【数学】2020届一轮复习（理）通用版考点测试64离散型随机变量的均值与方差作业
点测试64 离散型随机变量的均值与方差、正态分布
高考概览
考纲研读
1．理解取有限个值的离散型随机变量的均值、方差的概念
2．能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题
3．借助直方图认识正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义
一、基础小题
1．设随机变量X～N(1，52)，且P(X≤0)＝P(X≥a－2)，则实数a的值为( )
A．4 B．6 C．8 D．10
答案 A
解析 x＝0与x＝a－2关于x＝1对称，则a－2＝2，a＝4．故选A．
2．抛掷两个骰子，至少有一个4点或5点出现时，就说这次试验成功，则在10次试验中，成功次数X的期望是( )
A． B． C． D．
答案 C
解析 由题意，一次试验成功的概率为1－×＝，10次试验为10次独立重复试验，则成功次数X～B，所以E(X)＝．故选C．
3．某种种子每粒发芽的概率都为0．9，现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需要再补种2粒，补种的种子数记为X，则X的数学期望为( )
A．100 B．200 C．300 D．400
答案 B
解析 种子发芽率为0．9，不发芽率为0．1，每粒种子发芽与否相互独立，故设没有发芽的种子数为ξ，则ξ～B(1000，0．1)，∴E(ξ)＝1000×0．1＝100，故需补种的期望为E(X)＝2·E(ξ)＝200．故选B．
4．已知随机变量X＋η＝8，若X～B(10，0．6)，则E(η)，D(η)分别是( )
A．6和2．4 B．2和2．4 C．2和5．6 D．6和5．6
答案 B
解析 由已知随机变量X＋η＝8，所以有η＝8－X．因此，求得E(η)＝8－E(X)＝8－10×0．6＝2，D(η)＝(－1)2D(X)＝10×0．6×0．4＝2．4．故选B．
5．现在有10张奖券，8张2元的，2张5元的，某人从中随机无放回地抽取3张奖券，则此人得奖金额的数学期望为( )
A．6 B． C． D．9
答案 B
解析 记此人得奖金额为随机变量X，则X的可能取值有6，9，12，且P(X＝6)＝＝，P(X＝9)＝＝，P(X＝12)＝＝，则E(X)＝6×＋9×＋12×＝．故选B．
6．某班有50名学生，一次数学考试的成绩ξ服从正态分布N(105，102)，已知P(95≤ξ≤105)＝0．32，估计该班学生数学成绩在115分以上的人数为( )
A．10 B．9 C．8 D．7
答案 B
解析 因为ξ～N(105，102)，P(95≤ξ≤105)＝0．32，所以P(105<ξ≤115)＝0．32，P(ξ>115)＝－0．32＝0．18，所以此次数学考试成绩不低于115分的学生人数为50×0．18＝9．故选B．
7．体育课的排球发球项目考试的规则是：每位学生最多可发球3次，一旦发球成功，则停止发球，否则一直发到3次为止．设学生一次发球成功的概率为p(p≠0)，发球次数为X，若X的数学期望E(X)>1．75，则p的取值范围是( )
A．0， B．，1 C．0， D．，1
答案 C
解析 由已知条件可得P(X＝1)＝p，P(X＝2)＝(1－p)p，P(X＝3)＝(1－p)2p＋(1－p)3＝(1－p)2，则E(X)＝P(X＝1)＋2P(X＝2)＋3P(X＝3)＝p＋2(1－p)p＋3(1－p)2＝p2－3p＋3>1．75，解得p>或p<，又由p∈(0，1)，可得p∈0，．故选C．
8．已知某随机变量X的概率密度函数为P(x)＝则随机变量X落在区间(1，3)内的概率为( )
A． B． C．e2－e D．e2＋e
答案 B
解析 由随机变量X的概率密度函数的意义得
P＝e－xdx＝－e－x31＝．故选B．
二、高考小题
9．(2017·浙江高考)已知随机变量ξi满足P(ξi＝1)＝pi，P(ξi＝0)＝1－pi，i＝1，2．若0＜p1＜p2＜，则( )
A．E(ξ1)
D(ξ2)
C．E(ξ1)>E(ξ2)，D(ξ1)E(ξ2)，D(ξ1)>D(ξ2)
答案 A
解析 由题意可知ξi(i＝1，2)服从两点分布，
∴E(ξ1)＝p1，E(ξ2)＝p2，D(ξ1)＝p1(1－p1)，D(ξ2)＝p2(1－p2)．又∵0μ1．
∴P(Y≥μ2)P(X≤σ1)，故B错误；
对任意正数t，由题中图象知P(X≤t)≥P(Y≤t)，故C正确，D错误．
13．(2017·全国卷Ⅱ)一批产品的二等品率为0．02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X表示抽到的二等品件数，则D(X)＝________．
答案 1．96
解析 由题意得X～B(100，0．02)，
∴D(X)＝100×0．02×(1－0．02)＝1．96．
三、模拟小题
14．(2018·长春质监)已知随机变量ξ服从正态分布N(1，σ2)，若P(ξ>2)＝0．15，则P(0≤ξ≤1)＝( )
A．0．85 B．0．70 C．0．35 D．0．15
答案 C
解析 P(0≤ξ≤1)＝P(1≤ξ≤2)＝0．5－P(ξ>2)＝0．35．故选C．
15．(2018·山东淄博一模)设每天从甲地去乙地的旅客人数为随机变量X，且X～N(800，502)．则一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为( )
(参考数据：若X～N(μ，σ2)，有P(μ－σ900)＝＝0．0228，
∴P(X≤900)＝1－0．0228＝0．9772．故选A．
16．(2018·西安质检)已知5件产品中有2件次品，现逐一检测，直至能确定所有次品为止，记检测的次数为ξ，则E(ξ)＝( )
A．3 B． C． D．4
答案 C
解析 由题意知ξ的可能取值为2，3，4，P(ξ＝2)＝×＝，P(ξ＝3)＝×＋××＝，
P(ξ＝4)＝1－P(ξ＝2)－P(ξ＝3)＝1－－＝，∴E(ξ)＝2×＋3×＋4×＝．故选C．
17．(2018·广东茂名一模)设X～N(1，1)，其正态分布密度曲线如图所示，那么向正方形ABCD中随机投掷10000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值是( )
