北京市第十三中学2019-2020学年高二上学期期中考试数学试题

北京市第十三中学2019-2020学年高二上学期期中考试数学试题

北京市第十三中学2019～2020学年第一学期 高二数学期中测试 第Ⅰ卷（选择题共50分）‎ 一、选择题：本大题共10个小题，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.数列-3，1，5，9，…的一个通项公式（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用等差数列的通项公式即可求解.‎ ‎【详解】根据题意可知数列为等差数列，‎ 首项，公差，‎ 所以.‎ 故选：B ‎【点睛】本题考查了等差数列的通项公式，属于基础题.‎ ‎2.椭圆的焦点坐标是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用椭圆的标准方程可知，进而求出即可求解.‎ ‎【详解】由椭圆，则，‎ 所以，即，‎ 所以椭圆的焦点为，‎ 故选：C ‎【点睛】本题考查了椭圆的焦点，需熟记椭圆中，属于基础题.‎ ‎3.若，下列不等式成立的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 比较大小可采用作差法比较，一般步骤是作差、变形、定号，从而得到大小关系.‎ ‎【详解】，‎ ‎，即，故A不正确； ‎ ‎，‎ ‎，即，故B不正确； ‎ ‎ ，‎ ‎，即，故C正确；‎ ‎ ，‎ ‎，即，故D不正确；‎ 故选：C ‎【点睛】本题考查了不等式的性质，作差法比较式子的大小，属于基础题.‎ ‎4.设数列是等差数列，且，，是数列的前项和，则（ ）．‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 分析：由等差数列的性质，即，得，又由，得.‎ 详解：数列为等差数列， ‎ 又，‎ 由数列前n项和的定义，‎ 故选B.‎ 点睛：本题考查等差数列性质与前项和计算的应用，解题时要认真审题，注意灵活运用数列的基本概念与性质.‎ ‎5.设为等比数列的前项和，，则公比（ ）‎ A. B. C. 1或 D. -1或 ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：由题意得，设等比数列的公比为，由，即，所以，解得或，故选C．‎ 考点：等比数列的通项公式的应用．‎ ‎6.已知实数，则的最小值是（ ）‎ A. 0 B. ‎4 ‎C. 6 D. 8‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用基本不等式即可求解.‎ ‎【详解】，，‎ ‎，‎ 当且仅当，即时，取等号.‎ 故选：C ‎【点睛】本题考查了基本不等式求最值，注意在利用基本不等式时，要验证等号成立的条件，属于基础题.‎ ‎7.数列的前项和为，若，则等于（ ）‎ A. 1 B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 化简，利用裂项相消法可得结果.‎ ‎【详解】因为，‎ 所以，故选B．‎ ‎【点睛】裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1)；（2） ； （3）；（4）；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.‎ ‎8.设椭圆C：的左、右焦点分别为、，P是C上的点，⊥，‎ ‎∠=，则C的离心率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 由题意可设|PF2|＝m，结合条件可知|PF1|＝‎2m，|F‎1F2|＝ m，‎ ‎ 故离心率e＝选D.‎ 点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于的方程或不等式，再根据的关系消掉得到的关系式，而建立关于的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.‎ ‎9.某采摘园的樱桃前年的总产量与之间的关系如图所示，从图中记录的结果看，前年的平均产量最高，第年的年产量最高，则和的值分别为（ ）‎ A. 7和4 B. 7和‎8 ‎C. 10和4 D. 10和10‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据图象表示前年的总产量与之间的关系，前年的年平均产量为直线的斜率，由图得出斜率最大时对应的值，产量最大的值.‎ ‎【详解】前年的总产量与在图中对应点，‎ 则前年的年平均产量为直线的斜率，‎ 由图易知当时，直线的斜率最大，‎ 即前年的年平均产量最高，；‎ 又，所以变化量最大的是第年，即.‎ 故选：A ‎【点睛】本题考查了散点图的应用，考查了学生对图象的辨析能力、分析能力、解决问题的能力，属于基础题.‎ ‎10.已知两定点，，若直线上存在点，使，则该直线为“型直线”，给出下列直线，其中是“型直线”的是（ ）‎ ‎①；②；③；④‎ A. ①③ B. ①② C. ③④ D. ①④‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 易得点在以、为焦点的椭圆上，“型直线”和椭圆有公共点，逐个选项联立方程由判别式验证即可.‎ ‎【详解】两定点，，，‎ 在以、为焦点的椭圆上，且，‎ 故椭圆的方程为，‎ 满足题意的“型直线”和椭圆有公共点，‎ 联立和x24+y23=1，消整理可得，‎ 故，即直线与椭圆有公共点，即为“型直线”，‎ 联立和，显然无交点，故不是“型直线”，‎ 联立和x24+y23=1，消整理可得，‎ 故，故不是“型直线”，‎ 联立和消整理可得，‎ 故，即直线与椭圆有公共点，即为“型直线”，‎ 故选：D ‎【点睛】本题考查了椭圆的定义以及椭圆的标准方程，此题属于圆锥曲线的新定义题目，同时考查了直线与椭圆位置关系的判断，属于中等题.