2009年北京市高考数学试卷（文科）【word版本、可编辑、附详细答案和解释】
2009年北京市高考数学试卷（文科）
一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）
1. 设集合A={x|-12
0，则cosθ=________．
10. 若数列{an}满足：a1=1，an+1=2an(n∈N*)，则a5=________；前8项的和S8=________．（用数字作答）
11. 若实数x，y满足x+y-2≥0，x≤4，y≤5，则s=x+y的最大值为________．
12. 已知函数f(x)=3xx≤1-xx>1 若f(x)=2，则x=________．
13. 椭圆x29+y22=1的焦点为F1、F2，点P在椭圆上，若|PF1|=4，则|PF2|=________，∠F1PF2的大小为________．
14. 设A是整数集的一个非空子集，对于k∈A，如果k-1∉A且k+1∉A，那么称k是A的一个“孤立元”，给定S={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有________个．
三、解答题（共6小题，满分80分）
15. 已知函数f(x)=2sin(π-x)cosx．
（1）求f(x)的最小正周期；
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（2）求f(x)在区间[-π6，π2]上的最大值和最小值．
16. 如图，四棱锥P-ABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，点E在棱PB上．
（1）求证：平面AEC⊥平面PDB；
（2）当PD=2AB，且E为PB的中点时，求AE与平面PDB所成的角的大小．
17. 某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是13，遇到红灯时停留的时间都是2min．
（1）求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率；
（2）求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间ξ的分布列及期望．
18. 设函数f(x)=x3-3ax+b(a≠0)．
(1)若曲线y=f(x)在点（2, f(2)）处与直线y=8相切，求a，b的值；
(2)求函数f(x)的单调区间与极值点．
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19. 已知双曲线C：x2a2-y2b2=1(a>0, b>0)的离心率为3，右准线方程为x=33．
（1）求双曲线C的方程；
（2）已知直线x-y+m=0与双曲线C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点在圆x2+y2=5上，求m的值．
20. 设数列{an}的通项公式为an＝pn+q(n∈N*, P>0)．数列{bn}定义如下：对于正整数m，bm是使得不等式an≥m成立的所有n中的最小值．
(Ⅰ)若p=12,q=-13，求b3；
(Ⅱ)若p＝2，q＝-1，求数列{bm}的前2m项和公式；
(Ⅲ)是否存在p和q，使得bm＝3m+2(m∈N*)？如果存在，求p和q的取值范围；如果不存在，请说明理由．
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参考答案与试题解析
2009年北京市高考数学试卷（文科）
一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）
1.A
【解答】
解：∵ A={x|-121-x=2⇒x=-2 无解，
13.2,120∘
【解答】
解：∵ |PF1|+|PF2|=2a=6，
∴ |PF2|=6-|PF1|=2．
在△F1PF2中，
cos∠F1PF2
=|PF1|2+|PF2|2-|F1F2|22|PF1|⋅|PF2|
=16+4-282×4×2=-12，
∴ ∠F1PF2=120∘．
故答案为：2；120∘
14.6
【解答】
解：依题意可知，没有与之相邻的元素是“孤立元”，
因而无“孤立元”是指在集合中有与k相邻的元素．
因此，符合题意的集合是：{1, 2, 3}，{2, 3, 4}，{3, 4, 5}，
{4, 5, 6}，{5, 6, 7}，{6, 7, 8}共6个．
故答案为：6．
三、解答题（共6小题，满分80分）
15.解：（1）∵ f(x)=2sin(π-x)cosx=2sinxcosx=sin2x，
