名校联盟2020届高三联考评估卷（八）数学（文）试题 Word版含解析

名校联盟2020届高三联考评估卷（八）数学（文）试题 Word版含解析

www.ks5u.com 名校联盟2020届高三联考评估卷（八）‎ 数学（文科）‎ 第Ⅰ卷（选择题共60分）‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.把正确的答案填在答题卡相应的位置上.）‎ ‎1.已知全集，设集合，，则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先由补集的定义求出，再由交集的定义求即可.‎ ‎【详解】∵＝{0，1，2，3，4}，B＝{1，2，3}，∴═{0,4}，且 ，∴＝.‎ 故选D．‎ ‎【点睛】本题考查了集合的交、并补集的混合运算，属于基础题.‎ ‎2.若复数满足，其中为虚数单位，是的共轭复数，则复数的实部为（ ）‎ A. 3 B. C. 4 D. 5‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设复数，代入计算得到，，得到答案.‎ ‎【详解】设复数，，，∴，‎ 即，解得，，∴复数的实部为3.‎ 故选：.‎ ‎【点睛】本题考查了复数的实部，意在考查学生的计算能力.‎ - 21 -‎ ‎3.已知等差数列的前项和为，若，则等差数列公差（　　）‎ A. 2 B. C. 3 D. 4‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据等差数列的求和公式即可得出．‎ ‎【详解】∵a1=12，S5=90，‎ ‎∴5×12+ d=90，‎ 解得d=3．‎ 故选C．‎ ‎【点睛】本题主要考查了等差数列的求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎4.某网店2019年全年的月收支数据如图所示，则针对2019年这一年的收支情况，下列说法中错误的是（ ）‎ A. 月收入的极差为60 B. 7月份的利润最大 C. 这12个月利润的中位数与众数均为30 D. 这一年的总利润超过400万元 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接根据折线图依次判断每个选项得到答案.‎ ‎【详解】由图可知月收入的极差为，故选项A正确；‎ ‎1至12月份的利润分别为20，30，20，10，30，30，60，40，30，30，50，30，7月份的利润最高，故选项B正确；‎ 易求得总利润为380万元，众数为30，中位数为30，故选项C正确，选项D错误.‎ - 21 -‎ 故选：.‎ ‎【点睛】本题考查了折线图，意在考查学生的理解能力和应用能力.‎ ‎5.已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递增，则（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，由函数的奇偶性可得，，又由，结合函数的单调性分析可得答案．‎ ‎【详解】根据题意，函数是定义在上的偶函数，则，，‎ 有，‎ 又由在上单调递增，则有，故选C.‎ ‎【点睛】本题主要考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，注意函数奇偶性的应用，属于基础题．‎ ‎6.已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，它的终边过点，则的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据三角函数定义得到，故，再利用和差公式得到答案.‎ ‎【详解】∵角的终边过点，∴，.‎ - 21 -‎ ‎∴.‎ 故选：.‎ ‎【点睛】本题考查了三角函数定义，和差公式，意在考查学生的计算能力.‎ ‎7.某几何体的三视图如图所示，图中圆的半径为1，等腰三角形的腰长为3，则该几何体表面积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 几何体是由一个圆锥和半球组成，其中半球的半径为1，圆锥的母线长为3，底面半径为1，计算得到答案.‎ ‎【详解】几何体是由一个圆锥和半球组成，其中半球的半径为1，圆锥的母线长为3，底面半径为1，故几何体的表面积为.‎ 故选：.‎ ‎【点睛】本题考查了根据三视图求表面积，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.‎ ‎8.设直线：，与圆：交于，，且，则的值是（ ）‎ A. 10或－30 B. 10 C. －30 D. 10或30‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据得到，利用点到直线的距离公式计算得到答案.