2021版高考数学一轮复习第九章平面解析几何9-8

2021版高考数学一轮复习第九章平面解析几何9-8

‎9.8.3 圆锥曲线的范围问题 考点一　几何法求范围 ‎ ‎1.已知直线l1:mx-y+m=0与直线l2:x+my-1=0的交点为Q,椭圆+y2=1的焦点为F1,F2,则|QF1|+|QF2|的取值范围是 (　　)‎ A.[2,+∞) B.[2,+∞)‎ C.[2,4] D.[2,4]‎ ‎2.(2020·绵阳模拟)设点P是抛物线C:y2=4x上的动点,Q是C的准线上的动点,直线l过Q且与OQ(O为坐标原点)垂直,则点P到l的距离的最小值的取值范围是 (　　)‎ A.(0,1) B.(0,1] C.[0,1] D.(0,2]‎ ‎3.过双曲线-=1(a>0,b>0)的右顶点且斜率为2的直线,与该双曲线的右支交于两点,则此双曲线离心率的取值范围为________.  ‎ ‎【解析】1.选D.椭圆+y2=1的焦点为:F1(-,0),‎ F2(,0),由l1与l2方程可知l1⊥l2,‎ 直线l1:mx-y+m=0与直线l2:x+my-1=0的交点为Q,且两条直线分别经过定点(-1,0),(1,0),‎ 所以它们的交点Q满足:x2+y2=1(x≠-1),‎ 当Q与(1,0)重合时,|QF1|+|QF2|取最小值为|F‎1F2|=2,‎ 当Q与短轴端点重合时,|QF1|+|QF2|取最大值为‎2a=4,所以|QF1|+|QF2|的取值范围是[2,4].‎ ‎2.选B.抛物线C的准线方程是x=-1,‎ 若点Q的坐标为(-1,0),此时直线l的方程为x=-1,显然点P到直线l的距离的最小值是1,‎ 若点Q的坐标为(-1,t),其中t≠0,‎ - 16 -‎ 则直线OQ的斜率为kOQ==-t,‎ 直线l的斜率为kl==,‎ 直线l的方程为y-t=(x+1),即x-ty+t2+1=0,‎ 设与直线l平行且与抛物线C相切的直线方程为x-ty+m=0,代入抛物线方程得y2-4ty+‎4m=0,所以Δ=16t2‎-16m=0,解得m=t2,所以与直线l平行且与抛物线C相切的直线方程为x-ty+t2=0,所以点P到直线l的距离的最小值为直线x-ty+t2+1=0与直线x-ty+t2=0的距离,即d==,‎ 因为t≠0,所以00,b>0)的右顶点且斜率为2的直线,与该双曲线的右支交于两点,可得<2.所以e==<=,因为e>1,所以1b>0),左右焦点分别为F1,F2,R为短轴的一个端点,且△RF‎1F2的面积为.设过原点的直线l与椭圆C交于A,B两点,P为椭圆C上异于A,B的一点,且直线PA,PB的斜率都存在,kPAkPB=-.‎ ‎(1)求a,b的值.‎ ‎(2)设Q为椭圆C上位于x轴上方的一点,且QF1⊥x轴,M,N为椭圆C上不同于Q的两点,且∠MQF1=∠NQF1,设直线MN与y轴交于点D(0,d),求d的取值范围.‎ ‎【解题导思】‎ - 16 -‎ 序号 题目拆解 ‎(1)‎ 求参数a,b 点差法转化kPAkPB=-,结合△RF‎1F2的面积列出方程组求解 ‎(2)‎ ‎①设直线QM的方程 将两角相等转化为两直线QM,QN斜率之间的关系 ‎②求直线MN的斜率 将直线方程与椭圆方程联立,分别求出M、N点的横坐标,利用两点坐标表示出直线MN的斜率.‎ ‎③求d所满足的不等式 将直线MN的方程与椭圆方程联立,由位置关系列出不等关系 ‎④解不等式求范围 解所得不等式即可求得d的取值范围 ‎【解析】(1)设A(x1,y1),P(x2,y2),则B(-x1,-y1),‎ 进一步得,+=1,+=1,‎ 两个等式相减得,+=0,‎ 所以·=-,‎ 所以kPA·kPB=-,‎ 因为kPA·kPB=-,‎ 所以-=-,‎ - 16 -‎ 即=,设b=t,a=2t(t>0),‎ 因为a2=b2+c2,所以c=t,‎ 由△RF‎1F2的面积为得,=,即bc=,即t2=,t=1,所以a=2,b=.