高考数学专题复习练习第七章 立体几何 章末质量检测

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高考数学专题复习练习第七章 立体几何 章末质量检测

‎(时间120分钟,满分150分)‎ 一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)‎ ‎1.(2010·株州模拟)已知某空间几何体的主视图、侧视图、俯视图均为如图所 示的等腰直角三角形,如果直角三角形的直角边长为1,那么这个几何体 的表面积为 (  )‎ A.       B. C. D. 解析:根据三视图可以画出该几何体的直观图如图所示,CD垂直于等腰 ‎ 直角三角形ABC所在平面,于是,易得S=S△ABC+S△ACD+S△CBD=+‎ +++.‎ 答案:D ‎2.设α,β,γ是三个互不重合的平面,m,n是两条不重合的直线,则下列命题中正确的是 ‎(  )‎ A.若α⊥β,β⊥γ,则α⊥γ B.若α∥β,m⊄β,m∥α,则m∥β C.若α⊥β,m⊥α,则m∥β D.若m∥α,n∥β,α⊥β,则m⊥n 解析:A中α与γ可以平行,C中可能有m⊂β,D中m与i可以平行.‎ 答案:B ‎3.已知两条不同直线l1和l2及平面α,则直线l1∥l2的一个充分条件是 (  )‎ A.l1∥α且l2∥α    B.l1⊥α且l2⊥α C.l1∥α且l2⊄α D.l1∥α且l2⊂α 解析:根据垂直于同一个平面的两条直线互相平行可知B为l1∥l2的一个充分条件.‎ 答案:B ‎4.若平面α,β,满足α⊥β,α∩β=l,P∈α,P∉l,则下列命题中的假命题为(  )‎ A.过点P垂直于平面α的直线平行于平面β B.过点P在平面α内作垂直于l的直线必垂直于平面β C.过点P垂直于平面β的直线在平面α内 D.过点P垂直于直线l的直线在平面α内 解析:根据面面垂直的性质定理,有选项B、C正确.对于A,由于过点P垂直于平面 α的直线必平行于β内垂直于交线的直线,因此平行于平面β.因此A正确.‎ 答案:D ‎5.如图,在正方体ABCD-A1B‎1C1D1中,P为棱DC的中点,则D1P与BC1所在直线所 成角的余弦值等于 (  )‎ A. B. C. D. 解析:过C1作D1P的平行线交DC的延长线于点F,连结BF, ‎ 则∠BC‎1F或其补角等于异面直线D1P与BC1所成的角.设正方 体的棱长为1,由P为棱DC的中点,则易得BC1=,‎ C‎1F= =,BF= =.‎ 在△BC‎1F中,cos∠BC‎1F==.‎ 答案:B ‎6.[理]如图,在正三棱柱ABC-A1B‎1C1中,已知AB=1,D在棱BB1‎ 上,且BD=1,则AD与平面AA‎1C1C所成角的正弦值为(  )‎ A. B. C. D. 解析:如图,取C‎1A1、CA的中点E、F,连接B1E与BF,则B1E⊥ ‎ 平面CAA‎1C1,过D作DH∥B1E,则DH⊥平面CAA‎1C1,连接AH,‎ 则∠DAH为所求的角,又DH=B1E=,DA=,所以sin∠DAH ‎==.‎ 答案:A ‎[文]如右图所示,在立体图形D-ABC中,若AB=BC,AD=CD,E是 AC的中点,则下列命题中正确的是 (  )‎ A.平面ABC⊥平面ABD B.平面ABD⊥平面BDC C.平面ABC⊥平面BDE,且平面ADC⊥平面BDE D.平面ABC⊥平面ADC,且平面ADC⊥平面BDE 解析:BE⊥AC,DE⊥AC⇒AC⊥平面BDE,故平面ABC⊥平面BDE,平面ADC⊥‎ 平面BDE.‎ 答案:C ‎7.已知直线m、n及平面α,其中m∥n,那么在平面α内到两条直线m、n距离相等 的点的集合可能是:(1)一条直线;(2)一个平面;(3)一个点;(4)空集.其中正确的是(  )‎ A.(1)(2)(3) B.(1)(4)‎ C.(1)(2)(4) D.(2)(4)‎ 解析:如图1,当直线m或直线n在平面α内时不可能有符合题意的点;如图2,直线m、n到已知平面α的距离相等且两直线所在平面与已知平面α垂直,则已知平面α为符合题意的点;如图3,直线m、n所在平面与已知平面α平行,则符合题意的点为一条直线,从而选C.