2020高中数学 第三章方程的根与函数的零点

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2020高中数学 第三章方程的根与函数的零点

课时分层作业(二十二) 方程的根与函数的零点 ‎(建议用时:40分钟)‎ ‎[学业达标练]‎ 一、选择题 ‎1.函数y=x2-bx+1有一个零点,则b的值为(  )‎ A.2          B.-2‎ C.±2 D.3‎ C [因为函数有一个零点,所以Δ=b2-4=0,所以b=±2.]‎ ‎2.函数f(x)=2x-的零点所在的区间是(  )‎ ‎【导学号:37102351】‎ A.(1,+∞) B. C. D. B [由f(x)=2x-,得 f=2-2<0,f(1)=2-1=1>0,‎ ‎∴f·f(1)<0.‎ ‎∴零点所在区间为.]‎ ‎3.已知函数f(x)=则函数f(x)的零点为(  )‎ A.,0 B.-2,0‎ C. D.0‎ D [当x≤1时,由f(x)=0,得2x-1=0,所以x=0;当x>1时,由f(x)=0,得1+log2x=0,所以x=,不成立,所以函数的零点为0,选D.]‎ ‎4.函数f(x)=ax2+bx+c,若f(1)>0,f(2)<0,则f(x)在(1,2)上的零点(  ) ‎ ‎【导学号:37102352】‎ A.至多有一个 B.有一个或两个 C.有且仅有一个 D.一个也没有 C [若a=0,则f(x)=ax2+bx+c是一次函数,由已知f(1)·f(2)<0,得只有一个零点;若a≠0,则f(x)=ax2+bx+c为二次函数,若有两个零点,则应有f(1)·f(2)>0,与已知矛盾.故仅有一个零点.]‎ ‎5.若a0,‎ f(b)=(b-c)(b-a)<0,‎ f(c)=(c-a)(c-b)>0,‎ ‎∴f(x)的零点在分别位于(a,b)和(b,c)内.]‎ 二、填空题 ‎6.函数f(x)=的零点是________. ‎ ‎【导学号:37102353】‎ ‎1 [令f(x)=0,即=0,即x-1=0或ln x=0,∴x=1,故函数f(x)的零点为1.]‎ ‎7.设x0是方程ln x+x=4的根,且x0∈(k,k+1),k∈Z,则k=________.‎ ‎2 [令f(x)=ln x+x-4,‎ 且f(x)在(0,+∞)上递增,‎ ‎∵f(2)=ln 2+2-4<0,f(3)=ln 3-1>0,‎ ‎∴f(x)在(2,3)内有解,∴k=2.]‎ ‎8.函数f(x)=x2-2x+a在区间(-2,0)和(2,3)内各有一个零点,则实数a的取值范围是________. ‎ ‎【导学号:37102354】‎ ‎(-3,0) [函数f(x)=x2-2x+a在区间(-2,0)和(2,3)内各有一个零点,由二次函数图象的性质,知即解得-30,‎ ‎∴f(1)·f(2)<0,又f(x)=ln x+x2-3的图象在(1,2)上是不间断的,所以f(x)在(1,2)上必有零点,‎ 又f(x)在(0,+∞)上是递增的,所以零点只有一个.‎ - 4 -‎ ‎10.若函数f(x)=ax2-x-1有且仅有一个负零点,求实数a的取值范围. ‎ ‎【导学号:37102355】‎ ‎[解] ①当a=0时,由f(x)=-x-1=0得x=-1,符合题意;‎ ‎②当a>0时,函数f(x)=ax2-x-1为开口向上的抛物线,且f(0)=-1<0,对称轴x=>0,所以f(x)必有一个负实根,符合题意;‎ ‎③当a<0时,x=<0,f(0)=-1<0,所以Δ=1+‎4a=0,即a=-,‎ 此时f(x)=-x2-x-1=-2=0,‎ 所以x=-2,符合题意.综上所述a的取值范围是a≥0或a=-.‎ ‎[冲A挑战练]‎ ‎1.若函数f(x)=x2-ax+b的两个零点是2和3,则函数g(x)=bx2-ax-1的零点是(  )‎ A.-1和 B.1和- C.和 D.-和 B [∵函数f(x)=x2-ax+b的两个零点是2和3,‎ ‎∴即 ‎∴g(x)=6x2-5x-1,‎ ‎∴g(x)的零点为1和-,故选B.]‎ ‎2.(2018·全国卷Ⅰ)9.已知函数f(x)=g(x)=f(x)+x+a.若g(x)存在2个零点,则a的取值范围是(  )‎ A.[-1,0) B.[0,+∞)‎ C.[-1,+∞) D.[1,+∞)‎ C [函数g(x)=f(x)+x+a存在2个零点,即关于x的方程f(x)=-x-a有2个不同的实根,即函数f(x)的图象与直线y=-x-a有2个交点,作出直线y=-x-a与函数f(x)的图象,如图所示,‎ 由图可知,-a≤1,解得a≥-1,故选C.]‎ ‎3.若方程|x2-4x|-a=0有四个不相等的实根,则实数a的取值范围是________.‎ ‎(0,4) [由|x2-4x|-a=0,得a=|x2-4x|,作出函数y=|x2-4x|的图象,则由图象可知,要使方程|x2-4x|-a=0有四个不相等的实根,则0<a<4.]‎ - 4 -‎ ‎4.已知函数f(x)=3x+x,g(x)=log3x+2,h(x)=log3x+x的零点依次为a,b,c,则a,b,c的大小关系是________. ‎ ‎【导学号:37102357】‎ a<b<c [画出函数y=3x,y=log3x,y=-x,y=-2的图象,如图所示 观察图象可知,函数f(x)=3x+x,g(x)=log3x+2,h(x)=log3x+x的零点依次是点A,B,C的横坐标,由图象可知a<b<c.]‎ ‎5.已知函数f(x)=x2-bx+3.‎ ‎(1)若f(0)=f(4),求函数f(x)的零点;‎ ‎(2)若函数f(x)一个零点大于1,另一个零点小于1,求b的取值范围.‎ ‎[解] (1)由f(0)=f(4)得3=16-4b+3,即b=4,所以f(x)=x2-4x+3,令f(x)=0,‎ 即x2-4x+3=0得x1=3,x2=1,‎ 所以f(x)的零点是1和3.‎ ‎(2)因为f(x)的零点一个大于1,另一个小于1,如图.‎ 需f(1)<0,即1-b+3<0,所以b>4.‎ 故b的取值范围为(4,+∞).‎ - 4 -‎
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