江西省赣州市石城中学2020届高三上学期第六次周考数学（文）（B）试卷 含答案

江西省赣州市石城中学2020届高三上学期第六次周考数学（文）（B）试卷 含答案

数学（文 B）试卷 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的.） 1.已知 为虚数单位，复数 满足 ，则 （ ） A. B. C. D. 2.已知全集 ，集合 ， ，则 （ ） A. B. C. D. 3.已知 ， ， ，则 （ ） A. 2 B. C. 1 D. 0 4.如图是一个边长为 4 的正方形二维码，为了测算图中黑色部分的面积，在正方形区域内随 机投掷 800 个点，其中落入黑色部分的有 453 个点，据此可估计黑色部分的面积约为（　　） A. 11 B. 10 C. 9 D. 8 5.如图，用与底面成 45°角的平面截圆柱得一椭圆截线，则该椭圆的离心率为 （　　） A. B. C. D. 6.执行如图所示的程序框图，若输入 a 的值为 ，则输出的 S 的值是 ( ) A. B. C. D. 7.设 ， ， ，则 ， ， 的大小关系是（ ） A. B. C. D. 8.下列命题错误的是（ ） i z (1 )i z i+ = z = 1 4 1 2 2 2 2 {1,3,5,7}U = {1,3}A = }5,3{=B ( ) ( )U UA B∩ =  {3} {7} {3,7} {1,3,5} (1,1)a = ),2( mb = ( )a a b⊥ −   | |b = 2 2 2 3 3 3 2 1 3 1− 2 1− 1 2 7 4 20 63 0.32a = 23.0=b ( )2log 0.3mc m= + ( 1)m > a b c cba << cab << c b a< < acb << A. 命题“若 ，则 ”的逆否命题为“若 ，则 ” B. 若 ： ， .则 ： ， . C. 若复合命题：“ ”为假命题，则 ， 均为假命题 D. “ ”是“ ”的充分不必要条件 9.某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为（ ） A. B. C. D. 10.已知函数 的零点构成一个公差为 的等差数列，把 函数 的图象沿 轴向右平移 个单位，得到函数 的图象．关于函数 ，下 列说法正确的是( ) A. 在 上是增函数 B. 其图象关于直线 对称 C. 函数 是偶函数 D. 在区间 上的值域为 11.已知函数 为定义在 上的奇函数， 是偶函数，且当 时， ，则 （ ） A. -3 B. -2 C. -1 D. 0 12.已知函数 ，且 ，则实数 的取值范围是（ 　） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分） 13.函数 （ 且 ）恒过的定点坐标为______． 2 3 2 0x x− + = 1x = 1x ≠ 2 3 2 0x x− + ≠ p 0x∀ ≥ sin 1x≤ p¬ 0 0x∃ ≥ 0sin 1x > p q∧ p q 2x > 2 3 2 0x x− + > 4π 2π 4 3 π π ( ) ( )sin 3 cos 0f x x xω ω ω= + > 2 π ( )f x x 6 π ( )g x ( )g x ,4 2 π π     2x π= ( )g x 2,6 3 π π     3,2 −  ( )f x R ( 2)f x + (0,2]x∈ ( )f x x= ( 2018) (2019)f f− + = ( ) ( ) ( ) 31ln3 ln3 x xf x x   = −     ( ) 02 >−xf x ( )1,+∞ ( )2,+∞ ( ) ( ),2 2,−∞ +∞ ( ),−∞ +∞ ( ) ( )log 3 2 2f x a x= − + 0a > 1a ≠ 13.已知实数 ， 满足约束条件 ，求目标函数 的最小值__________. 15.已知直线 与圆 相交于 两点，若 ，则 ______． 16. 的内角 的对边分别为 ，已知 ， ， 则 面积的最大值为__ 三、解答题（本大题共 6 个小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.已知等差数列 的前 项和为 ， ， ． （1）求数列 的通项公式； （2）求 的最大值． 