‎ - 21 -‎ ‎【详解】∵圆：的圆心为，半径为，，‎ 由垂径定理得，∴圆心到直线的距离为4.‎ ‎∴，解得或.‎ 故选：.‎ ‎【点睛】本题考查了根据弦长求参数，意在考查学生的计算能力和转化能力.‎ ‎9.已知变量，，且，若恒成立，则的最大值为（ ）‎ A. B. C. D. 1‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由可化为，设函数，，可得答案.‎ ‎【详解】解：即化为，‎ 故在上为增函数，，‎ 故的最大值为.‎ 故选.‎ ‎【点睛】本题主要考查函数的单调性及导数的应用，由已知构造出后求导是解题的关键.‎ ‎10.若函数（其中，图象的一个对称中心为，，其相邻一条对称轴方程为，该对称轴处所对应的函数值为，为了得到的图象，则只要将的图象( )‎ A. 向右平移个单位长度 B. 向左平移个单位长度 - 21 -‎ C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出，由五点法作图求出的值，可得的解析式，再根据函数的图象变换规律，诱导公式，得出结论．‎ ‎【详解】根据已知函数 其中，的图象过点，，‎ 可得，，‎ 解得：．‎ 再根据五点法作图可得，‎ 可得：，‎ 可得函数解析式为：‎ 故把的图象向左平移个单位长度，‎ 可得的图象，‎ 故选B．‎ ‎【点睛】本题主要考查由函数部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出，由五点法作图求出的值，函数的图象变换规律，诱导公式的应用，属于中档题．‎ ‎11.已知抛物线：（）上一点到焦点的距离为6，，分别为抛物线与圆上的动点，则的最小值为（ ）‎ - 21 -‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 计算抛物线方程为，设，计算，得到答案.‎ ‎【详解】由抛物线：（）焦点在轴上，准线方程，‎ 则点到焦点的距离为，则，∴抛物线方程为.‎ 设，圆：，圆心为，半径为1，‎ 则，‎ 当时，有最小值，故最小值为.‎ 故选：.‎ ‎【点睛】本题考查了抛物线方程，最值问题，意在考查学生的计算能力和应用能力.‎ ‎12.已知数列是以1为首项，2为公差的等差数列，是以1为首项，2为公比的等比数列，设，，则当时，的最大值是（ ）‎ A. 8 B. 9 C. 10 D. 11‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意计算，，，解不等式得到答案.‎ ‎【详解】∵是以1为首项，2为公差的等差数列，∴.‎ ‎∵是以1为首项，2为公比的等比数列，∴.‎ ‎∴‎ - 21 -‎ ‎.‎ ‎∵，∴，解得.则当时，的最大值是9.‎ 故选：.‎ ‎【点睛】本题考查了等差数列，等比数列，f分组求和，意在考查学生对于数列公式方法的灵活运用.‎ 第Ⅱ卷（非选择题共90分）‎ 二、填空题（本小题共4题，每小题5分，共20分.）‎ ‎13.平面向量与的夹角为，，，则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由平面向量模的计算公式，直接计算即可.‎ ‎【详解】因为平面向量与的夹角为，所以，‎ 所以;‎ 故答案为 ‎【点睛】本题主要考查平面向量模的计算，只需先求出向量的数量积，进而即可求出结果，属于基础题型.‎ ‎14.已知x，y满足约束条件，则的最小值为___‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据约束条件画出可行域，再由表示直线在y轴上的截距最大即可得解.‎ - 21 -‎ ‎【详解】‎ x，y满足约束条件，画出可行域如图所示.目标函数，即.‎ 平移直线，截距最大时即为所求.‎ 点A（，），‎ z在点A处有最小值：z＝2，‎ 故答案为.‎ ‎【点睛】本题主要考查线性规划的基本应用，利用数形结合，结合目标函数的几何意义是解决此类问题的基本方法．‎ ‎15.已知为双曲线：的左焦点，直线经过点，若点，关于直线对称，则双曲线的离心率为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由点，关于直线对称，得到直线的斜率，再根据直线过点，可求出直线方程，又，中点在直线上，代入直线的方程，化简整理，即可求出结果.‎ ‎【详解】因为为双曲线：的左焦点，所以，又点 - 21 -‎ ‎，关于直线对称，，所以可得直线的方程为，又，中点在直线上，所以，整理得，又，所以，‎ 故，解得，因为，所以.‎ 故答案为 ‎【点睛】本题主要考查双曲线的简单性质，先由两点对称，求出直线斜率，再由焦点坐标求出直线方程，根据中点在直线上，即可求出结果，属于常考题型.‎ ‎16.