品，有1件次品，其余为合格品）.‎ ‎（1）试将生产这种产品每天的盈利额 （万元）表示为日产量 （万件）的函数；‎ ‎（2）当日产量为多少时，可获得最大利润?‎ ‎【答案】（1）；（2）见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）运用每天的赢利为P（x）＝日产量（x）×正品率（1﹣Q）×2﹣日产量（x）×次品率（Q）×1，整理即可得到P（x）与x的函数式；‎ ‎（2）当a＜x≤11时，求得P（x）的最大值；当1≤x≤a时，设12﹣x＝t，利用基本不等式可得x＝9时，等号成立，故可分类讨论得：当1＜a＜3时，当x＝11时，取得最大利润； 3≤a＜9时，运用复合函数的单调性可得当x＝a时取得最大利润；当9≤a≤11‎ 时，当日产量为9万件时，取得最大利润．‎ ‎【详解】（1）当时，，‎ ‎∴.‎ 当时，，‎ ‎∴.‎ 综上，日盈利额（万元）与日产量x（万件）的函数关系式为 ‎，（其中a为常数，且）.‎ ‎（2）当时，，其最大值为55万元.‎ 当时，，设，则，‎ 此时，，‎ 显然，当且仅当，即时，有最大值，为13.5万元.‎ 令，得，‎ 解得（舍去）或，‎ 则（i）当时，日产量为11万件时，可获得最大利润5.5万元.‎ ‎（ii）当时，时，‎ 函数可看成是由函数与复合而成的.‎ 因为，所以，故在上为减函数 又在上为减函数，所以在上为增函数 故当日产量为a万件时，可获得最大利润万元.‎ ‎（iii）当时，日产量为9万件时，可获得最大利润13.5万元.‎ ‎【点睛】本题考查利润函数模型的应用，并且利用基本不等式求得函数的最值问题，也考查分类讨论思想方法，是难题．‎ ‎20.已知函数.‎ ‎（1）当a=2，求函数的极值；‎ ‎（2）若函数有两个零点，求实数a的取值范围.‎ ‎【答案】（1）见解析；(2) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）代入a的值，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；‎ ‎（2）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，结合函数的零点个数确定a的范围即可．‎ ‎【详解】（1）当a=2时，，令，解得x=1. ‎ 列表：‎ x ‎1‎ ‎—‎ ‎0‎ ‎+‎ 极小值 所以，当x=1时，有极小值，没有极大值 ‎（2）①因为. 所以，.‎ 当时，，‎ 所以在上单调递增，只有一个零点，不合题意， ‎ 当时，由得，由得，‎ 所以在上单调递减，在上单调递增，‎ 所以在处取得极小值，即为最小值.‎ ‎1°当时，在上单调递减，在上单调递增，‎ 只有一个零点，不合题意； ‎ ‎2°当时，，故，最多有两个零点.‎ 注意到，令,‎ 取，使得，下面先证明；‎ 设，令，解得.‎ 列表 x ‎—‎ ‎0‎ ‎+‎ 极小值 所以，当，有极小值.‎ 所以，故，即.‎ 因此，根据零点存在性定理知，在上必存在一个零点，‎ 又x=1也是的一个零点，则有两个相异的零点，符合题意 ‎3°当时，，故，最多有两个零点.‎ 注意到，取，‎ 则 ‎，‎ 因此，根据零点存在性定理知，在上必存在一个零点，‎ 又x=1也是的一个零点，则有两个相异的零点，符合题意.‎ 综上所述，实数a的取值范围是.‎ ‎【点睛】本题考查了函数的单调性，最值及零点问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．‎ ‎ ‎