‎ ‎(2)设直线QM的斜率为k,‎ 因为∠MQF1=∠NQF1,‎ 所以QM,QN关于直线QF1对称,‎ 所以直线QN的斜率为-k,‎ 算得F1(-1,0),Q,‎ 所以直线QM的方程是y-=k(x+1),‎ 设M(x3,y3),N(x4,y4)‎ 由 消去y得,‎ ‎(3+4k2)x2+(12+8k)kx+(4k2+12k-3)=0,‎ 所以-1·x3=,所以x3=,‎ 将上式中的k换成-k得,x4=,‎ - 16 -‎ 所以kMN====- ,‎ 所以直线MN的方程是y=-x+d,‎ 代入椭圆方程+=1得,x2-dx+d2-3=0,‎ 所以Δ=(-d)2-4(d2-3)>0,‎ 所以-2-×(-1)+d,‎ 所以-2b>0)的上顶点和左焦点,若EF与圆x2+y2=相切于点T,且点T是线段EF靠近点E的三等分点.‎ ‎(1)求椭圆C的标准方程.‎ ‎(2)直线l:y=kx+m与椭圆C只有一个公共点P,且点P在第二象限,过坐标原点O且与l垂直的直线l′与圆x2+y2=8相交于A,B两点,求△PAB面积的取值范围.‎ - 16 -‎ ‎【解题导思】‎ 序号 题目拆解 ‎(1)‎ 求参数a,b 根据已知分别求出a,b的值.‎ ‎(2)‎ ‎①建立k,m的关系式 直线方程与椭圆方程联立,利用方程只有一解即可建立两者的关系式 ‎②求P到直线l′的距离 求P点坐标,代入距离公式求解 ‎③表示△PAB面积 利用三角形面积公式建立目标函数 ‎④求取值范围 根据目标函数的结构特征,利用基本不等式求解最值,从而确定其取值范围 ‎【解析】(1) OT2=ET·TF=a·a=,‎ a2=6,b2=OE2=OT2+ET2=2,‎ 椭圆C的标准方程为+=1.‎ ‎(2)由得,‎ ‎(3k2+1)x2+6kmx+‎3m2‎-6=0,‎ 因为直线l:y=kx+m与椭圆C相切于点P, 所以Δ=(‎6km)2-4(3k2+1)(‎3m2‎-6)=12(6k2+2-m2)=0,即m2=6k2+2,解得x=,y=,‎ 即点P的坐标为,‎ 因为点P在第二象限,所以k>0,m>0,‎ 所以m=,所以点P的坐标为 - 16 -‎ ‎,设直线l′与l垂直交于点Q,‎ 则|PQ|是点P到直线l′的距离,‎ 设直线l′的方程为y=-x,‎ 则|PQ|===,‎ 所以S△PAB=×4×|PQ|=≤==4-4,‎ 当且仅当3k2=,即k2=时,取得最大值4-4,所以△PAB面积的取值范围为(0,4-4].‎ ‎1.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的焦距为2,且C与y轴交于A(0,-1),B(0,1)两点.‎ ‎(1)求椭圆C的标准方程.‎ ‎(2)设P点是椭圆C上的一个动点且在y轴的右侧,直线PA,PB与直线x=3交于M,N两点.若以MN为直径的圆与x轴交于E,F两点,求P点横坐标的取值范围.‎ - 16 -‎ ‎【解析】(1)由题意可得,b=1,c=,所以a=2, 椭圆C的标准方程为+y2=1.‎ ‎(2)方法一:设P(x0,y0)(00,又00),与椭圆x2+4y2=4联立得:(1+4)x2-8k1x=0,xP=,同理设直线BP的方程为y=k2x+1,可得xP=,由=,可得4k1k2=-1,所以M(3,3k1-1),‎ - 16 -‎ N(3,3k2+1),MN的中点为,所以以MN为直径的圆为(x-3)2+=.