高考数学专题复习练习第3讲 函数的奇偶性与周期性
第3讲 函数的奇偶性与周期性
一、选择题
1．设f(x)为定义在R上的奇函数．当x≥0时，f(x)＝2x＋2x＋b(b为常数)，则f(－1)等于( )．
A．3 B．1 C．－1 D．－3
解析 由f(－0)＝－f(0)，即f(0)＝0.则b＝－1，
f(x)＝2x＋2x－1，f(－1)＝－f(1)＝－3.
答案 D
2．已知定义在R上的奇函数，f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，则f(6)的值为 ( )．
A．－1 B．0 C．1 D．2
解析 (构造法)构造函数f(x)＝sin x，则有f(x＋2)＝sin＝－sin x＝－f(x)，所以f(x)＝sin x是一个满足条件的函数，所以f(6)＝sin 3π＝0，故选B.
答案 B
3．定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝f(x＋2)，当x∈[3,5]时，f(x)＝2－|x－4|，则下列不等式一定成立的是 ( )．
A．f>f B．f(sin 1)
f(sin 2)
解析 当x∈[－1,1]时，x＋4∈[3,5]，由f(x)＝f(x＋2)＝f(x＋4)＝2－|x＋4－4|＝2－|x|，
显然当x∈[－1,0]时，f(x)为增函数；当x∈[0,1]时，f(x)为减函数，cos＝－，sin ＝>，又f＝f>f，所以f>f.
答案 A
4．已知函数f(x)＝则该函数是 ( )．
A．偶函数，且单调递增 B．偶函数，且单调递减
C．奇函数，且单调递增 D．奇函数，且单调递减
解析 当x>0时，f(－x)＝2－x－1＝－f(x)；当x<0时，f(－x)＝1－2－(－x)＝1－2x＝－f(x)．当x＝0时，f(0)＝0，故f(x)为奇函数，且f(x)＝1－2－x在[0，＋∞)上为增函数，f(x)＝2x－1在(－∞，0)上为增函数，又x≥0时1－2－x≥0，x<0时2x－1<0，故f(x)为R上的增函数．
答案 C
5．已知f(x)是定义在R上的周期为2的周期函数，当x∈[0,1)时，f(x)＝4x－1，则f(－5.5)的值为( )
A．2 B．－1 C．－ D．1
解析 f(－5.5)＝f(－5.5＋6)＝f(0.5)＝40.5－1＝1.
答案 D
6．设函数D(x)＝则下列结论错误的是 ( )．
A．D(x)的值域为{0,1} B．D(x)是偶函数
C．D(x)不是周期函数 D．D(x)不是单调函数
解析 显然D(x)不单调，且D(x)的值域为{0,1}，因此选项A、D正确．若x是无理数，－x，x＋1是无理数；若x是有理数，－x，x＋1也是有理数．∴D(－x)＝D(x)，D(x＋1)＝D(x)．则D(x)是偶函数，D(x)为周期函数，B正确，C错误．
答案 C
二、填空题
7．若函数f(x)＝x2－|x＋a|为偶函数，则实数a＝________.
解析 由题意知，函数f(x)＝x2－|x＋a|为偶函数，则f(1)＝f(－1)，∴1－|1＋a|＝1－|－1＋a|，∴a＝0.
答案 0
8．已知y＝f(x)＋x2是奇函数，且f(1)＝1.若g(x)＝f(x)＋2，则g(－1)＝________.
解析 因为y＝f(x)＋x2是奇函数，且x＝1时，y＝2，所以当x＝－1时，y＝－
2，即f(－1)＋(－1)2＝－2，得f(－1)＝－3，所以g(－1)＝f(－1)＋2＝－1.