(注：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ0)＝0．8，则P(X≥2)＝________．
答案 0．2
解析 随机变量X服从正态分布N(1，σ2)，∴正态曲线关于直线x＝1对称，∴P(x≥2)＝P(X≤0)＝1－P(X>0)＝0．2．
一、高考大题
1．(2018·北京高考)电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：
电影类型
第一类
第二类
第三类
第四类
第五类
第六类
电影部数
140
50
300
200
800
510
好评率
0．4
0．2
0．15
0．25
0．2
0．1
好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值．假设所有电影是否获得好评相互独立．
(1)从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；
(2)从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部，估计恰有1部获得好评的概率；
(3)假设每类电影得到人们喜欢的概率与表格中该类电影的好评率相等．用“ξk＝1”表示第k类电影得到人们喜欢，“ξk＝0”表示第k类电影没有得到人们喜欢(k＝1，2，3，4，5，6)．写出方差D(ξ1)，D(ξ2)，D(ξ3)，D(ξ4)，D(ξ5)，D(ξ6)的大小关系．
解 (1)由题意知，样本中电影的总部数是140＋50＋300＋200＋800＋510＝2000，
第四类电影中获得好评的电影部数是200×0．25＝50．
故所求概率是＝0．025．
(2)设事件A为“从第四类电影中随机选出的电影获得好评”，
事件B为“从第五类电影中随机选出的电影获得好评”．
故所求概率为P(A＋B)＝P(A)＋P(B)
＝P(A)(1－P(B))＋(1－P(A))P(B)．
由题意知，P(A)估计为0．25，P(B)估计为0．2．
故所求概率估计为0．25×0．8＋0．75×0．2＝0．35．
(3)由两点分布方差公式可知D(ξk)＝p(1－p)．
所以D(ξ1)＝0．4×(1－0．4)＝0．24，D(ξ2)＝0．2×(1－0．2)＝0．16，D(ξ3)＝0．15×(1－0．15)＝0．1275，D(ξ4)＝0．25×(1－0．25)＝0．1875，D(ξ5)＝0．2×(1－0．2)＝0．16，D(ξ6)＝0．1×(1－0．1)＝0．09．
所以D(ξ1)>D(ξ4)>D(ξ2)＝D(ξ5)>D(ξ3)>D(ξ6)．
2．(2017·全国卷Ⅰ)为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸(单位：cm)．
根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N(μ，σ2)．
(1)假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件数，求P(X≥1)及X的数学期望；
(2)一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．
①试说明上述监控生产过程方法的合理性；
②下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：
9．95
10．12
9．96
9．96
10．01
9．92
9．98
10．04
10．26
9．91
10．13
10．02
9．22
10．04
10．05
9．95
经计算得＝i＝9．97，s＝＝≈0．212，其中xi为抽取的第i个零件的尺寸，i＝1，2，…，16．
用样本平均数作为μ的估计值，用样本标准差s作为σ的估计值，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查．剔除(－3，＋3)之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ(精确到0．01)．
附：若随机变量Z服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－3σ141)＝P(ξ>127＋2×7)＝×[1－P(μ－2σ<ξ<μ＋2σ)]＝0．0228，
故得分超过141分的人数为1000×0．0228≈23．
(3)由题意知X～B4，，
故X的所有可能取值为0，1，2，3，4，
P(X＝0)＝4＝，
P(X＝1)＝C13＝，
P(X＝2)＝C22＝，
P(X＝3)＝C31＝，
P(X＝4)＝4＝，
故X的分布列为
X
0
1
2
3
4
P
期望E(X)＝np＝4×＝1，
方差D(X)＝np(1－p)＝4××＝．
5．(2018·广州综合测试二)在某市高中某学科竞赛中，某一个区4000名考生的参赛成绩统计如图所示．
(1)求这4000名考生的竞赛平均成绩(同一组中数据用该组区间中点值作代表)；
(2)由直方图可认为考生竞赛成绩z服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ，σ2分别取考生的平均成绩和考生成绩的方差s2，那么该区4000名考生成绩超过84．81分(含84．81分)的人数估计有多少人？
(3)如果用该区参赛考生成绩的情况来估计全市的参赛考生的成绩情况，现从全市参赛考生中随机抽取4名考生，记成绩不超过84．81分的考生人数为ξ，求P(ξ≤3)．(精确到0．001)
附：①s2＝204．75，≈14．31；
②z～N(μ，σ2)，则P(μ－σx1)＝1－Φ表示x>x1的概率，Φ用来将非标准正态分布化为标准正态分布，即X～N(0，1)，从而利用标准正态分布表中Φ(x0)，求x>x1时的概率P(x>x1)，这里x0＝．相应于x0的值Φ(x0)是指总体取值小于x0的概率，即Φ(x0)＝P(xx1)＝1－Φ
＝1－Φ＝0．46，
即Φ＝0．54，
由Φ(0．7054)＝0．54，得
＝0．7054⇒x1≈117，
故本次考试成绩达到升一本分数要求的理科数学成绩约为117分．
②P(x>107)＝1－Φ＝1－Φ(0．2073)≈1－0．5832＝0．4168，
故理科数学成绩为107分的学生大约排在10000×0．4168＝4168(名)．
