高考数学一轮复习核心素养测评六十五12-2古典概型几何概型文含解析北师大版

高考数学一轮复习核心素养测评六十五12-2古典概型几何概型文含解析北师大版

核心素养测评六十五　古典概型、几何概型 ‎(30分钟　60分)‎ 一、选择题(每小题5分,共25分)‎ ‎1.从1,2,3,4,5这5个数中任取3个不同的数,则取出的3个数可作为三角形的三边边长的概率是 (　　)‎ A. B. C. D.‎ ‎【解析】选A.从1,2,3,4,5这5个数中任取3个不同的数的基本事件有(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5),(2,3,4),(2,3,5),(2,‎ ‎4,5),(3,4,5),共10个,取出的3个数可作为三角形的三边边长的基本事件有(2,3,4),(2,4,5),(3,4,5),共3个,故所求概率P=.‎ ‎2.若在面积为2的△ABC内任取一点P,并连接PB,PC,则△PBC的面积小于1的概率为 (　　)‎ A. B. C. D.‎ ‎【解析】选D.记事件A={△PBC的面积小于1},基本事件空间是三角形ABC的面积(如图),‎ 事件A的几何度量为图中阴影部分的面积(DE是三角形的中位线),因为阴影部分的面积是整个三角形面积的,所以P(A)=.‎ ‎3.齐王与田忌赛马,田忌的上等马优于齐王的中等马,劣于齐王的上等马,田忌的中等马优于齐王的下等马,劣于齐王的中等马, 田忌的下等马劣于齐王的下等马.现从双方的马匹中随机选一匹进行一场比赛,则田忌的马获胜的概率为 (　　)‎ A. B. C. D.‎ ‎【解析】选A.将齐王的三匹马分别记为a1,a2,a3,田忌的三匹马分别记为b1,b2,b3,齐王与田忌赛马,其情况有:(a1,b1),(a1,b2),(a1,b3),(a2,b1),(a2,b2),(a2,b3),(a3,b1),(a3,b2),(a3,b3)共9种,其中田忌的马获胜的有(a2,b1),(a3,b1),(a3,b2)共3种,所以田忌获胜的概率为=.‎ ‎4.某一天晚上月全食的过程分为初亏、食既、食甚、生光、复圆五个阶段,月食的初亏发生在19时48分,20时51分食既,食甚时刻为21时31分,22时08分生光,直至23时12分复圆.月全食伴随有蓝月亮和红月亮,月全食阶段的“红月亮”将在食甚时刻开始,生光时刻结束,一市民准备在19:55至21:56之间的某个时刻欣赏月全食,则他等待“红月亮”的时间不超过30分钟的概率是 (　　)‎ A. B. C. D.‎ ‎【解析】选A.如图所示,‎ 概率为P==.‎ ‎5.如图所示的图形是弧三角形,又叫莱洛三角形,它是分别以等边三角形ABC的三个顶点为圆心,以边长为半径画弧得到的封闭图形.在此图形内随机取一点,则此点取自等边三角形内的概率是 世纪金榜导学号(　　)‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎【解析】选B.设等边三角形的边长为a,则每个扇形的面积为S扇形=×π×a2=,S正三角形=,所以封闭图形的面积为3S扇形-2S正三角形=-,‎ 由几何概型的概率公式可得所求概率为P==.‎ 二、填空题(每小题5分,共15分)‎ ‎6.记a,b分别是投掷两次骰子所得的数字,则方程x2-ax+2b=0有两个不同实根的概率为　　　　. ‎ ‎【解析】由题意知投掷两次骰子所得的数字分别为a,b,则基本事件有(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),…,(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,‎ ‎5),(6,6),共有36个.而方程x2-ax+2b=0有两个不同实根的条件是a2-8b>0,满足此条件的基本事件有:(3,1),(4,1),(5,1),(5,2),(5,3),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),共有9个,故所求概率为=.‎ 答案:‎ ‎7.记一个两位数的个位数字与十位数字的和为A.若A是不超过5的奇数,从这些两位数中任取一个,其个位数为1的概率为　　　　. ‎ ‎【解析】根据题意,个位数字与十位数字之和为奇数且不超过5的两位数有:10,12,14,21,23,30,32,41,50,共9个,其中个位是1的有21,41,共2个,因此所求的概率为.