高考数学专题复习练习：考点规范练19
考点规范练19 三角函数的图象与性质
考点规范练A册第13页
基础巩固
1.函数y=|2sin x|的最小正周期为( )
A.π B.2π C.π2 D.π4
答案A
解析由图象(图象略)知T=π.
2.(2016山东淄博二模)已知直线y=m(0
0)的图象相邻的三个交点依次为A(1,m),B(5,m),C(7,m),则ω=( )
A.π3 B.π4 C.π2 D.π6〚导学号74920230〛
答案A
解析由题意,得函数f(x)的相邻的两条对称轴分别为x=1+52=3,x=5+72=6,故函数的周期为2·(6-3)=2πω,得ω=π3,故选A.
3.已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)对任意x都有fπ6+x=fπ6-x,则fπ6等于( )
A.2或0 B.-2或2
C.0 D.-2或0
答案B
解析由fπ6+x=fπ6-x知,函数图象关于x=π6对称,fπ6是函数f(x)的最大值或最小值.故选B.
4.(2016河南焦作二模)已知函数f(x)=sinωx+π4(ω>0)的最小正周期为π,则函数f(x)的图象( )
A.关于直线x=π4对称 B.关于直线x=π8对称
C.关于点π4,0对称 D.关于点π8,0对称
答案B
解析∵函数f(x)的最小正周期为π,∴2πω=π.
∴ω=2.∴f(x)=sin2x+π4.
∴函数f(x)的对称轴为2x+π4=kπ+π2,k∈Z,
即x=π8+kπ2,k∈Z.
故函数f(x)的图象关于直线x=π8对称,故选B.
5.若A,B是锐角三角形ABC的两个内角,则点P(cos B-sin A,sin B-cos A)在( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
答案B
解析∵△ABC是锐角三角形,则A+B>π2,∴A>π2-B>0,B>π2-A>0,∴sin A>sinπ2-B=cos B,sin B>sinπ2-A=cos A,∴cos B-sin A<0,sin B-cos A>0,∴点P在第二象限.
6.已知曲线f(x)=sin 2x+3cos 2x关于点(x0,0)成中心对称,若x0∈0,π2,则x0=( )
A.π12 B.π6 C.π3 D.5π12
答案C
解析由题意可知f(x)=2sin2x+π3,其对称中心为(x0,0),故2x0+π3=kπ(k∈Z),即x0=-π6+kπ2(k∈Z).
又x0∈0,π2,故k=1,x0=π3,故选C.
7.已知函数y=sin x的定义域为[a,b],值域为-1,12,则b-a的值不可能是( )
A.π3 B.2π3 C.π D.4π3〚导学号74920231〛
答案A
解析画出函数y=sin x的草图分析,知b-a的取值范围为2π3,4π3.
8.已知函数f(x)=cos23x-12,则f(x)的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于( )
A.2π3 B.π3 C.π6 D.π12
答案C
解析因为f(x)=1+cos6x2-12=12cos 6x,所以最小正周期T=2π6=π3,相邻两条对称轴之间的距离为T2=π6,故选C.
9.(2016山东潍坊二模)已知函数f(x)=tan x+sin x+2 015,若f(m)=2,则f(-m)= .
答案4 028
解析∵f(x)=tan x+sin x+2 015,
∴f(-x)=-tan x-sin x+2 015.
∴f(-x)+f(x)=4 030.∴f(m)+f(-m)=4 030.
∵f(m)=2,∴f(-m)=4 028.
10.若函数y=2sin(3x+φ)|φ|<π2图象的的一条对称轴为x=π12,则φ= .
答案π4
解析因为y=sin x图象的对称轴为x=kπ+π2(k∈Z),
所以3×π12+φ=kπ+π2(k∈Z),
得φ=kπ+π4(k∈Z),又|φ|<π2,
所以k=0,故φ=π4.
11.已知函数y=cos x与y=sin(2x+φ)(0≤φ<π),它们的图象有一个横坐标为π3的交点,则φ的值是 .〚导学号74920232〛
答案π6
解析由题意cosπ3=sin2×π3+φ,
即sin2π3+φ=12,
2π3+φ=2kπ+π6(k∈Z)或2π3+φ=2kπ+5π6(k∈Z).
因为0≤φ<π,所以φ=π6.
12.已知ω>0,在函数y=2sin ωx与y=2cos ωx的图象的交点中,距离最短的两个交点的距离为23,则ω= .〚导学号74920233〛
答案π2
解析如图所示,在同一直角坐标系中,作出函数y=2sin ωx与y=2cos ωx的图象.A,B为符合条件的两个交点.
