高中数学选修2-2教案第五章 习题课

高中数学选修2-2教案第五章 习题课

习题课　复　数 明目标、知重点 ‎1．巩固复数的概念和几何意义．‎ ‎2．理解并能进行复数的四则运算并认识复数加减法的几何意义．‎ ‎1．复数的四则运算 若两个复数z1＝a1＋b1i，z2＝a2＋b2i(a1，b1，a2，b2∈R)‎ ‎(1)加法：z1＋z2＝(a1＋a2)＋(b1＋b2)i；‎ ‎(2)减法：z1－z2＝(a1－a2)＋(b1－b2)i；‎ ‎(3)乘法：z1·z2＝(a1a2－b1b2)＋(a1b2＋a2b1)i；‎ ‎(4)除法：＝＋i(z2≠0)；‎ ‎(5)实数四则运算的交换律、结合律、分配律都适合于复数的情况；‎ ‎(6)特殊复数的运算：in(n为正整数)的周期性运算；‎ ‎(1±i)2＝±2i；若ω＝－±i，则ω3＝1,1＋ω＋ω2＝0.‎ ‎2．共轭复数与复数的模 ‎(1)若z＝a＋bi，则＝a－bi，z＋为实数，z－为纯虚数(b≠0)．‎ ‎(2)复数z＝a＋bi的模|z|＝，‎ 且z·＝|z|2＝a2＋b2.‎ ‎3．复数加、减法的几何意义 ‎(1)复数加法的几何意义 若复数z1、z2对应的向量、不共线，则复数z1＋z2是以、为两邻边的平行四边形的对角线所对应的复数．‎ ‎(2)复数减法的几何意义 复数z1－z2是连接向量、的终点，并指向Z1的向量所对应的复数．‎ 题型一　复数的四则运算 例1　(1)计算：＋2 012＋‎ ；‎ ‎(2)已知z＝1＋i，求的模．‎ 解　(1)原式＝＋1 006＋‎ ‎＝i＋(－i)1 006＋0＝－1＋i.‎ ‎(2)＝＝＝1－i，‎ ‎∴的模为.‎ 反思与感悟　复数的除法运算是复数运算中的难点，如果遇到(a＋bi)÷(c＋di)的形式，首先应该写成分式的形式，然后再分母实数化．‎ 跟踪训练1　(1)已知＝2＋i，则复数z等于(　　)‎ A．－1＋3i B．1－3i C．3＋i D．3－i 答案　B 解析　方法一　∵＝2＋i，∴＝(1＋i)(2＋i)＝2＋3i－1＝1＋3i，∴z＝1－3i.‎ 方法二　设z＝a＋bi(a，b∈R)，∴＝a－bi，‎ ‎∴＝2＋i，∴，z＝1－3i.‎ ‎(2)i为虚数单位，则2 011等于(　　)‎ A．－i B．－1‎ C．i D．1‎ 答案　A 解析　因为＝＝i，所以2 011＝i2 011＝i4×502＋3＝i3＝－i，故选A.‎ 题型二　复数的几何意义的应用 例2　已知点集D＝{z||z＋1＋i|＝1，z∈C}，试求|z|的最小值和最大值．‎ 解　点集D的图像为以点C(－1，‎ ‎－)为圆心，1为半径的圆，圆上任一点P对应的复数为z，则||＝|z|.‎ 由图知，当OP过圆心C(－1，－)时，与圆交于点A、B，则|z|的最小值是|OA|＝|OC|－1＝－1＝2－1＝1，即|z|min＝1；|z|的最大值是|OB|＝|OC|＋1＝2＋1＝3，即|z|max＝3.‎ 反思与感悟　复数和复平面内的点，以原点为起点的向量一一对应；复数加减法符合向量运算的平行四边形法则和三角形法则：|z1－z2|表示复数z1，z2对应的两点Z1，Z2之间的距离．‎ 跟踪训练2　已知复数z1，z2满足|z1|＝3，|z2|＝5，|z1－z2|＝，求|z1＋z2|的值．‎ 解　如图所示，设z1，z2对应点分别为A，B，以，为邻边作▱OACB，则对应的复数为z1＋z2.这里||＝3，||＝5，||＝.‎ ‎∴cos ∠AOB＝ ‎＝＝.