‎ 答案:C ‎8.设有如下三个命题:‎ 甲:相交直线l、m都在平面α内,并且都不在平面β内;‎ 乙:直线l、m中至少有一条与平面β相交;‎ 丙:平面α与平面β相交.‎ 当甲成立时 (  )‎ A.乙是丙的充分而不必要条件 B.乙是丙的必要而不充分条件 C.乙是丙的充分且必要条件 D.乙既不是丙的充分条件又不是丙的必要条件 解析:当甲成立,即“相交直线l、m都在平面α内,并且都不在平面β内”时,若“l、m中至少有一条与平面β相交”,则“平面α与平面β相交”成立;若“平面α与平面β相交”,则“l、m中至少有一条与平面β相交”也成立,故选C.‎ 答案:C 二、填空题(本大题共7小题,每小题5分,共35分.请把正确答案填在题中横线上)‎ ‎9.用一些棱长是‎1 cm的小正方体堆放成一个几何体,其正视图和俯视图如图所示,则这 个几何体的体积最多是________.‎ 解析:由正视图与俯视图可知小正方体最多有7块,故体积最多为7 ‎ cm3.‎ 答案:‎7 cm3‎ ‎10.过平行六面体ABCD-A1B‎1C1D1任意两条棱的中点作直线,其中与平面DBB1D1‎ 平行的直线共有________条.‎ 解析:如图,P、E、F、H分别为AD、AB、A1B1、A1D1的中点,则平面PEFH∥平面DBB1D1,所以四边形PEFH的任意两顶点的连线都平行于平面DBB1D1,共6条,同理在另一侧面也有6条,共12条.‎ 答案:12‎ ‎11.(2010·湘潭模拟)已知三棱锥的三个侧面两两垂直,三条侧棱长分别为4、4、7,若 此三棱锥的各个顶点都在同一个球面上,则此球的表面积是________.‎ 解析:补成长方体易求4R2=81,‎ ‎∴S=4πR2=81π.‎ 答案:81π ‎12.(2009·辽宁高考)设某几何体的三视图如下(尺寸的长度单位为m).‎ 则该几何体的体积为________m3.‎ 解析:‎ 由三视图可知原几何体是一个三棱锥,且三棱锥的高为2,底面三角形的一边长为4,且该边上的高为3,‎ 故所求三棱锥的体积为V=×2××3×4=‎4 m3‎,‎ 答案:4‎ ‎13.[理]如图,AD⊥平面BCD,∠BCD=90°,AD=BC=CD=a,则二面角C-AB-‎ D的大小为__________.‎ 解析:取BD的中点E,连结CE,则CE⊥面ABD,作EF⊥AB,‎ ‎∴CF⊥AB得∠CFE为所求.‎ 又CE=a,CF=,‎ ‎∴sin∠CFE==.‎ 答案:60°‎ ‎[文]如图,正方体ABCD-A1B‎1C1D1中,M∈A1B,N∈B‎1C,A‎1M=‎ B1N,有以下四个结论:‎ ‎①A‎1A⊥MN;‎ ‎②AC∥MN;‎ ‎③MN与平面ABCD成0°角;‎ ‎④MN与AC是异面直线.‎ 其中正确结论的序号是____________.‎ 解析:易知①③④正确.‎ 答案:①③④‎ ‎14.母线长为1的圆锥的侧面展开图的圆心角等于π,则该圆锥的体积为________.‎ 解析:圆锥的侧面展开图扇形的弧长,即底面圆的周长为π·1=π,于是设底面圆 的半径为r,‎ 则有2πr=π,所以r=,‎ 于是圆锥的高为h==,‎ 故圆锥的体积为V=π.‎ 答案:π ‎15.(2010·永州模拟)棱长为a的正方体ABCD-A1B‎1C1D1的8个顶点都在球O的表面上,‎ E、F分别是棱AA1、DD1的中点,则直线EF被球O截得的线段长为________.‎ 解析:因为正方体内接于球,所以2R=,R=a,过球心O和点E、F的大圆的截面图如图所示,则直线被球截得的线段为QR,过点O作OP⊥QR于点P,所以,在△QPO中,QR=2QP=2 =a.‎ 答案:a 三、解答题(本大题共6小题,共75分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演 算步骤)‎ ‎16.(本小题满分12分)(2010·岳阳模拟)如图所示是一个几何体的直观图、正视图、俯视 图、侧视图(其中正视图为直角梯形,俯视图为正方形,侧视图为直角三角形,尺寸 如图所示).‎ ‎(1)求四棱锥P-ABCD的体积;‎ ‎(2)证明:BD∥平面PEC;‎ ‎(3)若G为BC上的动点,求证:AE⊥PG.