18.为推进“千村百镇计划”，某新能源公司开展“电动新余绿色出行”活动，首批投放 200 台 型新能源车到新余多个村镇，供当地村民免费试用三个月.试用到期后，为了解男女试 用者对 型新能源车性能的评价情况，该公司要求每位试用者填写一份性能综合评分表（满 分为 100 分）.最后该公司共收回 600 份评分表，现从中随机抽取 40 份（其中男、女的评分 表各 20 份）作为样本，经统计得到如下茎叶图： （1）求 40 个样本数据的中位数 ； （2）已知 40 个样本数据 平均数 ，记 与 的较大值为 .该公司规定样本中试 用者的“认定类型”：评分不小于 的为“满意型”，评分小于 的为“需改进型”. ① 请根据 40 个样本数据，完成下面 列联表： 的 x y 3 2 1 x y x y x + ≤  − ≤  ≥ 2z x y= + :l y kx= 2 2 6 8 16 0x y x y+ − − + = ,A B 4 2AB = k = ABC∆ , ,A B C , ,a b c 2 sin (2 ) tanb C a b B= + 2 3c = ABC∆ { }na n nS 2 8 82a a+ = 41 9S S= { }na nS P P m 80a = m a M M M 2 2× 认定类型 性别 满意型 需改进型 合计 女性 20 男性 20 合计 40 并根据 列联表判断能否有 99%的把握认为“认定类型”与性别有关？ ② 为做好车辆改进工作，公司先从样本“需改进型”的试用者中按性别用分层抽样的方法， 从中抽取 8 人进行回访.根据回访意见改进车辆后，再从这 8 人中随机抽取 2 人进行二次试 用，求这 2 人中至少有一位女性的概率是多少？ 附： 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 19.如图，在三棱柱 中，四边形 是菱形，四边形 是矩形， 、 分别为棱 、 的中点. （1）求证： 平面 ； （2）若 ， ，且平面 平面 ，求四棱锥 的体积. 2 2× 2 2 ( ) ( )( )( )( ) n ad bcK a b c d a c b d −= + + + + 2( )P K k k ABM DCN− ABCD MADN E F MA DC //EF MNCB 2AB AM= = 120ABC∠ = ° MADN ⊥ ABCD E BCNM− 20.已知 两点在抛物线 上，点 满足 ． （1）若线段 ，求直线 的方程； （2）设抛物线 过 两点的切线交于点 ．求证：点 在一条定直线上． 21.已知函数 ． （Ⅰ）求函数 的单调区间； （Ⅱ）若函数 存在两个极值点 ，并且 恒成立，求实数 a 的取值范围． 以下为选做题：共 10 分请考生从第 22、23 题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第 一题计分，作答时请写清题号. 22.已如直线 的参数方程为（ （ 为参数）.以原点 为极点. 轴的非 负半轴为极轴建立极坐标系. （1）求曲线 的极坐标方程： （2）若直线 （ ， ）与曲线 相交于 ， 两点，设线段 的 中点为 ，求 的最大值. ,A B yx 4:C 2 = ( )0,4M MA BMλ=  12 2AB = AB C A B、 N N ( ) 1 1ln 12f x x mx x = − − − ( )f x ( ) ( ) 1g x xf x= + ( )1 2 1 2,x x x x< 2 1 2 1 2 1 ln ln axx x x x − > − C 1 2cos 1 2sin x y θ θ = − +  = + θ O x C :l θ α= [0, )α π∈ Rρ ∈ C A B AB M | |OM 23.已知函数 ． （1）当 时，解不等式 ． （2）若存在 满足 ，求实数 的取值范围． ( ) 1 2 ,f x x x m m R= − + − ∈ 3m = ( ) 3f x ≥ 0x ( )0 02 1f x x< − − m 数学（文 B）答案 一、选择题: CBACA CBCBD CC 二、填空题 13 14. -1 15. 或 16. 三、解答题（本大题共 6 个小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.