把三个半径都是2的球放在桌面上，使它们两两相切，然后在它们上面放上第四个球（半径是2），使它与下面的三个球都相切，则第四个球的最高点与桌面的距离为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ 四个球心的连线可构成棱长为4的正四面体，可先求正四面体的高，而第四个球的最高点与桌面的距离即为高加上两个半径，从而求出所求的距离．‎ ‎【详解】四个球心是正四面体的顶点（如图所示），它的棱长均为4，‎ 设为的中点，为正三角形的中心，则平面，‎ 又，，所以 ‎ ‎，第四个球的最高点与桌面的距离为加上两个半径即．‎ ‎【点睛】组合体中几何量的计算，关键在于对组合体进行合理的分割和整合，本题中各球的球心构成一个正四面体，因此求出其高后就能得到要求的高度．‎ - 21 -‎ 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.‎ ‎（一）必考题（共60分）‎ ‎17.已知在中，分别为角A,B,C的对应边，点D为BC边的中点，的面积为.‎ ‎(1)求的值；‎ ‎(2)若，求．‎ ‎【答案】（1）； （2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)先由的面积为且D为BC的中点，得到的面积；再由三角形的面积公式和正弦定理即可求出结果；‎ ‎(2)根据(1)的结果和，可求出和；再由余弦定理，即可求出结果.‎ ‎【详解】(1)由的面积为且D为BC的中点可知:的面积为,‎ 由三角形的面积公式可知:,‎ 由正弦定理可得:,‎ 所以,‎ ‎ (2) ,又因为为中点，所以,即,‎ 在中由正弦定理可得,所以 由（1）可知所以,‎ ‎ ‎ 在直角中,所以.‎ - 21 -‎ ‎,‎ 在中用余弦定理，可得.‎ ‎【点睛】本题主要考查解三角形，熟记正弦定理和余弦定理以及面积公式，即可求解，属于常考题型.‎ ‎18.党的第十九次全国代表大会上，习近平总书记指出：“房子是用来住的，不是用来炒的”.为了使房价回归到收入可支撑的水平，让全体人民住有所居，近年来全国各一、二线城市打击投机购房，陆续出台了住房限购令.某市一小区为了进一步了解已购房民众对市政府出台楼市限购令的认同情况，随机抽取了本小区50户住户进行调查，各户人平均月收入（单位：千元）的户数频率分布直方图如下图，其中赞成限购的户数如下表：‎ 人平均月收入 赞成户数 ‎4‎ ‎9‎ ‎12‎ ‎6‎ ‎3‎ ‎1‎ ‎（1）若从人平均月收入在的住户中再随机抽取两户，求所抽取的两户至少有一户赞成楼市限购令的概率；‎ ‎（2）若将小区人平均月收入不低于7千元的住户称为“高收入户”，人平均月收入低于7千元的住户称为“非高收入户”.根据已知条件完成如图所给的列联表，并说明能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“收入的高低”与“赞成楼市限购令”有关.‎ 非高收入户 高收入户 总计 赞成 不赞成 总计 - 21 -‎ 附：临界值表 ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.010‎ ‎0.01‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ 参考公式：，.‎ ‎【答案】（1）（2）详见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由直方图知：月收入在住户共有6户，列出随机抽取两户的所以情况，然后利用概率公式即可得到答案；（2）根据频率分布直方图可完成列联表，然后利用公式可求出，再与表中数据对比可得到答案．‎ ‎【详解】解：（1）由直方图知：月收入在的住户共有户，‎ 设其编号为，记赞成楼市限购令，则所有可能结果是：；；；；；；；；；；；；；；共15户.‎ 设事件A：所抽取的两户至少有一户赞成楼市限购令，则事件A包含12个基本事件，‎ ‎.‎ ‎（2）依题意，列联表如下：‎ 非高收入户 高收入户 总计 赞成 ‎25‎ ‎10‎ ‎35‎ 不赞成 ‎5‎ ‎10‎ ‎15‎ 总计 ‎30‎ ‎20‎ ‎50‎ - 21 -‎ ‎，‎ 所以不能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“收入的高低”与“赞成楼市限购令”有关.‎ ‎【点睛】本题考查了频率分布直方图，考查了概率的计算，考查了2×2列联表，考查了独立性检验，考查了学生分析问题与解决问题的能力，属于中档题．‎ ‎19.在四棱锥中，底面是直角梯形，，，，.‎ ‎（1）求证：平面平面；‎ ‎（2）若三棱锥的体积为，求的长.‎ ‎【答案】（1）见证明；(2) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）取的中点，的中点，连接，，，由题意可证平面，则有，又由等腰三角形得，则平面，得到，再由勾股数得，可得平面，从而得到结论.