2020高中数学 课时分层作业13 三角函数模型的简单应用 新人教A版必修4

2020高中数学 课时分层作业13 三角函数模型的简单应用 新人教A版必修4

课时分层作业(十三)　三角函数模型的简单应用 ‎(建议用时：40分钟)‎ ‎[学业达标练]‎ 一、选择题 ‎1．如图166，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置O的距离s(cm)和时间t(s)的函数关系式为s＝6sin，那么单摆摆动一个周期所需的时间为 ‎(　　)‎ 图166‎ A．2π s　　 B．π s C．0.5 s D．1 s D　[依题意是求函数s＝6sin的周期，T＝＝1，故选D.]‎ ‎2．函数f(x)的部分图象如图167所示，则下列选项正确的是(　　) ‎ ‎【导学号：84352132】‎ 图167‎ A．f(x)＝x＋sin x B．f(x)＝ C．f(x)＝xcos x D．f(x)＝x C　[观察图象知函数为奇函数，排除D项；又函数在x＝0处有意义，排除B项；取x＝，f＝0，A项不合适，故选C.]‎ ‎3．下表是某市近30年来月平均气温(℃)的数据统计表：‎ 月份 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 7‎ 平均 温度 ‎－5.9‎ ‎－3.3‎ ‎2.2‎ ‎9.3‎ ‎15.1‎ ‎20.3‎ ‎22.8‎ ‎22.2‎ ‎18.2‎ ‎11.9‎ ‎4.3‎ ‎－2.4‎ 则适合这组数据的函数模型是(　　)‎ A．y＝acos B．y＝acos＋k(a＞0，k＞0)‎ C．y＝－acos＋k(a＞0，k＞0)‎ D．y＝acos－3‎ C　[当x＝1时图象处于最低点，且易知a＝＞0.故选C.]‎ ‎4．如图168，为一半径为‎3 m的水轮，水轮圆心O距离水面‎2 m，已知水轮自点A开始1 min旋转4圈，水轮上的点P到水面距离y(m)与时间x(s)满足函数关系y＝Asin(ωx＋φ)＋2，则有(　　)‎ ‎ 【导学号：84352133】‎ 图168‎ A．ω＝，A＝3 B．ω＝，A＝3‎ C．ω＝，A＝5 D．ω＝，A＝5‎ A　[由题目可知最大值为5，∴5＝A×1＋2⇒A＝3.‎ T＝15，则ω＝.故选A.]‎ ‎5．如图169是函数y＝sin x(0≤x≤π)的图象，A(x，y)是图象上任意一点，过点A作x轴的平行线，交其图象于另一点B(A，B可重合)．设线段AB的长为f(x)，则函数f(x)的图象是(　　)‎ 图169‎ 7‎ A　[当x∈时，f(x)＝π－2x；当x∈时，f(x)＝2x－π，故选A.]‎ 二、填空题 ‎6．某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y＝a＋Acos(x＝1,2,3，…，12)来表示，已知6月份的月平均气温最高，为‎28 ℃‎，12月份的月平均气温最低，为‎18 ℃‎，则10月份的平均气温值为_______℃. ‎ ‎【导学号：84352134】‎ ‎20．5　[由题意可知A＝＝5，a＝＝23.从而y＝5cos＋23.故10月份的平均气温值为y＝5cos＋23＝20.5.]‎ ‎7．如图1610是弹簧振子做简谐振动的图象，横轴表示振动的时间，纵轴表示振动的位移，则这个振子振动的函数解析式是________．‎ 图1610‎ y＝2sin　[由题图可设y＝Asin(ωt＋φ)，则A＝2，‎ 又T＝2(0.5－0.1)＝0.8，‎ 所以ω＝＝π，‎ 所以y＝2sin，‎ 将点(0.1,2)代入y＝2sin中，‎ 得sin＝1，‎ 所以φ＋＝2kπ＋，k∈Z，‎ 7‎ 即φ＝2kπ＋，k∈Z，‎ 令k＝0，得φ＝，‎ 所以y＝2sin.]‎ ‎8．一种波的波形为函数y＝－sinx的图象，若其在区间[0，t]上至少有2个波峰(图象的最高点)，则正整数t的最小值是________．‎ ‎7　[函数y＝－sinx的周期T＝4.且x＝3时y＝1取得最大值，因此t≥7.所以正整数t的最小值是7.]‎ 三、解答题 ‎9．已知某地一天从4时到16时的温度变化曲线近似满足函数y＝10sin＋20，x∈[4,16]．‎ ‎(1)求该地区这一段时间内温度的最大温差；‎ ‎(2)若有一种细菌在‎15 ℃‎到‎25 ℃‎之间可以生存，那么在这段时间内，该细菌能生存多长时间？ ‎ ‎【导学号：84352135】‎ ‎[解]　(1)由函数易知，当x＝14时函数取最大值，即最高温度为‎30 ℃‎；当x＝6时函数取最小值，即最低温度为‎10 ℃‎.