‎ 答案:‎ ‎8.m∈{-2,-1,0,1,2},n∈{-1,0,1},随机抽取一个m和一个n,使得平面向量a=(m,n),满足|a|>2的概率为　　　　. 世纪金榜导学号 ‎ ‎【解析】向量a的所有可能情况是:‎ ‎(-2, -1),(-2, 0),(-2, 1),‎ ‎(-1, -1),(-1, 0),(-1, 1),‎ ‎(0, -1),(0, 0),(0, 1),‎ ‎(1, -1),(1, 0),(1, 1),‎ ‎(2,-1),(2, 0),(2, 1),‎ 满足|a|>2即m2+n2>4的有(-2, -1),(-2, 1), (2, -1),(2, 1),所以所求概率为.‎ 答案:‎ 三、解答题(每小题10分,共20分)‎ ‎9.如图,正方体ABCD -A1B‎1C1D1的棱长为1,在正方体内随机取点M,求使四棱锥M -ABCD的体积小于的概率.‎ ‎【解析】因为正方体ABCD-A1B‎1C1D1的棱长为1,所以正方体体积V=1×1×1=1,当四棱锥M-ABCD的体积小于时,设它的高为h,则×h<,解得h<,则点M在到平面ABCD的距离等于的截面以下时,四棱锥M-ABCD的体积小于,使得四棱锥M-ABCD的体积小于时,点M的位置形成一个长方体,该长方体的体积V′=1×1×=,所以四棱锥M-ABCD的体积小于的概率P==.‎ ‎10.某市举行职工技能比赛活动,甲厂派出2男1女共3名职工,乙厂派出2男2女共4名职工.‎ ‎(1)若从甲厂和乙厂报名的职工中各任选1名进行比赛,求选出的2名职工性别相同的概率.‎ ‎(2)若从甲厂和乙厂报名的这7名职工中任选2名进行比赛,求选出的这2名职工来自同一工厂的概率. 世纪金榜导学号 ‎【解析】记甲厂派出的2名男职工为A1,A2,1名女职工为a;乙厂派出的2名男职工为B1,B2,2名女职工为b1,b2.‎ ‎(1)从甲厂和乙厂报名的职工中各任选1名,不同的结果有{A1,B1},{A1,B2},{A1,b1},{A1,b2},{A2,B1},{A2,B2},{A2,b1},{A2,b2},{a,B1},{a,B2},{a,b1},{a,b2},共12种.其中选出的2名职工性别相同的选法有{A1,B1},{A1,B2},{A2,B1},{A2,B2},{a,b1},{a,b2},共6种.‎ 故选出的2名职工性别相同的概率P==.‎ ‎(2)若从甲厂和乙厂报名的这7名职工中任选2名,不同的结果有{A1,A2},{A1,a},{A1,B1},{A1,B2},{A1,b1},{A1,b2},{A2,a},{A2,B1},{A2,B2},{A2,‎ b1},{A2,b2},{a,B1},{a,B2},{a,b1},{a,b2},{B1,B2},{B1,b1},{B1,b2},{B2,b1},{B2,b2},{b1,b2},共21种.‎ 其中选出的2名职工来自同一工厂的选法有{A1,A2},{A1,a},{A2,a},{B1,B2},{B1,b1},{B1,b2},{B2,b1},{B2,b2},{b1,b2},共9种.‎ 故选出的2名职工来自同一工厂的概率为P==.‎ ‎【变式备选】‎ ‎　　 对某项工程进行竞标,现共有6家企业参与竞标,其中A企业来自辽宁省,B,C两家企业来自江苏省,D,E,F三家企业来自山东省,此项工程需要两家企业联合施工,假设每家企业中标的概率相同.‎ ‎(1)列举所有企业的中标情况.‎ ‎(2)在中标的企业中,至少有一家来自江苏省的概率是多少?‎ ‎【解析】(1)从这6家企业中选出2家的选法有(A,B),(A,C),(A,D),(A,E),(A,F),(B,C),(B,D),(B,E),(B,F),(C,D),(C,E),‎ ‎(C,F),(D,E),(D,F),(E,F),共15种.‎ ‎　　(2)在中标的企业中,至少有一家来自江苏省的选法有(A,B),(A,C),(B,C),(B,D),(B,E),(B,F),(C,D),(C,E),(C,F),共9种.所以,“在中标的企业中,至少有一家来自江苏省”的概率为=.‎ ‎(15分钟　35分)‎ ‎1.