高考理科数学复习练习作业52

高考理科数学复习练习作业52

题组层级快练(五十二)‎ ‎1．下列关于线、面的四个命题中不正确的是(　　)‎ A．平行于同一平面的两个平面一定平行 B．平行于同一直线的两条直线一定平行 C．垂直于同一直线的两条直线一定平行 D．垂直于同一平面的两条直线一定平行 答案　C 解析　垂直于同一条直线的两条直线不一定平行，可能相交或异面．本题可以以正方体为例证明．‎ ‎2．设α，β，γ为平面，a，b为直线，给出下列条件：‎ ‎①a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α；②α∥γ，β∥γ；‎ ‎③α⊥γ，β⊥γ；④a⊥α，b⊥β，a∥b.‎ 其中能推出α∥β的条件是(　　)‎ A．①②　　　　　　　　 B．②③‎ C．②④ D．③④‎ 答案　C ‎3．若空间四边形ABCD的两条对角线AC，BD的长分别是8，12，过AB的中点E且平行于BD，AC的截面四边形的周长为(　　)‎ A．10 B．20‎ C．8 D．4‎ 答案　B 解析　设截面四边形为EFGH，F，G，H分别是BC，CD，DA的中点，∴EF＝GH＝4，FG＝HE＝6.∴周长为2×(4＋6)＝20.‎ ‎4．(2017·武汉市二中月考)已知正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，CC1＝2，E为CC1的中点，则直线AC1与平面BED的距离为(　　)‎ A．2 B. C. D．1‎ 答案　D 解析　连接AC交BD于点O，连接EO，则OE∥AC1.‎ ‎∴AC1到平面BED的距离，即为C1点到平面BED的距离，又C1E＝CE且CC1∩平面BED＝E，∴点C1到平面BED的距离等于C点到平面BED的距离．又BD⊥平面ECO.∴平面BED⊥平面ECO，过点C作CH⊥EO于点H，则CH即为点C到平面BED的距离，∴CH＝＝＝1.‎ ‎5．(2017·吉林省实验中学一模)已知两条不同直线l，m和两个不同的平面α，β，有如下命题：‎ ‎①若l⊂α，m⊂α，l∥β，m∥β，则α∥β；②若l⊂α，l∥β，α∩β＝m，则l∥m；③若α⊥β，l⊥β，则l∥α.‎ 其中正确的命题是________．‎ 答案　②‎ 解析　若一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行，所以①错误；若一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行，所以②正确；若α⊥β，l⊥β，则l∥α或l⊂α，所以③错误．‎ ‎6．在四面体ABCD中，M，N分别是△ACD，△BCD的重心，则四面体的四个面中与MN平行的是________．‎ 答案　平面ABC和平面ABD 解析　连接AM并延长交CD于E，连接BN并延长交CD于F.由重心的性质可知，E，F重合为一点，且该点为CD的中点E.由＝＝，得MN∥AB.因此MN∥平面ABC且MN∥平面ABD.‎ ‎7．过三棱柱ABC—A1B1C1的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB1A1平行的直线共有________条．‎ 答案　6‎ 解析　过三棱柱ABC—A1B1C1的任意两条棱的中点作直线，记AC，BC，A1C1，B1C1的中点分别为E，F，E1，F1，则直线EF，EF1，EE1，FF1，E1F，E1F1均与平面ABB1A1平行，故符合题意的直线共6条．‎ ‎8.