‎ 第Ⅱ卷（共100分）‎ 二、填空题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.把答案填在题中横线上 ‎11.焦点坐标为和，且点在椭圆上，那么这个椭圆的标准方程___________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意列出方程，解方程求得的值，即可求出椭圆的标准方程.‎ ‎【详解】根据题意可得，，‎ 所以，解得，‎ 所以椭圆的标准方程为.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查了根据求椭圆的标准方程，求解时注意焦点的位置，属于基础题.‎ ‎12.已知正实数满足，那么的最大值是___________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用基本不等式即可求解.‎ ‎【详解】由为正实数，则，‎ 当且仅当，即时，取等号，‎ 所以，即的最大值是，‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查了基本不等式求积的最大值，注意验证等号成立的条件，属于基础题.‎ ‎13.设直线与椭圆相交于、两点，则线段中点的坐标是_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接联立直线方程和椭圆方程，化为关于的一元二次方程后利用根与系数关系即可求解.‎ ‎【详解】设，，‎ 联立 ，得，‎ 所以，则线段中点的横坐标为 代入，得，‎ 所以线段中点的坐标是.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查了中点坐标公式，考查了根与系数的关系，属于基础题.‎ ‎14.数列中，，，则___________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接根据已知递推关系式利用累加法求数列的通项公式.‎ ‎【详解】，‎ ‎，‎ 验证时成立.‎ ‎.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查了递推关系式求数列的通项公式，考查了累加法的应用，属于基础题.‎ ‎15.已知关于的不等式的解集为或，则_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ 由一元二次不等式与一元二次方程的关系，可得和是相应方程的两个实根，由根与系数的关系建立关于的方程组，解之即可得到实数的值，进而求出比值.‎ ‎【详解】根据题意，得方程的两个根为和，‎ 由根与系数的关系，得，解得，‎ 所以.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查了一元二次不等式与一元二次方程的关系，考查了韦达定理的应用，属于基础题.‎ ‎16.若椭圆的离心率为，则椭圆长轴长为____________.‎ ‎【答案】或 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先将方程转化为标准方程，进而能够得出，然后求出，从而得出长轴长,‎ ‎【详解】椭圆即，‎ 当椭圆的焦点在轴上时，‎ ‎，，‎ 由，得，‎ ‎，解得，‎ ‎，即长轴长为，‎ 当椭圆的焦点在轴上时，，‎ ‎，即长轴长，‎ 综上所述，椭圆长轴长为或.‎ 故答案为：或 ‎【点睛】本题考查了椭圆的几何性质，考查了分类讨论的思想，属于基础题.‎ ‎17.已知函数，若的解集为，则的取值范围是_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数表达式的形式分类讨论的取值范围，当时，恒成立，当时，利用二次函数的图象与性质即可求解.‎ ‎【详解】函数，若的解集为，‎ 当时，则，显然恒成立；‎ 当时，则，解得，‎ 综上所述，的取值范围为. 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查了一元二次不等式恒成立求参数的取值范围，考查了分类讨论的思想，属于基础题.‎ ‎18.数列的各项排成如图所示的三角形形状，其中每一行比上一行增加两项，若，则位于第10行第10个的项是___________，在图中位于___________（填第几行的第几个）‎ ‎【答案】 (1). (2). 第行第列 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意可得第行个数为，且最后一个数为第个数，结合已知通项公式，以及等差数列的通项可得所求.‎ ‎【详解】由题意可得从上而下各行的个数为，‎ 第行个数为，且最后一个数为第个数，‎ 则第10行有个数，最后一个数为，‎ 可得第10行的第10个数为，‎ 由前行的个数之和为，‎ 由于时，，时，第行有个数，‎ 由，可得在图中位于第行第列，‎ 故答案为： ；第行第列 ‎【点睛】本题考查了由图找数列中的项，等差数列的通项公式，属于中档题.‎ 三、解答题：本大题共5小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.‎ ‎19.已知等差数列的公差为2，且，，成等比数列.‎ ‎（1）求的通项公式及前项和；‎ ‎（2）求数列前10项和.‎ ‎【答案】（1）；；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用等比中项求出，再利用等差数列的通项公式以及前和公式即可求解. ‎ ‎（2）讨论值，判断出数列从第几项开始为正，再利用等差数列的前和公式即可求解.