则Aπ4ω,2,B-3π4ω,-2,
由|AB|=23,得πω2+(22)2=23,
解得πω=2,即ω=π2.
能力提升
13.(2016河南许昌、新乡、平顶山三模)函数f(x)=cos(ωx+φ)(ω>0)的部分图象如图所示,则下列结论成立的是( )
A.f(x)的递增区间是2kπ-5π12,2kπ+π12,k∈Z
B.函数fx-π3是奇函数
C.函数fx-π6是偶函数
D.f(x)=cos2x-π6〚导学号74920234〛
答案D
解析根据函数f(x)=cos(ωx+φ)的部分图象,可得14·2πω=π12+π6,求得ω=2.
再根据五点法作图可得2·π12+φ=0,求得φ=-π6,故f(x)=cos2x-π6.故D正确.
令2kπ-π≤2x-π6≤2kπ,k∈Z,求得kπ-5π12≤x≤kπ+π12,k∈Z,故A错误.
由fx-π3=cos2x-π3-π6=cos2x-5π6,可知fx-π3是非奇非偶函数,故B错误.
由fx-π6=cos2x-π6-π6=cos2x-π2=sin 2x是奇函数,故C错误.故选D.
14.若函数f(x)=cos(2x+φ)的图象的一条对称轴方程为x=13π12,且-π2<φ<π2,则函数y=fx+π3为( )
A.奇函数且在0,π4上单调递增
B.偶函数且在0,π2上单调递增
C.偶函数且在0,π2上单调递减
D.奇函数且在0,π4上单调递减〚导学号74920235〛
答案D
解析因为函数f(x)=cos(2x+φ)的图象的一条对称轴方程为x=13π12,所以13π6+φ=kπ,k∈Z,即φ=kπ-13π6,k∈Z.
又-π2<φ<π2,则φ=-π6,则y=fx+π3=cos2x+π3-π6=cos2x+π2=-sin 2x,所以该函数为奇函数且在0,π4上单调递减,故选D.
15.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)ω>0,|φ|≤π2,x=-π4为f(x)的零点,x=π4为y=f(x)图象的对称轴,且f(x)在π18,5π36单调,则ω的最大值为( )
A.11 B.9 C.7 D.5〚导学号74920236〛
答案B
解析由题意得-π4ω+φ=k1π,k1∈Z,π4ω+φ=k2π+π2,k2∈Z,
解得φ=k1+k22π+π4,ω=2(k2-k1)+1,k1,k2∈Z.
∵|φ|≤π2,∴φ=π4或φ=-π4.
∵f(x)在π18,5π36上单调,
∴5π36-π18≤T2,T≥π6,即2πω≥π6,ω≤12.
∵ω>0,∴0<ω≤12.
若φ=π4,则k1+k2=0,ω=4k2+1,ω=1,5,9.
若ω=9,则f(x)=sin9x+π4在π18,5π36上单调递减,符合题意.
若φ=-π4,则k1+k2=-1,ω=4k2+3,ω=3,7,11.
若ω=11,则f(x)=sin11x-π4在π18,3π44上单调递增,
在3π44,5π36上单调递减,不符合题意.
综上,ω的最大值为9.
16.已知函数f(x)=3sinωx-π6(ω>0)和g(x)=3cos(2x+φ)的图象的对称中心完全相同,若x∈0,π2,则f(x)的取值范围是 .〚导学号74920237〛
答案-32,3
解析由两个三角函数的图象的对称中心完全相同,可知它们的周期相同,则ω=2,即f(x)=3sin2x-π6.
当x∈0,π2时,-π6≤2x-π6≤5π6,
解得-12≤sin2x-π6≤1,故f(x)∈-32,3.
高考预测
17.已知函数f(x)=sin2x+π6,其中x∈-π6,a.当a=π3时,f(x)的值域是 ;若f(x)的值域是-12,1,则a的取值范围是 .
答案-12,1 π6,π2
解析若-π6≤x≤π3,则-π6≤2x+π6≤5π6,此时-12≤sin2x+π6≤1,即f(x)的值域是-12,1.
若-π6≤x≤a,则-π6≤2x+π6≤2a+π6.
因为当2x+π6=-π6或2x+π6=7π6时,sin2x+π6=-12,所以要使f(x)的值域是-12,1,则π2≤2a+π6≤7π6,即π3≤2a≤π,所以π6≤a≤π2,即a的取值范围是π6,π2.