‎ 当y=0时,(x-3)2+=,所以(x-3)2=,‎ 因为MN为直径的圆与x轴交于E,F两点,所以>0,‎ 代入4k1k2=-1得:<0,所以0,‎ 整理得m2<4k2+3.①设A(x1,y1),B(x2,y2),‎ 则x1+x2=-,x1x2=.‎ 设点E的坐标为(x0,y0),‎ 则x0=-,‎ - 16 -‎ 所以y0=kx0+m=-+m=,‎ 所以点E的坐标为.‎ 所以直线l2的斜率为k′==.‎ 又直线l1和直线l2垂直,则·k=-1,所以m=-.‎ 将m=-代入①式,可得<4k2+3.‎ 解得k>或k<-.‎ 所以直线l1的斜率的取值范围为 ‎∪.‎ ‎1.(2020·南昌模拟)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,短轴长为2.‎ ‎(1)求椭圆C的标准方程.‎ ‎(2)设直线l:y=kx+m与椭圆C交于M,N两点,O为坐标原点,若kOM·kON=,求原点O到直线l的距离的取值范围.‎ - 16 -‎ ‎【解析】(1)由题知e==,2b=2,‎ 又a2=b2+c2,所以b=1,a=2,‎ 所以椭圆C的标准方程为+y2=1.‎ ‎(2)设M(x1,y1),N(x2,y2),‎ 联立方程 得(4k2+1)x2+8kmx+‎4m2‎-4=0,‎ 依题意,Δ=(‎8km)2-4(4k2+1)(‎4m2‎-4)>0,‎ 化简得m2<4k2+1,①‎ x1+x2=-,x1x2=,‎ y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2.‎ 若kOM·kON=,则=,‎ 即4y1y2=5x1x2,‎ 所以(4k2-5)x1x2+‎4km(x1+x2)+‎4m2‎=0,‎ 所以(4k2-5)·+‎4km·+‎4m2‎=0,‎ 即(4k2-5)(m2-1)-8k‎2m2‎+m2(4k2+1)=0,‎ 化简得m2+k2=②,‎ 由①②得0≤m2<,b>0)的离心率是,且椭圆经过点(0,1).‎ ‎(1)求椭圆C的标准方程.‎ ‎(2)若直线l1: x+2y-2=0与圆D:x2+y2-6x-4y+m=0相切.‎ ‎(ⅰ)求圆D的标准方程.‎ ‎(ⅱ)若直线l2过定点(3,0),与椭圆C交于不同的两点E,F,与圆D交于不同的两点M,N,求|EF|·|MN|的取值范围.‎ ‎【解析】(1) 因为椭圆经过点(0,1),‎ 所以=1,解得b2=1,‎ 因为e=,所以=,‎ 所以‎3a2=‎4c2=4(a2-1),解得a2=4.所以椭圆C的标准方程为+y2=1.‎ ‎(2)(ⅰ)圆D的标准方程为(x-3)2+(y-2)2=13-m,圆心为(3,2),‎ 因为直线l1: x+2y-2=0与圆D相切,‎ - 16 -‎ 所以圆D的半径r==, ‎ 所以圆D的标准方程为(x-3)2+(y-2)2=5.‎ ‎(ⅱ)由题可得直线l2的斜率存在, ‎ 设l2方程为y=k(x-3),‎ 由 消去y整理得(1+4k2)x2-24k2x+36k2-4=0,‎ 因为直线l2与椭圆C交于不同的两点E,F,‎ ‎ 所以Δ=(-24k2)2-4(1+4k2)(36k2-4)=16(1-5k2)>0,‎ 解得0≤k2<.设E(x1,y1),F(x2,y2),‎ 则x1+x2=,x1x2=,‎ 所以|EF|=‎ ‎=‎ ‎=4,‎ ‎ 又圆D的圆心(3,2)到直线l2:kx-y-3k=0的距离d==,‎ 所以圆D截直线l2所得弦长|MN|=2‎ - 16 -‎ ‎=2, ‎ 设t=1+4k2∈,则k2=, ‎ 所以|EF|·|MN|=8=2,‎ 因为t∈,所以-9+50-25∈(0,16],‎ 所以|EF|·|MN|的取值范围为(0,8].‎ - 16 -‎