‎ ‎∴cos ∠OBC＝－.又||＝||＝3，‎ ‎∴|z1＋z2|＝||‎ ‎＝＝.‎ 题型三　有关两个复数相等的问题 例3　设复数z和它的共轭复数满足4z＋2＝3＋i，求复数z.‎ 解　设z＝a＋bi(a，b∈R)．‎ 因为4z＋2＝3＋i，所以2z＋(2z＋2)＝3＋i.‎ ‎2z＋2＝2(a＋bi)＋2(a－bi)＝4a，整体代入上式，‎ 得2z＋4a＝3＋i.所以z＝＋.‎ 根据复数相等的充要条件，得 解得所以z＝＋.‎ 反思与感悟　两个复数相等是解决复数问题的重要工具．“复数相等”可以得到两个实数等式，为应用方程思想提供了条件，常用于确定系数，解复数方程等问题．‎ 跟踪训练3　是z的共轭复数，若z＋＝2，(z－)i＝2(i为虚数单位)，则z等于(　　)‎ A．1＋i B．－1－i C．－1＋i D．1－i 答案　D 解析　方法一　设z＝a＋bi，a，b为实数，则＝a－bi.‎ ‎∵z＋＝2a＝2，∴a＝1.‎ 又(z－)i＝2bi2＝－2b＝2，∴b＝－1.故z＝1－i.‎ 方法二　∵(z－)i＝2，∴z－＝＝－2i.‎ 又z＋＝2，∴(z－)＋(z＋)＝－2i＋2，‎ ‎∴2z＝－2i＋2，∴z＝1－i.‎ ‎1．若z∈C，且|z＋2－2i|＝1，则|z－2－2i|的最小值是(　　)‎ A．2 B．3 C．4 D．5‎ 答案　B ‎2．已知复数z＝1＋，则1＋z＋z2＋…＋z2 014为(　　)‎ A．1＋i B．1－i C．i D．1‎ 答案　C ‎3．设复数z满足关系：z＋||＝2＋i，那么z等于(　　)‎ A．－＋i B.＋i C．－－i D.－i 答案　B 解析　设z＝a＋bi(a，b∈R)，‎ 由已知a＋bi＋＝2＋i 由复数相等可得，∴，‎ 故z＝＋i.‎ ‎4．已知z1＝1＋2i，z2＝m＋(m－1)i，且两复数的乘积z1z2的实部和虚部为相等的正数，则实数m的值为________．‎ 答案　 解析　z1z2＝(1＋2i)[m＋(m－1)i]＝[m－2(m－1)]＋[2m＋(m－1)]i＝(2－m)＋(3m－1)i，所以2－m＝3m－1，即m＝，且能使2－m＝3m－1>0，满足题意．‎ ‎5．设复数z＝1＋i，且＝1－i，求实数a，b的值．‎ 解　因为z＝1＋i，‎ 所以z2＋az＋b＝(a＋2)i＋a＋b，z2－z＋1＝i，‎ 所以＝＝(a＋2)－(a＋b)i.‎ 又＝1－i.‎ 所以解得 ‎[呈重点、现规律]‎ ‎1．复数的四则运算按照运算法则和运算律进行运算，其中除法运算的关键是将分母实数化；‎ ‎2．复数的几何意义是数形结合思想在复数中的一大体现；‎ ‎3．利用两个复数相等可以解决求参数值(或范围)和复数方程等问题．‎ 一、基础过关 ‎1．复数＋的虚部是(　　)‎ A.i B. C．－i D．－ 答案　B 解析　＋＝＋＝－＋i.故选B.‎ ‎2．设z＝，则z的共轭复数为(　　)‎ A．－1＋3i B．－1－3i C．1＋3i D．1－3i 答案　D 解析　由z＝＝＝1＋3i，‎ 得＝1－3i.‎ ‎3．若(m2－5m＋4)＋(m2－2m)i>0，则实数m的值为(　　)‎ A．1 B．0或2 C．2 D．0‎ 答案　D 解析　由，得m＝0.‎ ‎4．设a，b∈R且b≠0，若复数(a＋bi)3是实数，则(　　)‎ A．b2＝3a2 B．a2＝3b2‎ C．b2＝9a2 D．a2＝9b2‎ 答案　A 解析　若(a＋bi)3＝(a3－3ab2)＋(3a2b－b3)i是实数，则3a2b－b3＝0.