(5分)有两张卡片,一张的正反面分别写着数字0与1,另一张的正反面分别写着数字2与3,将两张卡片排在一起组成两位数,则所组成的两位数为奇数的概率是 (　　)‎ A. B. C. D.‎ ‎【解析】选C.将两张卡片排在一起组成两位数,则所组成的两位数有12,13,20,21,30,31,共6个,两位数为奇数的有13,21,31,共3个,故所组成的两位数为奇数的概率为=.‎ ‎2.(5分)在边长为a的正三角形内任取一点P,则点P到三个顶点的距离均大于的概率是 (　　)‎ A.-π B.1-π C. D.‎ ‎【解析】选B.如图正△ABC的边长为a,分别以它的三个顶点为圆心,以为半径在△ABC内部画圆弧,得三个扇形,则题中点P在这三个扇形外,因此所求概率为P==1-π.‎ ‎3.(5分)为美化环境,从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中,余下的2种花种在另一个花坛中,则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　. ‎ ‎【解析】从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中,余下的2种花种在另一个花坛中,有6种方法.红色和紫色的花在同一花坛,有2种方法;红色和紫色的花不在同一花坛,有4种方法,所以所求的概率为=.‎ 答案:‎ ‎　 【一题多解】将红、黄、白、紫记为1,2,3,4,由列举法可得,‎ 有(12,34),(13,24),(14,23),(23,14),(24,13),(34,12),共6种情况 则所求概率P==.‎ 答案:‎ ‎4.(10分)甲、乙两船驶向一个不能同时停泊两艘船的码头,它们在一昼夜内到达该码头的时刻是等可能的.如果甲船停泊时间为1 h,乙船停泊时间为2 h,求它们中的任意一艘都不需要等待码头空出的概率. 世纪金榜导学号 ‎【解析】设甲、乙两艘船到达码头的时刻分别为x与y,记事件A为“两船都不需要等待码头空出”,则0≤x≤24,0≤y≤24,要使两船都不需要等待码头空出,当且仅当甲比乙早到达1 h以上或乙比甲早到达2 h以上,即y-x≥1或x-y≥2.故所求事件构成集合A={(x,y)|y-x≥1或x-y≥2,x∈[0,24],y∈[0,24]}.‎ A为图中阴影部分,全部结果构成集合Ω为边长是24的正方形及其内部.‎ 所求概率为P(A)=‎ ‎===.‎ ‎5.(10分)设连续掷两次骰子得到的点数分别为m,n,令平面向量a=(m,n),b=(1,-3). 世纪金榜导学号 ‎(1)求事件“a⊥b”发生的概率.‎ ‎(2)求事件“|a|≤|b|”发生的概率.‎ ‎【解析】(1)由题意知,m∈{1,2,3,4,5,6},n∈{1,2,3,4,5,6},故(m,n)所有可能的取法共36种.因为a⊥b,所以m-3n=0,即m=3n,有(3,1),(6,2),共2种,‎ 所以事件a⊥b发生的概率为=.‎ ‎(2)由|a|≤|b|,得m2+n2≤10,‎ 有(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(3,1),共6种,其概率为=.‎ ‎　‎ 某企业有甲、乙两个研发小组,为了比较他们的研发水平,现随机抽取这两个小组往年研发新产品的结果如下:,,,,,,,,,,,,,,‎ 其中a,分别表示甲组研发成功和失败;b,分别表示乙组研发成功和失败.‎ ‎(1)若某组成功研发一种新产品,则给该组记1分,否则记0分,试计算甲、乙两组研发新产品的成绩的平均数和方差,并比较甲、乙两组的研发水平.‎ ‎(2)若该企业安排甲、乙两组各自研发一种新产品,试估计恰有一组研发成功的概率. 世纪金榜导学号 ‎【解析】(1)甲组研发新产品的成绩为 1,1,1,0,0,1,1,1,0,1,0,1,1,0,1,‎ 其平均数为==,‎ 方差为=‎ ‎=,‎ 乙组研发新产品的成绩为 1,0,1,1,0,1,1,0,1,0,0,1,0,1,1,‎ 其平均数为== ,‎ 方差为=‎ ‎=,‎ 因为>,,所以甲组的研发水平优于乙组.‎ ‎(2)记E={恰有一组研发成功},在所抽得的15个结果中,恰有一组研发成功的结果是 ‎(a,),(,b),(a,),(,b),(a,),(a,),(,b),共7个,故事件E发生的频率为.‎ 将频率视为概率,即所求概率为P(E)=.‎