2020高中数学 第三章方程的根与函数的零点

2020高中数学 第三章方程的根与函数的零点

课时分层作业(二十二)　方程的根与函数的零点 ‎(建议用时：40分钟)‎ ‎[学业达标练]‎ 一、选择题 ‎1．函数y＝x2－bx＋1有一个零点，则b的值为(　　)‎ A．2　　　　　　　　　 B．－2‎ C．±2 D．3‎ C　[因为函数有一个零点，所以Δ＝b2－4＝0，所以b＝±2.]‎ ‎2．函数f(x)＝2x－的零点所在的区间是(　　)‎ ‎【导学号：37102351】‎ A．(1，＋∞) B. C. D. B　[由f(x)＝2x－，得 f＝2－2<0，f(1)＝2－1＝1>0，‎ ‎∴f·f(1)<0.‎ ‎∴零点所在区间为.]‎ ‎3．已知函数f(x)＝则函数f(x)的零点为(　　)‎ A.，0 B．－2,0‎ C. D．0‎ D　[当x≤1时，由f(x)＝0，得2x－1＝0，所以x＝0；当x>1时，由f(x)＝0，得1＋log2x＝0，所以x＝，不成立，所以函数的零点为0，选D.]‎ ‎4．函数f(x)＝ax2＋bx＋c，若f(1)>0，f(2)<0，则f(x)在(1,2)上的零点(　　) ‎ ‎【导学号：37102352】‎ A．至多有一个 B．有一个或两个 C．有且仅有一个 D．一个也没有 C　[若a＝0，则f(x)＝ax2＋bx＋c是一次函数，由已知f(1)·f(2)<0，得只有一个零点；若a≠0，则f(x)＝ax2＋bx＋c为二次函数，若有两个零点，则应有f(1)·f(2)>0，与已知矛盾．故仅有一个零点．]‎ ‎5．若a0，‎ f(b)＝(b－c)(b－a)<0，‎ f(c)＝(c－a)(c－b)>0，‎ ‎∴f(x)的零点在分别位于(a，b)和(b，c)内．]‎ 二、填空题 ‎6．函数f(x)＝的零点是________. ‎ ‎【导学号：37102353】‎ ‎1　[令f(x)＝0，即＝0，即x－1＝0或ln x＝0，∴x＝1，故函数f(x)的零点为1.]‎ ‎7．设x0是方程ln x＋x＝4的根，且x0∈(k，k＋1)，k∈Z，则k＝________.‎ ‎2　[令f(x)＝ln x＋x－4，‎ 且f(x)在(0，＋∞)上递增，‎ ‎∵f(2)＝ln 2＋2－4<0，f(3)＝ln 3－1>0，‎ ‎∴f(x)在(2,3)内有解，∴k＝2.]‎ ‎8．函数f(x)＝x2－2x＋a在区间(－2,0)和(2,3)内各有一个零点，则实数a的取值范围是________. ‎ ‎【导学号：37102354】‎ ‎(－3,0)　[函数f(x)＝x2－2x＋a在区间(－2,0)和(2,3)内各有一个零点，由二次函数图象的性质，知即解得－30，‎ ‎∴f(1)·f(2)<0，又f(x)＝ln x＋x2－3的图象在(1,2)上是不间断的，所以f(x)在(1,2)上必有零点，‎ 又f(x)在(0，＋∞)上是递增的，所以零点只有一个．‎ - 4 -‎ ‎10．若函数f(x)＝ax2－x－1有且仅有一个负零点，求实数a的取值范围. ‎ ‎【导学号：37102355】‎ ‎[解]　①当a＝0时，由f(x)＝－x－1＝0得x＝－1，符合题意；‎ ‎②当a>0时，函数f(x)＝ax2－x－1为开口向上的抛物线，且f(0)＝－1<0，对称轴x＝>0，所以f(x)必有一个负实根，符合题意；‎ ‎③当a<0时，x＝<0，f(0)＝－1<0，所以Δ＝1＋‎4a＝0，即a＝－，‎ 此时f(x)＝－x2－x－1＝－2＝0，‎ 所以x＝－2，符合题意．综上所述a的取值范围是a≥0或a＝－.‎ ‎[冲A挑战练]‎ ‎1．若函数f(x)＝x2－ax＋b的两个零点是2和3，则函数g(x)＝bx2－ax－1的零点是(　　)‎ A．－1和 B．1和－ C.和 D．－和 B　[∵函数f(x)＝x2－ax＋b的两个零点是2和3，‎ ‎∴即 ‎∴g(x)＝6x2－5x－1，‎ ‎∴g(x)的零点为1和－，故选B.]‎ ‎2．（2018·全国卷Ⅰ）9．已知函数f(x)＝g(x)＝f(x)＋x＋a.若g(x)存在2个零点，则a的取值范围是(　　)‎ A．[－1,0) B．[0，＋∞)‎ C．[－1，＋∞) D．[1，＋∞)‎ C　[函数g(x)＝f(x)＋x＋a存在2个零点，即关于x的方程f(x)＝－x－a有2个不同的实根，即函数f(x)的图象与直线y＝－x－a有2个交点，作出直线y＝－x－a与函数f(x)的图象，如图所示，‎ 由图可知，－a≤1，解得a≥－1，故选C.]‎ ‎3．若方程|x2－4x|－a＝0有四个不相等的实根，则实数a的取值范围是________．‎ ‎(0,4)　[由|x2－4x|－a＝0，得a＝|x2－4x|，作出函数y＝|x2－4x|的图象，则由图象可知，要使方程|x2－4x|－a＝0有四个不相等的实根，则0＜a＜4.]‎ - 4 -‎ ‎4．已知函数f(x)＝3x＋x，g(x)＝log3x＋2，h(x)＝log3x＋x的零点依次为a，b，c，则a，b，c的大小关系是________. ‎ ‎【导学号：37102357】‎ a＜b＜c　[画出函数y＝3x，y＝log3x，y＝－x，y＝－2的图象，如图所示 观察图象可知，函数f(x)＝3x＋x，g(x)＝log3x＋2，h(x)＝log3x＋x的零点依次是点A，B，C的横坐标，由图象可知a＜b＜c.]‎ ‎5．已知函数f(x)＝x2－bx＋3.‎ ‎(1)若f(0)＝f(4)，求函数f(x)的零点；‎ ‎(2)若函数f(x)一个零点大于1，另一个零点小于1，求b的取值范围．‎ ‎[解]　(1)由f(0)＝f(4)得3＝16－4b＋3，即b＝4，所以f(x)＝x2－4x＋3，令f(x)＝0，‎ 即x2－4x＋3＝0得x1＝3，x2＝1，‎ 所以f(x)的零点是1和3.‎ ‎(2)因为f(x)的零点一个大于1，另一个小于1，如图．‎ 需f(1)<0，即1－b＋3<0，所以b>4.‎ 故b的取值范围为(4，＋∞)．‎ - 4 -‎