由b≠0，得b2＝3a2.故选A.‎ ‎5．设i是虚数单位，复数为纯虚数，则实数a＝______.‎ 答案　2‎ 解析　设＝bi(b∈R且b≠0)，则1＋ai＝bi(2－i)＝b＋2bi，所以b＝1，a＝2.‎ ‎6．复平面内点A、B、C对应的复数分别为i、1、4＋2i，由A→B→C→D按逆时针顺序作平行四边形ABCD，则||＝________.‎ 答案　 解析　设D点对应复数为z，∵＝，‎ ‎∴1－i＝－z＋(4＋2i)，∴z＝3＋3i，‎ ‎∴对应的复数为2＋3i，∴||＝.‎ ‎7．已知a∈R，则z＝(a2－2a＋4)－(a2－2a＋2)i所对应的点在第几象限？复数z对应的点的轨迹是什么？‎ 解　∵a2－2a＋4＝(a－1)2＋3≥3，‎ ‎－(a2－2a＋2)＝－(a－1)2－1≤－1，‎ ‎∴复数z的实部为正数，虚部为负数，∴复数z的对应点在第四象限．设z＝x＋yi(x、y∈R)，‎ 则消去a2－2a得：y＝－x＋2(x≥3)．‎ ‎∴复数z的对应点的轨迹是一条射线，方程为y＝－x＋2(x≥3)．‎ 二、能力提升 ‎8．在复平面内，复数(2－i)2对应的点位于(　　)‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 答案　D 解析　(2－i)2＝4－4i＋i2＝3－4i，∴对应点坐标(3，－4)，位于第四象限．‎ ‎9．设i是虚数单位.是复数z的共轭复数．若z·i＋2＝2z，则z等于(　　)‎ A．1＋i B．1－i C．－1＋i D．－1－i 答案　A 解析　设z＝a＋bi，a，b∈R 代入z·i＋2＝2z，整理得：(a2＋b2)i＋2＝2a＋2bi 则解得因此z＝1＋i.‎ ‎10．已知互异的复数a，b满足ab≠0，集合{a，b}＝{a2，b2}，则a＋b＝________.‎ 答案　－1‎ 解析　由题意或 因为a≠b，ab≠0，‎ 或 因此a＋b＝－1.‎ ‎11．设复数z＝，若z2＋a·z＋b＝1＋i，求实数a，b的值．‎ 解　z＝＝＝ ‎＝＝1－i.‎ 因为z2＋a·z＋b＝1＋i，‎ 所以(1－i)2＋a(1－i)＋b＝1＋i.‎ 所以(a＋b)－(a＋2)i＝1＋i.‎ 所以解得a＝－3，b＝4.‎ 即实数a，b的值分别是－3,4.‎ ‎12．在复平面内，O是原点，向量对应的复数是2＋i.‎ ‎(1)如果点A关于实轴的对称点为B，求向量对应的复数；‎ ‎(2)如果(1)中点B关于虚轴的对称点为C，求点C对应的复数．‎ 解　(1)设所求向量对应的复数为z1＝a＋bi(a，b∈R)，则点B的坐标为(a，b)．‎ 已知A(2,1)，由对称性可知a＝2，b＝－1.‎ 所以对应的复数为z1＝2－i.‎ ‎(2)设所求点C对应的复数为z2＝c＋di(c，d∈R)，‎ 则C(c，d)．由(1)，得B(2，－1)．‎ 由对称性可知，c＝－2，d＝－1.‎ 故点C对应的复数为z2＝－2－i.‎ 三、探究与拓展 ‎13．是否存在复数z，使其满足·z＋2i＝3＋ai？如果存在，求实数a的取值范围；如果不存在，请说明理由．‎ 解　设z＝x＋yi(x，y∈R)，则原条件等式可化为x2＋y2＋2i(x－yi)＝3＋ai.‎ 由复数相等的充要条件，得 消去x，得y2＋2y＋－3＝0.‎ 所以当Δ＝4－4＝16－a2≥0，即－4≤a≤4时，复数z存在．‎ 故存在满足条件的复数z，且实数a的取值范围为－4≤a≤4.‎