‎ ‎【详解】（1）等差数列的公差为，，，‎ ‎，，成等比数列，则，解得，‎ 故等差数列的首项为，公差为.‎ 所以，‎ ‎.‎ 综上所述，；；‎ ‎（2）由（1）可得当时，，当时，.‎ ‎.‎ ‎【点睛】本题考查了等差数列的通项公式，等比中项的应用以及等差数列的前和公式，需熟记公式，属于基础题.‎ ‎20.围建一个面积为40平方米的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（旧墙足够长），利用的旧墙需维修，其它三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为‎2米的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用为5元/米，新墙的造价为20元/‎ 米，设利用的旧墙的长度为（单位：米），修建此矩形场地围墙的总费用为（单位：元）‎ ‎（1）将表示为的函数；‎ ‎（2）试确定，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用.‎ ‎【答案】（1）；（2）当米时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是元.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）设矩形的另一边长为米，则根据围建的矩形场的面积为40平方米，易得，此时再根据旧墙的维修费用为5元/米，新墙的造价为20元/米，即可得到修建围墙的总费用表示为的函数的解析式.‎ ‎（2）根据（1）所得的解析式，利用基本不等式，易求出修建此矩形场地围墙的总费用最小值，及相应的值.‎ ‎【详解】（1）设矩形的另一边长为米，‎ 则，‎ 由已知，得，‎ 所以.‎ ‎（2） 因为，所以，‎ 所以，‎ 当且仅当，即时，等号成立.‎ 即当米时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是元.‎ ‎【点睛】本题考查基本不等式的实际应用，考查利用基本不等式求最值，注意验证等号成立的条件，属于基础题.‎ ‎21.已知函数，.‎ ‎（Ⅰ）当时，求满足的的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）解关于的不等式；‎ ‎（Ⅲ）若对于任意的，均成立，求的取值范围．‎ ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）见解析Ⅲ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（I）当时，解一元二次不等式求得的取值范围.（II）化简为一元二次不等式的形式并因式分解，对分成三类，求得不等式的解集.（III）将不等式分离常数，变为，根据的取值范围，求得的取值范围.‎ ‎【详解】（Ⅰ）当时，，所以，即 ‎ 解得.‎ 所以的解集为. ‎ ‎（Ⅱ） 由，得 ，‎ 所以 ，‎ 当时，解集为；当 时，解集为空集；当时，解集为.‎ ‎（Ⅲ），即 ，所以 .‎ 因为对于任意的，均成立.‎ 所以对于任意的，均成立. ‎ 所以 .‎ 即的取值范围是.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查含有参数的一元二次不等式分类讨论，考查恒成立问题的解法.属于中档题.‎ ‎22.已知椭圆长轴是短轴的倍，且右焦点为.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）直线交椭圆于两点，若线段中点的横坐标为，求直线的方程及的面积.‎ ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）1‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（I）根据焦点坐标求得，根据长轴和短轴的对应关系，以及列方程组，可求得的值，进而求得椭圆的标准方程.（II）联立直线的方程和椭圆的方程，消去并化简，写出韦达定理，根据中点的横坐标求得的值.利用弦长公式求得，利用点到直线的距离公式求得焦点到直线的距离，由此求得三角形的面积.‎ ‎【详解】（Ⅰ）因为长轴是短轴的倍，所以. ‎ 因为焦点的坐标为，所以.‎ 结合，得.‎ 所以椭圆方程为.‎ ‎（Ⅱ）设，.‎ 由得.‎ 则.‎ 因为线段中点横坐标为，‎ 所以 .‎ 解得 ，即（符合题意） ‎ 所以直线的方程为， ‎ 因为 . ‎ 点到直线的距离. ‎ 所以的面积 .‎ 即的面积等于.‎ ‎【点睛】本小题主要考查椭圆标准方程的求解，考查椭圆的几何性质，考查直线和椭圆的位置关系，考查有关椭圆的三角形的面积和弦长公式.在解有关椭圆方程的题目过程中，主要是根据题意，列出有关三个量的关系式，解方程组求得的值，也即求得了椭圆的标准方程.‎ ‎23.已知：数列中，，，.‎ ‎（1）求证：数列是等比数列；‎ ‎（2）求数列的前项和；‎ ‎（3）比较与的大小，并说明理由.‎ ‎【答案】（1）证明见详解；（2）；（3）见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）整理题设得，进而可判断数列是等比数列.‎ ‎（2）由（1）可得数列的通项公式，进而可得的通项公式，根据等比和等差数列的求和公式，求得.‎ ‎（3）把（2）中求得的代入，整理后根据，即可比较出大小.‎ ‎【详解】（1）由题设，得，，‎ 又，所以数列是首项为，且公比为的等比数列. ‎ ‎（2）由（1）可知，于是数列的通项公式为，‎ 所以数列的前项和..‎ ‎（3）对任意的，‎ ‎，‎ 当时，，即；当时，，即.‎ 综上所述，当时，；当时，.‎ ‎【点睛】本题考查了递推关系式判断数列的性质，等比数列的定义、等比数列和等差数列的求和公式，作差法比较大小，属于中档题.‎