2020年高中数学第四章微积分基本定理

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2020年高中数学第四章微积分基本定理

‎4.5.4 微积分基本定理 一、基础达标 ‎1.已知物体做变速直线运动的位移函数s=s(t),那么下列命题正确的是 ‎(  )‎ ‎①它在时间段[a,b]内的位移是s=s(t);‎ ‎②它在某一时刻t=t0时,瞬时速度是v=s′(t0);‎ ‎③它在时间段[a,b]内的位移是s=s′(ξi);‎ ‎④它在时间段[a,b]内的位移是s=s′(t)dt.‎ A.① B.①② C.①②④ D.①②③④‎ 答案 D ‎2.若F′(x)=x2,则F(x)的解析式不正确的是 ‎(  )‎ A.F(x)=x3‎ B.F(x)=x3‎ C.F(x)=x3+1‎ D.F(x)=x3+c(c为常数)‎ 答案 B 解析 若F(x)=x3,则F′(x)=3x2,这与F′(x)=x2不一致,故选B.‎ ‎3.(ex+2x)dx等于 ‎(  )‎ A.1 B.e-‎1 ‎‎ C.e D.e+1‎ 答案 C 解析 (ex+2x)dx=(ex+x2)|=(e1+12)-(e0+02)=e.‎ ‎4.已知f(x)=,则f(x)dx的值为 ‎(  )‎ A. B. C. D.- 答案 B 4‎ 解析 f(x)dx=x2dx+1dx=+1‎ ‎=+1=,故选B.‎ ‎5.设函数f(x)=ax2+c(a≠0),若f(x)dx=f(x0),0≤x0≤1,则x0的值为______.‎ 答案  解析 由已知得a+c=ax+c,∴x=,又∵0≤x0≤1,∴x0=.‎ ‎6.(2013·湖南)若x2dx=9,则常数T的值为________.‎ 答案 3‎ 解析 x2dx==T3=9,即T3=27,解得T=3.‎ ‎7.已知 (x3+ax+‎3a-b)dx=‎2a+6且f(t)=(x3+ax+‎3a-b)dx为偶函数,求a,b的值.‎ 解 ∵f(x)=x3+ax为奇函数,‎ ‎∴ (x3+ax)dx=0,‎ ‎∴ (x3+ax+‎3a-b)dx ‎= (x3+ax)dx+ (‎3a-b)dx ‎=0+(‎3a-b)[1-(-1)]=‎6a-2b.‎ ‎∴‎6a-2b=‎2a+6,即‎2a-b=3,①‎ 又f(t)= ‎=++(‎3a-b)t为偶函数,‎ ‎∴‎3a-b=0,②‎ 由①②得a=-3,b=-9.‎ 二、能力提升 ‎8.sin2dx等于 ‎(  )‎ A. B .-‎1 ‎‎ C.2 D. 答案 D 解析 sin2dx=dx==,故选D.‎ 4‎ ‎9.(2013·江西)若S1=x2dx,S2=dx,S3=exdx,则S1,S2,S3的大小关系为 ‎(  )‎ A.S1<S2<S3 B.S2<S1<S3‎ C.S2<S3<S1 D. S3<S2<S1‎ 答案 B 解析 S1=x2dx=x3S2==ln 2<1,S3=exdx=ex=e2-e=e(e-1)>,所以S2<S1<S3,选B.‎ ‎10.设f(x)=若f[f(1)]=1,则a=________.‎ 答案 1‎ 解析 因为x=1>0,所以f(1)=lg 1=0.又x≤0时,f(x)=x+3t2dt=x+t3|=x+a3,‎ 所以f(0)=a3.因为f[f(1)]=1,所以a3=1,解得a=1.‎ ‎11.设f(x)是一次函数,且f(x)dx=5,xf(x)dx=,求f(x)的解析式.‎ 解 ∵f(x)是一次函数,设f(x)=ax+b(a≠0),则 f(x)dx=(ax+b)dx=axdx+bdx=a+b=5,‎ xf(x)dx=x(ax+b)dx=(ax2)dx+bxdx=a+b=.‎ 由,得.即f(x)=4x+3.‎ ‎12.若函数f(x)=求f(x)dx的值.‎ 解 由积分的性质,知:‎ f(x)dx=f(x)dx+f(x)dx+f(x)dx ‎=x3dx+dx+2xdx ‎=‎ ‎=+-+- ‎=-++.‎ 三、探究与创新 ‎13.求定积分|x+a|dx.‎ 4‎ 解 (1)当-a≤-4即a≥4时,‎ 原式= (x+a)dx==‎7a-.‎ ‎(2)当-4<-a<3即-3<a<4时,‎ 原式=[-(x+a)]dx+ (x+a)dx ‎=-‎4a+8+ ‎=a2-a+.‎ ‎(3)当-a≥3即a≤-3时,‎ 原式= [-(x+a)]dx==-‎7a+.‎ 综上,得|x+a|dx= 4‎
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