广州市 2020 届高三年级阶段训练题理科数学

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理科数学试题 第 1 页（共 5 页） 秘密★启用前 试卷类型：B 广州市 2020 届高三年级阶段训练题 理科数学 本试卷共 5 页，23 小题，满分 150 分。考试用时 120 分钟。 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上，并用 2B 铅笔在答题卡的相应位置填涂考生号，并将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息 点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。写在本试卷上无效。 3．作答填空题和解答题时，必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题 卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案； 不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。 4．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。 一、选择题: 本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的． 1. 已知复数 z 满足 1i z 2i ，则 z A. 2 B. 1 C. 2 2 D. 1 2 2. 已知集合  0,1,2,3A  ，  2 1,B x x n n A    ， P A B  ，则 P 的子集共有 A. 2 个 B. 4 个 C. 6 个 D. 8 个 3. sin80 cos50 cos140 sin10     A. 3 2 B. 3 2 C. 1 2 D. 1 2 4. 已知命题 p ： xR， 2 10xx   ；命题 q ： xR， 2 2xx  ，则下列命题中为真 命题的是 A. pq B. pq C. pq D. pq   5. 已知函数  fx满足    11f x f x   ，当 1x  时，   2f x x x，则    21x f x    A.  3xx 或 0x  B.  0xx 或 2x  C.  2xx 或 0x  D.  2xx 或 4x  理科数学试题 第 2 页（共 5 页） P' B P O A 2 O π x y 1 O π x y 2 O π x y 1 O π x y 6. 如图，圆O 的半径为1， A ， B 是圆上的定点，OB OA ， P 是圆上的动点， 点 P 关于直线OB 的对称点为 P，角 x 的始边为射线OA，终边为射线OP ， 将 OP OP   表示为 x 的函数  fx，则  y f x 在 0, 上的图像大致为 A. B. C. D. 7. 陀螺是中国民间最早的娱乐工具，也称陀罗. 如图，网格纸上小正方形 的边长为1，粗线画出的是某个陀螺的三视图，则该陀螺的表面积为 A.  7 2 2 B.  10 2 2 C.  10 4 2 D.  11 4 2 8. 某人造地球卫星的运行轨道是以地心为一个焦点的椭圆， 其轨道的离心率为 e ，设地球 半径为 R ，该卫星近地点离地面的距离为 r ，则该卫星远地点离地面的距离为 A. 12 11 eerRee   B. 1 11 eerRee   C. 12 11 eerRee   D. 1 11 eerRee   9. 羽毛球混合双打比赛每队由一男一女两名运动员组成. 某班级从3 名男生 1A ， 2A ， 3A 和 3 名女生 1B ， 2B ， 3B 中各随机选出两名，把选出的 4 人随机分成两队进行羽毛球混合双 打比赛，则 1A 和 1B 两人组成一队参加比赛的概率为 A. 1 9 B. 2 9 C. 1 3 D. 4 9 10. 已知 1F ， 2F 是双曲线 2 2 2:1xCya  0a  的两个焦点，过点 1F 且垂直于 x 轴的直线 与C 相交于 A ， B 两点，若 2AB  ，则△ 2ABF 的内切圆的半径为 A. 2 3 B. 3 3 C. 22 3 D. 23 3 理科数学试题 第 3 页（共 5 页） 11. 已知函数  fx的导函数为  fx ，记    1f x f x ，    21f x f x ，…，    1nnf x f x  (nN * ) . 若   sinf x x x ，则    2019 2021f x f x A. 2cos x B. 2sin x C. 2cosx D. 2sin x 12. 