如图，已知三个平面α，β，γ互相平行，a，b是异面直线，a与α，β，γ分别交于A，B，C三点，b与α，β，γ分别交于D，E，F三点，连接AF交平面β于G，连接CD交平面β于H，则四边形BGEH必为________．(在平行四边形，梯形中选一个)‎ 答案　平行四边形 解析　由题意知，直线a与AF确定平面ACF，由面面平行的性质定理，可得BG∥CF，同理有HE∥CF，所以BG∥HE.同理BH∥GE，所以四边形BGEH为平行四边形．‎ ‎9.如图所示，已知ABCD－A1B1C1D1是棱长为3的正方体，点E在AA1上，点F在CC1上，G在BB1上，且AE＝FC1＝B1G＝1，H是B1C1的中点．‎ ‎(1)求证：E，B，F，D1四点共面；‎ ‎(2)求证：平面A1GH∥平面BED1F.‎ 答案　(1)略　(2)略 解析　(1)连接FG.‎ ‎∵AE＝B1G＝1，∴BG＝A1E＝2.∴BG綊A1E，∴A1G∥BE.‎ 又∵C1F綊B1G，∴四边形C1FGB1是平行四边形．‎ ‎∴FG綊C1B1綊D1A1.∴四边形A1GFD1是平行四边形．‎ ‎∴A1G綊D1F，∴D1F綊EB.故E，B，F，D1四点共面．‎ ‎(2)∵H是B1C1的中点，∴B1H＝.又B1G＝1，∴＝.‎ 又＝，且∠FCB＝∠GB1H＝90°，∴△B1HG∽△CBF.‎ ‎∴∠B1GH＝∠CFB＝∠FBG，∴HG∥FB.‎ 又由(1)知，A1G∥BE，且A1G⊂平面A1GH，HG⊂平面A1GH，BF⊄平面A1GH，BE⊄平面A1GH，∴BF∥平面A1GH，BE∥平面A1GH.‎ 又∵BF∩BE＝B，∴平面A1GH∥平面BED1F.‎ ‎10.(2013·福建，文)如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，BC＝5，DC＝3，AD＝4，∠PAD＝60°.‎ ‎(1)当正视方向与向量的方向相同时，画出四棱锥P－ABCD的正视图(要求标出尺寸，并写出演算过程)；‎ ‎(2)若M为PA的中点，求证：DM∥平面PBC；‎ ‎(3)求三棱锥D－PBC的体积．‎ 答案　(1)略　(2)略　(3)8 解析　方法一：‎ ‎(1)在梯形ABCD中，过点C作CE⊥AB，垂足为E，由已知得，四边形ADCE为矩形，AE＝CD＝3.在Rt△BEC中，由BC＝5，CE＝4，依勾股定理，得BE＝3，从而AB＝6.‎ 又由PD⊥平面ABCD，得PD⊥AD.‎ 从而在Rt△PDA中，由AD＝4，∠PAD＝60°，‎ 得PD＝4.正视图如图所示．‎ ‎(2)取PB中点N，连接MN，CN.‎ 在△PAB中，∵M是PA中点，∴MN∥AB，MN＝AB＝3.‎ 又CD∥AB，CD＝3，∴MN∥CD，MN＝CD.‎ ‎∴四边形MNCD为平行四边形．∴DM∥CN.‎ 又DM⊄平面PBC，CN⊂平面PBC，∴DM∥平面PBC.‎ ‎(3)VD－PBC＝VP－DBC＝S△DBC·PD，又S△DBC＝6，PD＝4，所以VD－PBC＝8.‎ 方法二：(1)同方法一．‎ ‎(2)取AB的中点E，连接ME，DE.‎ 在梯形ABCD中，BE∥CD，且BE＝CD，‎ ‎∴四边形BCDE为平行四边形．∴DE∥BC.‎ 又DE⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，∴DE∥平面PBC.‎ 又在△PAB中，ME∥PB，ME⊄平面PBC，PB⊂平面PBC，‎ ‎∴ME∥平面PBC.‎ 又DE∩ME＝E，∴平面DME∥平面PBC.‎ 又DM⊂平面DME，∴DM∥平面PBC.‎ ‎(3)同方法一．‎ ‎11.