答案 －1
9．设奇函数f(x)的定义域为[－5,5]，当x∈[0,5]时，函数y＝f(x)的图象如图所示，则使函数值y＜0的x的取值集合为________．
解析 由原函数是奇函数，所以y＝f(x)在[－5,5]上的图象关于坐标原点对称，由y＝f(x)在[0,5]上的图象，得它在[－5,0]上的图象，如图所示．由图象知，使函数值y＜0的x的取值集合为(－2,0)∪(2,5)．
答案 (－2,0)∪(2,5)
10． 设f(x)是偶函数，且当x>0时是单调函数，则满足f(2x)＝f的所有x之和为________．
解析 ∵f(x)是偶函数，f(2x)＝f，
∴f(|2x|)＝f，
又∵f(x)在(0，＋∞)上为单调函数，
∴|2x|＝，
即2x＝或2x＝－，
整理得2x2＋7x－1＝0或2x2＋9x＋1＝0，
设方程2x2＋7x－1＝0的两根为x1，x2，方程2x2＋9x＋1＝0的两根为x3，x4.
则(x1＋x2)＋(x3＋x4)＝－＋＝－8.
答案 －8
三、解答题
11．已知f(x)是定义在R上的不恒为零的函数，且对任意x，y，f(x)都满足f(xy)＝yf(x)＋xf(y)．
(1)求f(1)，f(－1)的值；
(2)判断函数f(x)的奇偶性．
解 (1)因为对定义域内任意x，y，f(x)满足f(xy)＝yf(x)＋xf(y)，所以令x＝y＝1，得f(1)＝0，令x＝y＝－1，得f(－1)＝0.
(2)令y＝－1，有f(－x)＝－f(x)＋xf(－1)，代入f(－1)＝0得f(－x)＝－f(x)，所以f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数．
12．已知函数f(x)对任意x，y∈R，都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，且x＞0时，f(x)＜0，f(1)＝－2.
(1)求证f(x)是奇函数；
(2)求f(x)在[－3,3]上的最大值和最小值．
(1)证明 令x＝y＝0，知f(0)＝0；再令y＝－x，
则f(0)＝f(x)＋f(－x)＝0，所以f(x)为奇函数．
(2)解 任取x1＜x2，则x2－x1＞0，所以f(x2－x1)＝f[x2＋(－x1)]＝f(x2)＋f(－x1)＝f(x2)－f(x1)＜0，所以f(x)为减函数．而f(3)＝f(2＋1)＝f(2)＋f(1)＝3f(1)＝－6，f(－3)＝－f(3)＝6.
所以f(x)max＝f(－3)＝6，f(x)min＝f(3)＝－6.
13.已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，且f(x)的图象关于x＝1对称，当x∈[0,1]时，f(x)＝2x－1，
(1)求证：f(x)是周期函数；
(2)当x∈[1,2]时，求f(x)的解析式；
(3)计算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2013)的值．
解析 (1)证明 函数f(x)为奇函数，则f(－x)＝－f(x)，函数f(x)的图象关于x＝1对称，则f(2＋x)＝f(－x)＝－f(x)，所以f(4＋x)＝f[(2＋x)＋2]＝－f(2＋x)＝f(x)，所以f(x)是以4为周期的周期函数．
(2) 当x∈[1,2]时，2－x∈[0,1]，
又f(x)的图象关于x＝1对称，则f(x)＝f(2－x)＝22－x－1，x∈[1,2]．
(3) ∵f(0)＝0，f(1)＝1，f(2)＝0，
f(3)＝f(－1)＝－f(1)＝－1
又f(x)是以4为周期的周期函数．
∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2013)
＝f(2 012)＋f(2 013)＝f(0)＋f(1)＝1.
14．已知函数f(x)的定义域为R，且满足f(x＋2)＝－f(x)．
(1)求证：f(x)是周期函数；
(2)若f(x)为奇函数，且当0≤x≤1时，f(x)＝x，求使f(x)＝－在[0,2 014]上的所有x的个数．
(1)证明 ∵f(x＋2)＝－f(x)，
∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝－[－f(x)]＝f(x)，
∴f(x)是以4为周期的周期函数．
(2)解 当0≤x≤1时，f(x)＝x，
设－1≤x≤0，则0≤－x≤1，
∴f(－x)＝(－x)＝－x.
∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，
∴－f(x)＝－x，即f(x)＝x.
故f(x)＝x(－1≤x≤1)．
又设1
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