已知正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 的棱长为 2 ，E ，F ，G 分别是棱 AD ， 1CC ， 11CD的 中点，给出下列四个命题: ① 1EF B C ; ② 直线 FG 与直线 1AD所成角为 60 ; ③ 过 ， ， 三点的平面截该正方体所得的截面为六边形; ④ 三棱锥 B EFG 的体积为 5 6 . 其中，正确命题的个数为 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题: 本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分． 13. 设向量a  ,1 m ， b  2,1 ，且 ab  221 2 ab ，则 m . 14. 某种产品的质量指标值 Z 服从正态分布 2( , )N  ，且 ( 3 3 )PZ       0.9974 ． 某用户购买了10000件这种产品，则这 件产品中质量指标值位于区间 ( 3 , 3 )   之外的产品件数为 ． 15.  523 2 1xx的展开式中， 2x 的系数是 . (用数字填写答案) 16. 已知△ ABC 的三个内角为 A ， B ，C ，且sin A ，sin B ，sinC 成等差数列， 则sin 2 2cosBB 的最小值为 ，最大值为 . （第 1 空 2 分，第 2 空 3 分） 三、解答题: 共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤．第 17～21 题为必考题， 每个试题考生都必须做答. 第 22、23 题为选考题，考生根据要求做答. （一）必考题：共 60 分． 17. (12 分) 记 nS 为数列 na 的前 n 项和， 1 12 2nn nSa  N . （1）求 1nnaa ； （2）令 2n n nb a a，证明数列 nb 是等比数列，并求其前 n 项和 nT . 理科数学试题 第 4 页（共 5 页） C B A P 62.0 62.5 63.0 63.5 64.0 64.5 65.0 0.075 0.100 0.200 0.225 0.650 0.750 零件尺寸/mm 频率 组距 18. (12 分) 如图，三棱锥 P ABC 中， PA PC ， AB BC ， 120APC ， 90ABC ， 3AC PB . （1）求证： AC PB ； （2）求直线 AC 与平面 PAB 所成角的正弦值. 19. (12 分) 某企业质量检验员为了检测生产线上零件的质量情况，从生产线上随机抽取了80 个零件进行 测量，根据所测量的零件尺寸（单位：mm），得到如下的频率分布直方图： （1）根据频率分布直方图，求这80 个零件尺寸的中位数（结果精确到 0.01）； （2）若从这 个零件中尺寸位于 62.5,64.5 之外的零件中随机抽取 4 个，设 X 表示尺 寸在 64.5,65 上的零件个数，求 的分布列及数学期望 EX ； （3）已知尺寸在 63.0,64.5 上的零件为一等品，否则为二等品，将这 个零件尺寸的 样本频率视为概率. 现对生产线上生产的零件进行成箱包装出售，每箱100 个. 企业在交付 买家之前需要决策是否对每箱的所有零件进行检验，已知每个零件的检验费用为 99 元. 若 检验，则将检验出的二等品更换为一等品；若不检验，如果有二等品进入买家手中，企业要 向买家对每个二等品支付500元的赔偿费用. 现对一箱零件随机抽检了11个，结果有1个二 等品，以整箱检验费用与赔偿费用之和的期望值作为决策依据，该企业是否对该箱余下的所 有零件进行检验？请说明理由. 理科数学试题 第 5 页（共 5 页） 20. (12 分) 已知函数   eln xbf x a x x，曲线  y f x 在点   1, 1f 处的切线方程为 22xy   e0 . （1）求 a ，b 的值； （2）证明函数  fx存在唯一的极大值点 0x ，且  0 2ln 2 2fx . 21. (12 分) 已知点 P 是抛物线 21:34C y x的顶点，A ，B 是C 上的两个动点，且 4PA PB     . （1）判断点  0,1D 是否在直线 AB 上？说明理由； （2）设点 M 是△ PAB 的外接圆的圆心，点 M 到 x 轴的距离为 d ，点  1,0N ， 求 MN d 的最大值. （二）选考题: 共 10 分. 请考生在第 22、23 题中任选一题作答. 如果多做，则按所做的 第一题计分. 22. [选修 4-4：坐标系与参数方程] (10 分) 已知曲线 1C 的参数方程为 cos , (1 sin , xt tyt      为参数 ) ， 曲线 2C 的参数方程为 sin , ( 1 cos 2 , x y      为参数). （1）求 1C 与 2C 的普通方程； （2）若 与 相交于 A ， B 两点，且 2AB  ，求sin 的值. 23. [选修 4-5：不等式选讲] (10 分) 已知 0a  ， 0b  ，且 1ab. （1）求 12 ab 的最小值； （2）证明： 22 25 12 ab b ab   .