如图所示，三棱柱ABC－A1B1C1，底面为正三角形，侧棱A1A⊥底面ABC，点E，F分别是棱CC1，BB1上的点，点M是线段AC上的动点，EC ‎＝2FB.当点M在何位置时，BM∥平面AEF?‎ 答案　当M为AC中点时，BM∥平面AEF.‎ 解析　方法一：如图所示，取AE的中点O，连接OF，过点O作OM⊥AC于点M.‎ ‎∵侧棱A1A⊥底面ABC，∴侧面A1ACC1⊥底面ABC.‎ ‎∴OM⊥底面ABC.‎ 又∵EC＝2FB，∴OM∥FB綊EC.‎ ‎∴四边形OMBF为矩形．∴BM∥OF.‎ 又∵OF⊂面AEF，BM⊄面AEF，故BM∥平面AEF，此时点M为AC的中点．‎ 方法二：如图所示，取EC的中点P，AC的中点Q，连接PQ，PB，BQ.‎ ‎∴PQ∥AE.∵EC＝2FB，∴PE綊BF，PB∥EF.‎ ‎∴PQ∥平面AEF，PB∥平面AEF.‎ 又PQ∩PB＝P，∴平面PBQ∥平面AEF.‎ 又∵BQ⊂面PQB，∴BQ∥平面AEF.‎ 故点Q即为所求的点M，此时点M为AC的中点．‎ ‎12．(2017·福建四地六校联考)一个多面体的直观图和三视图如图所示(其中M，N分别是AF，BC的中点)．‎ ‎(1)求证：MN∥平面CDEF；‎ ‎(2)求多面体A—CDEF的体积．‎ 答案　(1)略　(2) 解析　(1)证明　由三视图知，该多面体是底面为直角三角形的直三棱柱，‎ 且AB＝BC＝BF＝2，DE＝CF＝2，∴∠CBF＝90°.‎ 取BF中点G，连接MG，NG，由M，N分别是AF，BC中点，可知NG∥CF，MG∥EF.又MG∩NG＝G，CF∩EF＝F，‎ ‎∴平面MNG∥平面CDEF，∴MN∥平面CDEF.‎ ‎(2)作AH⊥DE于H，由于三棱柱ADE—BCF为直三棱柱，‎ ‎∴AH⊥平面CDEF，且AH＝.‎ ‎∴VA－CDEF＝S四边形CDEF·AH＝×2×2×＝.‎ ‎13.如图，ABCD与ADEF均为平行四边形，M，N，G分别是AB，AD，EF的中点．‎ ‎(1)求证：BE∥平面DMF；‎ ‎(2)求证：平面BDE∥平面MNG.‎ 答案　(1)略　(2)略 证明　(1)连接AE，则AE必过DF与GN的交点O，‎ 连接MO，则MO为△ABE的中位线，所以BE∥MO，‎ 又BE⊄平面DMF，MO⊂平面DMF，所以BE∥平面DMF.‎ ‎(2)因为N，G分别为平行四边形ADEF的边AD，EF的中点，所以DE∥GN，‎ 又DE⊄平面MNG，GN⊂平面MNG，所以DE∥平面MNG.‎ 又M为AB的中点，所以MN为△ABD的中位线，所以BD∥MN，‎ 又MN⊂平面MNG，BD⊄平面MNG，所以BD∥平面MNG，‎ 又DE与BD为平面BDE内的两条相交直线，所以平面BDE∥平面MNG.‎ ‎1．下列命题中正确的是________．‎ ‎①若直线a不在α内，则a∥α；‎ ‎②若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α；‎ ‎③若直线l与平面α平行，则l与α内的任意一条直线都平行；‎ ‎④如果两条平行线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行；‎ ‎⑤若l与平面α平行，则l与α内任何一条直线都没有公共点；‎ ‎⑥平行于同一平面的两直线可以相交．‎ 答案　⑤⑥‎ 解析　a∩α＝A时，a不在α内，‎ ‎∴①错；直线l与α相交时，l上有无数个点不在α内，故②错；l∥α时，α内的直线与l平行或异面，故③错；a∥b，b∥α时，a∥α或a⊂α，故④错；l∥α，则l与α无公共点，∴l与α内任何一条直线都无公共点，⑤正确；如图，长方体中，A1C1与B1D1都与平面ABCD平行，∴⑥正确．