∴ 函数f(x)的最小正周期为π．
（2）由-π6≤x≤π2⇒-π3≤2x≤π，
∴ -32≤sin2x≤1，
∴ f(x)在区间[-π6，π2]上的最大值为1，最小值为-32．
【解答】
解：（1）∵ f(x)=2sin(π-x)cosx=2sinxcosx=sin2x，
∴ 函数f(x)的最小正周期为π．
（2）由-π6≤x≤π2⇒-π3≤2x≤π，
∴ -32≤sin2x≤1，
∴ f(x)在区间[-π6，π2]上的最大值为1，最小值为-32．
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16.证明：∵ 四边形ABCD是正方形，∴ AC⊥BD，
∵ PD⊥底面ABCD，
∴ PD⊥AC，∴ AC⊥平面PDB，
∴ 平面AEC⊥平面PDB．
设AC∩BD＝O，连接OE，
由(Ⅰ)知AC⊥平面PDB于O，
∴ ∠AEO为AE与平面PDB所的角，
∴ O，E分别为DB、PB的中点，
∴ OE // PD，OE=12PD，
又∵ PD⊥底面ABCD，
∴ OE⊥底面ABCD，OE⊥AO，
在Rt△AOE中，OE=12PD=22AB=AO，
∴ ∠AEO＝45∘，即AE与平面PDB所成的角的大小为45∘．
【解答】
证明：∵ 四边形ABCD是正方形，∴ AC⊥BD，
∵ PD⊥底面ABCD，
∴ PD⊥AC，∴ AC⊥平面PDB，
∴ 平面AEC⊥平面PDB．
设AC∩BD＝O，连接OE，
由(Ⅰ)知AC⊥平面PDB于O，
∴ ∠AEO为AE与平面PDB所的角，
∴ O，E分别为DB、PB的中点，
∴ OE // PD，OE=12PD，
又∵ PD⊥底面ABCD，
∴ OE⊥底面ABCD，OE⊥AO，
在Rt△AOE中，OE=12PD=22AB=AO，
∴ ∠AEO＝45∘，即AE与平面PDB所成的角的大小为45∘．
17.解：（1）设这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯为事件A，
∵ 事件A等于事件“这名学生在第一和第二个路口没有遇到红灯，在第三个路口遇到红灯”，
∴ 事件A的概率为P(A)=(1-13)×(1-13)×13=427
（2）由题意可得ξ可能取的值为0，2，4，6，8（单位：min）
事件“ξ=2k”等价于事件“该学生在路上遇到k次红灯”(k=0, 1, 2, 3, 4)，
∴ P(ξ=2k)=C4k(13)k(23)4-k(k=0,1,2,3,4)，
∴ 即ξ的分布列是
ξ
0
2
4
6
8
P
1681
3281
827
881
181
∴ ξ的期望是Eξ=0×1681+2×3281+4×827+6×881+8×181=83
【解答】
解：（1）设这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯为事件A，
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∵ 事件A等于事件“这名学生在第一和第二个路口没有遇到红灯，在第三个路口遇到红灯”，
∴ 事件A的概率为P(A)=(1-13)×(1-13)×13=427
（2）由题意可得ξ可能取的值为0，2，4，6，8（单位：min）
事件“ξ=2k”等价于事件“该学生在路上遇到k次红灯”(k=0, 1, 2, 3, 4)，
∴ P(ξ=2k)=C4k(13)k(23)4-k(k=0,1,2,3,4)，
∴ 即ξ的分布列是
ξ
0
2
4
6
8
P
1681
3281
827
881
181
∴ ξ的期望是Eξ=0×1681+2×3281+4×827+6×881+8×181=83
18.解：(1)f'(x)=3x2-3a，
∵ 曲线y=f(x)在点（2, f(2)）处与直线y=8相切，
∴ f'(2)=0，f(2)=8，⇒3(4-a)=0，8-6a+b=8，⇒a=4，b=24.
(2)∵ f'(x)=3(x2-a)(a≠0)，
当a<0时，f'(x)>0，
函数f(x)在(-∞, +∞)上单调递增，此时函数f(x)没有极值点．
当a>0时，由f'(x)=0⇒x=±a，
当x∈(-∞,-a)时，f'(x)>0，函数f(x)单调递增，
当x∈(-a，a)时，f'(x)<0，函数f(x)单调递减，
当x∈(a，+∞)时，f'(x)>0，函数f(x)单调递增，
∴ 此时x=-a是f(x)的极大值点，x=a是f(x)的极小值点．
【解答】
解：(1)f'(x)=3x2-3a，
∵ 曲线y=f(x)在点（2, f(2)）处与直线y=8相切，
∴ f'(2)=0，f(2)=8，⇒3(4-a)=0，8-6a+b=8，⇒a=4，b=24.