【答案】（1） ；（2）625 18. 【详解】解：（1）由茎叶图知中位数 ， （2）因为 ， ，所以 . ①由茎叶图知，女性试用者评分不小于 81 的有 15 个， 男性试用者评分不小于 81 的有 5 个，根据题意得 列联表： 可得： ， 所以有 99%的把握认为“认定类型”与性别有关. ②由①知从样本“需改进型”的试用者中按性别用分层抽样的方法， 抽出女性 2 名，男性 6 名. 记抽出的 2 名女性为； ， ；记抽出的 6 名男性为： ， ， ， ， ， 从这 8 人中随机抽取 2 人进行二次试用的情况有：共有 28 种： 其中 2 人中至少一名女性的情况有：共有 13 种： 所以 2 人中至少一名女性的概率是： 19.【详解】证明：（1）取 的中点 ，连接 ， ， 因为 且 ， 又因为 ， 分别为 ， 的中点， 且 ， 所以 与 平行且相等，所以四边形 是平行四边形， 所以 ， 又 平面 ， 平面 ， 所以 平面 . 认定类型 性别 满意型 需改进型 合计 女性 15 5 20 男性 5 15 20 合计 20 20 40 ( )1,2 3 6 2 4 + 3 6 2 4 − 3 51 2na n= − 80 82 812m += = 81m = 80a = 81M = 2 2× 2 2 40 (15 15 5 5) 10 6.63520 20 20 20K × × − ×= = >× × × A B a b c d e f 28 13=P NC G FG MG / /ME ND 1 2ME ND= F G DC NC / /FG ND 1 2FG ND= FG ME MEFG / /EF MG MG ⊂ MNCB EF ⊄ MNCB //EF MNCB （2）取 的中点 ，在 中， ， ， ， ∴ ， ∴ ，∴ ，即 . ∵平面 平面 ，平面 平面 ， 又 平面 ， ∴ 平面 . ， ∴即四棱锥 的体积为 . 20.【详解】（1）设 ， 与 联立得 ， ， ， ， 又 ，即 ， 解得： （舍），所以直线的方程 （2）证明：过点 的切线： ，①，过点 的切线： ，②， 联立①②得点 ，所以点 在定直线 上． 21.【详解】（Ⅰ）函数 的定义域为 ， ． 当 时， ，函数 在 单调递增； AD K ABK∆ 2AB = 1AK = 60BAK∠ = ° 2 2 2 2 cos60 3BK AB AK AB AK= + − × × ° = 2 2 2AB AK BK= + 90AKB∠ = ° AK BK⊥ MADN ⊥ ABCD MADN  ABCD AD= BK ⊂ ABCD ⊥BK MADN 2E BCNM E BMN A BMN B AMNV V V V− − − −= = = 1 1 2 3| | 2 33 3 3AMNS BK∆= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = E BCNM− 3 32 ( ) ( )1 1 2 2, , ,A x y B x y : 4ABl y kx= + 2 4x y= 2 4 16 0x kx− − = ( ) ( )2 24 4 16 16 64 0k k∆ = − − − = + > 1 2 1 24 , 16x x k x x+ = = − ( )22 2 2 1 2 1 21 · 4 1 ·4 +4AB k x x x x k k= + + − = + 12 2AB = 2 21 ·4 4 1 2 2k k+ + = 2 22, 7k k= = − 2 4y x= ± + A ( ) 2 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 4y x x x y x x x= − + = − B 2 2 2 1 1 2 4y x x x= − 1 2 , 42 x xN + −   N 4y = − ( )f x { }0x x > ( ) 2 2 2 2 2 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 mx x mx xf x mx x x x − + + − −= − + = = −′ 0m ≤ ( ) 0f x′ > ( )f x ( )0,+∞ 当 时，方程 的两根 ， ，且 ， ，则当 时， ， 单调递增； 当 ， ， 单调递减． 