所以，最大温差为‎30 ℃‎－‎10 ℃‎＝‎20 ℃‎.‎ ‎(2)令10sin＋20＝15，‎ 可得sin＝－.‎ 而x∈[4,16]，所以x＝.‎ 令10sin＋20＝25，‎ 可得sin＝，而x∈[4,16]，‎ 所以x＝.故该细菌的存活时间为－＝小时．‎ ‎10．如图1611所示，摩天轮的半径为‎40 m，O点距地面的高度为‎50 m，摩天轮作匀速转动，每2 min转一圈，摩天轮上点P的起始位置在最高点．‎ 7‎ 图1611‎ ‎(1)试确定在时刻tmin时P点距离地面的高度；‎ ‎(2)在摩天轮转动一圈内，有多长时间P点距离地面超过‎70 m. ‎ ‎【导学号：84352136】‎ ‎[解]　建立如图所示的平面直角坐标系 ‎(1)设φ(0≤φ≤2π)是以Ox为始边，OP0为终边的角，OP在tmin内转过的角为t，即πt∴以Ox为始边，OP为终边的角为(πt＋φ)，即P点纵坐标为40sin(πt＋φ)，‎ ‎∴P点距地面的高度为z＝50＋40sin(πt＋φ)，(0≤φ≤2π)，‎ 由题可知，φ＝，∴z＝50＋40sin＝50＋40cosπt.‎ ‎(2)当50＋40cosπt≥70时，解之得，2k－≤t≤2k＋，持续时间为min.‎ 即在摩天轮转动一圈内，有minP点距离地面超过‎70 m.‎ ‎[冲A挑战练]‎ ‎1．车流量被定义为单位时间内通过十字路口的车辆数，单位为辆/分，上班高峰期某十字路口的车流量由函数F(t)＝50＋4sin(0≤t≤20)给出，F(t)的单位是辆/分，t的单位是分，则下列哪个时间段内车流量是增加的(　　)‎ A．[0,5] B．[5,10]‎ C．[10,15] D．[15,20]‎ C　[当10≤t≤15时，有π<5≤≤<π，此时F(t)＝50＋4sin是增函数，即车流量在增加．故应选C.]‎ ‎2．如图1612，设点A是单位圆上的一定点，动点P从点A出发在圆上按逆时针方向旋转一周，点P所旋转过的弧的长为l，弦AP的长为d，则函数d＝f(l)的图象大致是(　　)‎ 7‎ 图1612‎ A　　　　B　　　　C　　　　D C　[令AP所对圆心角为θ，由|OA|＝1，得l＝θ，sin＝，∴d＝2sin＝2sin，‎ 即d＝f(l)＝2sin(0≤l≤2π)，它的图象为C.]‎ ‎3．国际油价在某一时间内呈现正弦波动规律：P＝Asin＋60(美元)(t(天)，A＞0，ω＞0)，现采集到下列信息：最高油价80美元，当t＝150(天)时达到最低油价，则ω的最小值为________. ‎ ‎【导学号：84352137】‎ 　[因为Asin＋60＝80，‎ sin≤1，‎ 所以A＝20，当t＝150(天)时达到最低油价，‎ 即sin＝－1，‎ 此时150ωπ＋＝2kπ－，k∈Z，‎ 因为ω＞0，所以当k＝1时，ω取最小值，‎ 所以150ωπ＋＝π，解得ω＝.]‎ ‎4．已知角φ的终边经过点P(1，－1)，点A(x1，y1)，B(x2，y2)是函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0)图象上的任意两点，若|f(x1)－f(x2)|＝2时，|x1－x2|的最小值为，则f＝________.‎ ‎－　[由条件|f(x1)－f(x2)|＝2时，|x1－x2|的最小值为，结合图象(略)可知函数f 7‎ ‎(x)的最小正周期为，则由T＝＝，得ω＝3.又因为角φ的终边经过点P(1，－1)，所以不妨取φ＝－，则f(x)＝sin，于是f＝sin＝－.]‎ ‎5．心脏跳动时，血压在增加或减少．血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压，血压计上的读数就是收缩压和舒张压，读数120/80 mmHg为标准值．设某人的血压满足函数式p(t)＝115＋25sin 160πt，其中p(t)为血压(mmHg)，t为时间(min)，试回答下列问题：‎ ‎(1)求函数p(t)的周期；‎ ‎(2)求此人每分钟心跳的次数；‎ ‎(3)画出函数p(t)的草图；‎ ‎(4)求出此人的血压在血压计上的读数.‎ ‎ 【导学号：84352138】‎ ‎[解]　(1)由于ω＝160π，代入周期公式T＝，可得T＝＝(min)，所以函数p(t)的周期为 min.‎ ‎(2)每分钟心跳的次数即为函数的频率f＝＝80(次)．‎ ‎(3)列表：‎ t ‎0‎ p(t)‎ ‎115‎ ‎140‎ ‎115‎ ‎90‎ ‎115‎ 描点、连线并向左右扩展得到函数p(t)的简图如图所示：‎ ‎(4)由图可知此人的收缩压为140 mmHg，舒张压为90 mmHg.‎ 7‎