(2)∵ f'(x)=3(x2-a)(a≠0)，
当a<0时，f'(x)>0，
函数f(x)在(-∞, +∞)上单调递增，此时函数f(x)没有极值点．
当a>0时，由f'(x)=0⇒x=±a，
当x∈(-∞,-a)时，f'(x)>0，函数f(x)单调递增，
当x∈(-a，a)时，f'(x)<0，函数f(x)单调递减，
当x∈(a，+∞)时，f'(x)>0，函数f(x)单调递增，
∴ 此时x=-a是f(x)的极大值点，x=a是f(x)的极小值点．
19.解：（1）由题意，得a2c=33ca=3，解得a=1,c=3，
∴ b2=c2-a2=2，
∴ 所求双曲线C的方程为x2-y22=1．
（2）设A、B两点的坐标分别为(x1, y1)，(x2, y2)，线段AB的中点为M(x0, y0)，
由x-y+m=0x2-y22=1得x2-2mx-m2-2=0（判别式△>0），
∴ x0=x1+x22=m，y0=x0+m=2m，
∵ 点M(x0, y0)在圆x2+y2=5上，
∴ m2+(2m)2=5，∴ m=±1．
【解答】
解：（1）由题意，得a2c=33ca=3，解得a=1,c=3，
∴ b2=c2-a2=2，
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∴ 所求双曲线C的方程为x2-y22=1．
（2）设A、B两点的坐标分别为(x1, y1)，(x2, y2)，线段AB的中点为M(x0, y0)，
由x-y+m=0x2-y22=1得x2-2mx-m2-2=0（判别式△>0），
∴ x0=x1+x22=m，y0=x0+m=2m，
∵ 点M(x0, y0)在圆x2+y2=5上，
∴ m2+(2m)2=5，∴ m=±1．
20.（1）由题意，得an=12n-13，
解12n-13≥3，得n≥203．
∴ 12n-13≥3成立的所有n中的最小正整数为7，即b3＝7．
（2）由题意，得an＝2n-1，
对于正整数m，由an≥m，得n≥m+12．
根据bm的定义可知
当m＝2k-1时，bm＝k(k∈N*)；
当m＝2k时，bm＝k+1(k∈N*)．
∴ b1+b2+...+b2m＝(b1+b3+...+b2m-1)+(b2+b4+...+b2m)＝(1+2+3+...+m)+[2+3+4+...+(m+1)]=m(m+1)2+m(m+3)2=m2+2m．
(Ⅲ)假设存在p和q满足条件，由不等式pn+q≥m及p>0得n≥m-qp．
∵ bm＝3m+2(m∈N*)，根据bm的定义可知，对于任意的正整数m都有3m+10（或3p-1<0）时，得m<-p+q3p-1（或m≤-2p+q3p-1），这与上述结论矛盾！
当3p-1＝0，即p=13时，得-23-q≤0<-13-q，
解得-23≤q<-13．（经检验符合题意）
∴ 存在p和q，使得bm＝3m+2(m∈N*)；p和q的取值范围分别是p=13，-23≤q<-13．
【解答】
（1）由题意，得an=12n-13，
解12n-13≥3，得n≥203．
∴ 12n-13≥3成立的所有n中的最小正整数为7，即b3＝7．
（2）由题意，得an＝2n-1，
对于正整数m，由an≥m，得n≥m+12．
根据bm的定义可知
当m＝2k-1时，bm＝k(k∈N*)；
当m＝2k时，bm＝k+1(k∈N*)．
∴ b1+b2+...+b2m＝(b1+b3+...+b2m-1)+(b2+b4+...+b2m)＝(1+2+3+...+m)+[2+3+4+...+(m+1)]=m(m+1)2+m(m+3)2=m2+2m．
(Ⅲ)假设存在p和q满足条件，由不等式pn+q≥m及p>0得n≥m-qp．
∵ bm＝3m+2(m∈N*)，根据bm的定义可知，对于任意的正整数m都有3m+10（或3p-1<0）时，得m<-p+q3p-1（或m≤-2p+q3p-1），这与上述结论矛盾！
当3p-1＝0，即p=13时，得-23-q≤0<-13-q，
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解得-23≤q<-13．（经检验符合题意）
∴ 存在p和q，使得bm＝3m+2(m∈N*)；p和q的取值范围分别是p=13，-23≤q<-13．
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