‎ ‎2．在三棱锥S－ABC中，△ABC是边长为6的正三角形，SA＝SB＝SC＝15，平面DEFH分别与AB，BC，SC，SA交于D，E，F，H.D，E分别是AB，BC的中点，如果直线SB∥平面DEFH，那么四边形DEFH的面积为________．‎ 答案　 解析　取AC的中点G，连接SG，BG.易知SG⊥AC，BG⊥AC，故AC⊥平面SGB，所以AC⊥SB.因为SB∥平面DEFH，SB⊂平面SAB，平面SAB∩平面DEFH＝HD，则SB∥HD.同理SB∥FE.又D，E分别为AB，BC的中点，则H，F也为AS，SC的中点，从而得HF綊AC綊DE，所以四边形DEFH为平行四边形．又AC⊥SB，SB∥HD，DE∥AC，所以DE⊥HD，所以四边形DEFH为矩形，其面积S＝HF·HD＝(AC)·(SB)＝.‎ ‎3．(2017·江西抚州一中)如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点．‎ ‎(1)证明：BC1∥平面A1CD；‎ ‎(2)设AA1＝AC＝CB＝2，AB＝2，求三棱锥C－A1DE的体积．‎ 答案　(1)略　(2)1‎ 解析　(1)证明：连接AC1交A1C于点F，则F为AC1的中点．‎ 又∵D是AB的中点，连接DF，则BC1∥DF.‎ ‎∵DF⊂平面A1CD，BC1⊄平面A1CD，∴BC1∥平面A1CD.‎ ‎(2)∵三棱柱ABC－A1B1C1是直三棱柱，∴AA1⊥CD.‎ ‎∵AC＝CB，D为AB的中点，∴CD⊥AB.‎ 又∵AA1∩AB＝A，∴CD⊥平面ABB1A1.‎ 由AA1＝AC＝CB＝2，AB＝2，得∠ACB＝90°.‎ ‎∴CD＝，A1D＝，DE＝，A1E＝3.‎ ‎∵A1D2＋DE2＝A1E2，∴DE⊥A1D.‎ ‎∴VC－A1DE＝××××＝1.‎ ‎4.正方形ABCD与正方形ABEF所在平面相交于AB，在AE，BD上各有一点P，Q，且AP＝DQ.求证：PQ∥平面BCE.‎ 思路 证明直线与平面平行可以利用直线与平面平行的判定定理，也可利用面面平行的性质．‎ 证明　方法一：(判定定理法)如图所示．‎ 作PM∥AB交BE于M，作QN∥AB交BC于N，连接MN.‎ ‎∵正方形ABCD和正方形ABEF有公共边AB，∴AE＝BD.‎ 又AP＝DQ，∴PE＝QB.‎ 又PM∥AB∥QN，∴＝＝，＝.∴＝.‎ ‎∴PM綊QN，即四边形PMNQ为平行四边形．‎ ‎∴PQ∥MN.又MN⊂平面BCE，PQ⊄平面BCE，∴PQ∥平面BCE.‎ 方法二：(判定定理法)如图，连接AQ，并延长交BC延长线于K，连接EK.‎ ‎∵AE＝BD，AP＝DQ，∴PE＝BQ，∴＝.‎ 又AD∥BK，∴＝，∴＝，∴PQ∥EK.‎ 又PQ⊄平面BCE，EK⊂平面BCE，‎ ‎∴PQ∥平面BCE.‎ 方法三：(性质定理法)如图，在平面ABEF内，过点P作PM∥BE，交AB于点M，连接QM.∴PM∥平面BCE.‎ ‎∵PM∥BE，∴＝.又AE＝BD，AP＝DQ，∴PE＝BQ.‎ ‎∴＝，∴＝.∴MQ∥AD.又AD∥BC，‎ ‎∴MQ∥BC，∴MQ∥平面BCE.又PM∩MQ＝M，‎ ‎∴平面PMQ∥平面BCE.又PQ⊂平面PMQ，∴PQ∥平面BCE.‎ ‎5．如图所示，正方体ABCD—A1B1C1D1中，M，N，E，F分别是棱A1B1，A1D1，B1C1，C1D1的中点．求证：平面AMN∥平面EFDB.‎ 证明　连接MF，∵M，F是A1B1，C1D1的中点，四边形A1B1C1D1为正方形，‎ ‎∴MF綊A1D1.又A1D1綊AD，∴MF綊AD.‎ ‎∴四边形AMFD是平行四边形．