综上：当 时，函数 在 单调递增； 当 时， 时， 单调递增；当 时， 单调递减． （Ⅱ） ， ， ∵函数 存在两个极值点 ， ， ∴ ，则 ， ． ∴ 恒成立，即 恒成立， 即∵ ，∴ 令 ，则 ，令 ， ∴ ，∴ 在 单调递增． ∴ ． ∴ 在 单调递增， ，则 ． 22（I）曲线 C 的普通方程为 ， 0m > 2 2 2 0mx x− − = 1 1 1 2mx m − += 2 1 1 2mx m + += 1 0x < 2 0x > 1 1 20, mx m  + +∈    ( ) 0f x′ > ( )f x 1 1 2 ,mx m  + +∈ +∞    ( ) 0f x′ < ( )f x 0m ≤ ( )f x ( )0,+∞ 0m > 1 1 20, mx m  + +∈    ( )f x 1 1 2 ,mx m  + +∈ +∞    ( )f x ( ) 21ln 2g x x x mx x= − − ( ) lng x x mx=′ − ( )g x 1x 2x 1 1 2 2 lnx mx lnx mx =  = ( )2 1 2 1ln lnx x m x x− = − 2 1 2 1 ln lnx xm x x −= − ( ) ( )2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 ln lnln ln 2ln ln 2 2x xx x x x m x x x xx x −− = − = − = −− 2 1 2 1 2 1 ln ln axx x x x − > − ( )2 1 1 2 1 2 1 2 1 ln ln 2x x axx xx x x x − − >− − 2 1 0x x> > 2 1 2 1 1 2 lnx x xa x x −< 2 1 1xt x = > ( )2 1 lna t t< − ( ) ( )2 1 lng t t t= − ( ) ( )1 12ln 2 1 2ln 2g t t t tt t = + − = + −′ ( ) 2 2 1 0g t t t +′ = >′ ( )g t′ ( )1,+∞ ( ) ( )1 1 0g t g′ =′> > ( )g t ( )1,+∞ ( ) ( )1 0g t g> = 0a ≤ ( ) ( )2 2 21 1 2x y+ + − = 由 ，得 ； （II）解法 1：联立 和 ， 得 ， 设 、 ，则 ， 由 ， 得 ， 当 时，|OM|取最大值 ． 解法 2：由（I）知曲线 C 是以点 P 为圆心，以 2 为半径的圆，在直角坐标系中，直 线 的方程为 ，则 ， ∵ ， 当 时， ， ， ，当且仅 当 ，即 时取等号， ∴ ,即 的最大值为 ． 23【详解】（1） 时， 解得 或 ， ∴ 的解集为 ； （2）若存在 满足 等价于 有解， ∵ ，∴ ，解得 ， {x cos y sin ρ θ ρ θ = = 2 2 cos 2 sin 2 0ρ ρ θ ρ θ+ − − = θ α= 2 2 cos 2 sin 2 0ρ ρ θ ρ θ+ − − = ( )2 2 cos sin 2 0ρ ρ α α+ − − = ( )1,A ρ α ( )2 ,B ρ α ( )1 2 2 sin cos 2 2sin 4 πρ ρ α α α + = − = −   1 2 2OM ρ ρ+= 2 sin 24OM πα = − ≤   3 4 πα = 2 ( )1,1− l tany xα= ⋅ 2 1 tan 1 tan PM α α += + 2 2 2 2 2 1 tan| | | | 2 1 tan OM OP PM α α  += − = −  +  2 2tan1 1 tan α α= − + ,2 πα π ∈   tan 0α < 21 tan 2 tanα α+ ≥ 2 2 2 tan| | 1 21 tanOM α α= + ≤+ tan 1α = − 3 4 πα = 2OM ≤ OM 2 3m = 1 3x ≤ 7 3x ≥ ( ) 3f x ≥ 1 7| 3 3x x x ≤ ≥  或 0x ( )0 02 1f x x< − − 2 2 2 2x x m− + − < 2 2 2 2x x m m− + − ≥ − 2 2m − < 0 4m< <