‎ ‎（2）转换底面，即可写出三棱锥的体积公式，解得a，即可求的长．‎ ‎【详解】（1）取中点，的中点，连接，，.‎ 由已知得，四边形是梯形，，.∴，∴，‎ 又∵，∴，且，∴平面，‎ ‎∴，由已知得，∴，又与相交，‎ ‎∴平面，‎ ‎∴，又∵，∴，‎ - 21 -‎ ‎∴平面且平面，‎ ‎∴平面平面 ‎（2）设，则，‎ ‎ ，‎ 解得，又∵，且=1+=10,‎ ‎∴2+10=12,‎ 从而.‎ ‎【点睛】本题考查面面垂直的判定定理，考查了空间点线面的关系，考查三棱锥的体积，属于中档题．‎ ‎20.已知椭圆，点和都在椭圆上，其中为椭圆的离心率.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）若过原点的直线与椭圆交于两点，且在直线上存在点，使得是以为直角顶点的直角三角形，求实数的取值范围 ‎【答案】（1）； （2）或.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）将点代入椭圆方程，并结合，可以求出，然后将点代入椭圆方程即可求出，即可得到答案；（2）将直线与椭圆联立，可以得到两点的坐标关系，设，则，由题意，即，从而可以建立等式关系：，可以整理为关于的一元二次方程，令 - 21 -‎ 即可求出的取值范围．‎ ‎【详解】（1）由题设知，.由点在椭圆上，得.‎ 解得，‎ 又点在椭圆上，.‎ 即，解得.‎ 所以椭圆的方程是.‎ ‎（2）设、，‎ 由得 ‎，，，‎ 设，则 依题意，得 即 有解 化简得，或 - 21 -‎ ‎【点睛】本题考查了直线与椭圆的综合问题，涉及椭圆方程的求法，椭圆的离心率，一元二次方程根的特点，直角三角形的几何关系的利用，属于难题．‎ ‎21.设函数．‎ Ⅰ求函数的单调区间；‎ Ⅱ记函数的最小值为，证明：．‎ ‎【答案】（I）在上单调递减，在上单调递增；（II）详见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（I）对函数求导，解导函数所对应的不等式即可求出结果；‎ ‎（II）由（I）先得到，要证，即证明，即证明，‎ 构造函数，用导数的方法求函数的最小值即可.‎ ‎【详解】（Ⅰ）显然的定义域为． ‎ ‎．‎ ‎∵，，‎ ‎∴若，，此时，在上单调递减；‎ 若，，此时，在上单调递增；‎ 综上所述：在上单调递减，在上单调递增． ‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知：，‎ ‎ 即：． ‎ 要证，即证明，即证明，‎ 令，则只需证明，‎ ‎∵，且，‎ - 21 -‎ ‎∴当，，此时，在上单调递减；‎ 当，，此时，在上单调递增，‎ ‎∴． ‎ ‎∴．∴．‎ ‎【点睛】本题主要考查导数在函数中的应用，通常需要对函数求导，用导数的方法研究函数的单调性，最值等，属于常考题型.‎ ‎（二）选考题（共10分.请考生在第22、23两题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.）‎ ‎22.已知曲线的方程为，曲线的参数方程为（为参数）.‎ ‎（1）求的参数方程和的普通方程；‎ ‎（2）设点在上，点在上，求的最小值.‎ ‎【答案】（1）的参数方程为（为参数），的普通方程为;（2）1‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)由椭圆的参数方程的公式可直接写出的参数方程；由曲线的参数方程消去参数可得到的普通方程；‎ ‎(2先由参数方程设出点的坐标，由题意知求的最小值即是求点到直线的距离，再由点到直线的距离公式可直接求解.‎ ‎【详解】解：（1）曲线的参数方程为（为参数），‎ 曲线的普通方程为.‎ - 21 -‎ ‎（2）设，‎ 点到直线的距离为，则的最小值即为的最小值，‎ 因为，其中，‎ 当时，的最小值为1，此时.‎ ‎【点睛】本题主要考查参数方程与普通方程的互化，以及参数的方法求两点间的距离，只需熟记公式即可，属于基础题型.‎ ‎23.已知函数．‎ ‎（1）解不等式；‎ ‎（2）若，对，，使成立，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】(1)；(2).‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）对x分类讨论，将不等式转化为代数不等式，求解即可；‎ ‎（2）分别求出函数的最值，利用最值建立不等式，即可得到实数的取值范围．．‎ ‎【详解】解：（1）不等式等价于或或 解得或或，所以不等式的解集为．‎ ‎（2）由知，当时，；‎ ‎，‎ - 21 -‎ 当且仅当时取等号，‎ 所以， 解得． 故实数的取值范围是．‎ ‎【点睛】本题考查方程有解问题，考查不等式的解法，考查转化思想以及计算能力．‎ - 21 -‎ - 21 -‎