∴AM∥DF.‎ ‎∵DF⊂平面EFDB，AM⊄平面EFDB，∴AM∥平面EFDB，同理AN∥平面EFDB.‎ 又AM⊂平面ANM，AN⊂平面ANM，AM∩AN＝A，‎ ‎∴平面AMN∥平面EFDB.‎ ‎6.如图所示，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD＝AB＝2，E，F，G分别为PC，PD，BC的中点．‎ ‎(1)求证：PA∥平面EFG；‎ ‎(2)求三棱锥P—EFG的体积．‎ 答案　(1)略　(2) 解析　 (1)证明　如图，取AD的中点H，连接GH，FH.‎ ‎∵E，F分别为PC，PD的中点，∴EF∥CD.‎ ‎∵G，H分别是BC，AD的中点，∴GH∥CD.∴EF∥GH.‎ ‎∴E，F，H，G四点共面．‎ ‎∵F，H分别为DP，DA的中点，∴PA∥FH.‎ ‎∵PA⊄平面EFG，FH⊂平面EFG，∴PA∥平面EFG.‎ ‎(2)∵PD⊥平面ABCD，CG⊂平面ABCD，∴PD⊥CG.‎ 又∵CG⊥CD，CD∩PD＝D，∴GC⊥平面PCD.‎ ‎∵PF＝PD＝1，EF＝CD＝1，∴S△PEF＝EF·PF＝.‎ 又GC＝BC＝1，∴VP—EFG＝VG—PEF＝××1＝.‎ ‎7．(2017·枣庄模拟)如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，D是棱CC1的中点，问在棱AB上是否存在一点E，使DE∥平面AB1C1？若存在，请确定点E的位置；若不存在，请说明理由．‎ 答案　当点E是AB的中点时，DE∥平面AB1C1‎ 解析　方法一：存在点E，且E为AB的中点时，DE∥平面AB1C1，下面给出证明：‎ 如图，取BB1的中点F，连接DF，则DF∥B1C1，‎ ‎∵AB的中点为E，连接EF，则EF∥AB1，B1C1∩AB1＝B1，∴平面DEF∥平面AB1C1.‎ 而DE⊂平面DEF，∴DE∥平面AB1C1.‎ 方法二：假设在棱AB上存在点E，使得DE∥平面AB1C1.如图，取BB1的中点F，连接DF、EF，则DF∥B1C1，又DF⊄平面AB1C1，∴DF∥平面AB1C1，‎ 又DE∥平面AB1C1，DE∩DF＝D，∴平面DEF∥平面AB1C1，‎ ‎∵EF⊂平面DEF，∴EF∥平面AB1C1，‎ 又∵EF⊂平面ABB1，平面ABB1∩平面AB1C1＝AB1，∴EF∥AB1，‎ ‎∵点F是BB1的中点，∴点E是AB的中点．‎ 即当点E是AB的中点时，DE∥平面AB1C1.‎ ‎8.如图，在四棱锥P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，PD＝DC＝4，AD＝2，E为PC的中点．‎ ‎(1)求三棱锥A－PDE的体积；‎ ‎(2)AC边上是否存在一点M，使得PA∥平面EDM？若存在，求出AM的长；若不存在，请说明理由．‎ 答案　(1)　(2)AM＝时，PA∥平面EDM 解析　(1)因为PD⊥平面ABCD，所以PD⊥AD.‎ 又因为ABCD是矩形，所以AD⊥CD.‎ 因为PD∩CD＝D，所以AD⊥平面PCD，所以AD是三棱锥A－PDE的高．‎ 因为E为PC的中点，且PD＝DC＝4，所以S△PDE＝S△PDC＝×(×4×4)＝4.‎ 又AD＝2，所以VA－PDE＝AD·S△PDE＝×2×4＝.‎ ‎(2)取AC中点M，连接EM，DM，‎ 因为E为PC的中点，M是AC的中点，所以EM∥PA.‎ 又因为EM⊂平面EDM，PA⊄平面EDM，所以PA∥平面EDM.‎ 所以AM＝AC＝.‎ 即在AC边上存在一点M，使得PA∥平面EDM，AM的长为.‎