‎ 解:(1)由几何体的三视图可知,底面ABCD是边长为4的正方形,‎ PA⊥平面ABCD,PA∥EB,且PA=4,BE=2,AB=AD ‎=CD=CB=4,‎ ‎∴VP-ABCD=PA×SABCD=×4×4×4=.‎ ‎(2)证明:连结AC交BD于O点,‎ 取PC中点F,连结OF,‎ ‎∵EB∥PA,且EB=PA,‎ 又OF∥PA,且OF=PA,‎ ‎∴EB∥OF,且EB=OF,‎ ‎∴四边形EBOF为平行四边形,‎ ‎∴EF∥BD.‎ 又EF⊂平面PEC,BD⊄平面PEC,所以BD∥平面PEC.‎ ‎(3)连结BP,∵==,∠EBA=∠BAP=90°,‎ ‎∴△EBA∽△BAP,∴∠PBA=∠BEA,‎ ‎∴∠PBA+∠BAE=∠BEA+∠BAE=90°,‎ ‎∴PB⊥AE.‎ 又∵BC⊥平面APEB,∴BC⊥AE,‎ ‎∴AE⊥平面PBG,∴AE⊥PG.‎ ‎17.(本小题满分12分)已知直角梯形ABCD中,AB∥CD,AB⊥BC,AB=1,BC ‎=2,CD=1+,过A作AE⊥CD,垂足为E,G、F分别为AD、CE的中 点,现将△ADE沿AE折叠,使DE⊥EC.‎ ‎(1)求证:BC⊥平面CDE;‎ ‎(2)求证:FG∥平面BCD;‎ ‎(3)求四棱锥D-ABCE的体积.‎ 解:(1)证明:由已知得:‎ DE⊥AE,DE⊥EC,∴DE⊥平面ABCE.‎ ‎∴DE⊥BC.又BC⊥CE,CE∩DE=E,‎ ‎∴BC⊥平面DCE.‎ ‎(2)证明:取AB中点H,连结GH,FH,‎ ‎∴GH∥BD,FH∥BC,‎ ‎∴GH∥平面BCD,FH∥平面BCD.‎ 又GH∩FH=H,‎ ‎∴平面FHG∥平面BCD,‎ ‎∴FG∥平面BCD(由线线平行证明亦可).‎ ‎(3)V=×1×2×=.‎ ‎18.(本小题满分12分)(2010·常德模拟)如图,PA垂直于矩形ABCD所在的平面,AD=‎ PA=2,CD=2,E、F分别是AB、PD的中点.‎ ‎(1)求证:AF∥平面PCE;‎ ‎(2)求证:平面PCE⊥平面PCD;‎ ‎(3)求四面体PEFC的体积.‎ 解:(1)证明:设G为PC的中点,连结FG,EG,‎ ‎∵F为PD的中点,E为AB的中点,‎ ‎∴FG綊CD,AE綊CD ‎∴FG綊AE,∴AF∥GE ‎∵GE⊂平面PEC,∴AF∥平面PCE;‎ ‎(2)证明:∵PA=AD=2,∴AF⊥PD 又∵PA⊥平面ABCD,CD⊂平面ABCD,‎ ‎∴PA⊥CD,∵AD⊥CD,PA∩AD=A,‎ ‎∴CD⊥平面PAD,‎ ‎∵AF⊂平面PAD,∴AF⊥CD.‎ ‎∵PD∩CD=D,∴AF⊥平面PCD,‎ ‎∴GE⊥平面PCD,‎ ‎∵GE⊂平面PEC,‎ ‎∴平面PCE⊥平面PCD;‎ ‎(3)由(2)知,GE⊥平面PCD,‎ 所以EG为四面体PEFC的高,‎ 又GF∥CD,所以GF⊥PD,‎ EG=AF=,GF=CD=,‎ S△PCF=PD·GF=2.‎ 得四面体PEFC的体积V=S△PCF·EG=.‎ ‎19.(本小题满分13分)如图所示,四棱锥P-ABCD中,AB⊥AD,AD⊥DC,PA⊥底 面ABCD,PA=AD=DC=AB=1,M为PC的中点,N点在AB上且AN=NB.‎ ‎(1)证明:MN∥平面PAD;‎ ‎(2)求直线MN与平面PCB所成的角.‎ 解:(1)证明:过M作ME∥CD交PD于E,‎ 连接AE.‎ ‎∵AN=NB,‎ ‎∴AN=AB=DC=EM.‎ 又EM∥DC∥AB,∴EM綊AN,‎ ‎∴AEMN为平行四边形,‎ ‎∴MN∥AE,又AE⊂平面PAD,MN⊄平面PAD,‎ ‎∴MN∥平面PAD.‎ ‎(2)过N点作NQ∥AP交BP于点Q,NF⊥CB交CB于点F,‎ 连接QF,过N点作NH⊥QF交QF于H,连接MH.‎ 易知QN⊥平面ABCD,∴QN⊥BC,而NF⊥BC,‎ ‎∴BC⊥平面QNF,‎ ‎∴BC⊥NH,而NH⊥QF,∴NH⊥平面PBC,‎ ‎∴∠NMH为直线MN与平面PCB所成的角.‎ 通过计算可得MN=AE=,QN=,NF=,‎ ‎∴NH===,‎ ‎∴sin∠NMH==,∴∠NMH=60°.‎ ‎∴直线MN与平面PCB所成的角为60°.‎ ‎20.(本小题满分13分)(2010·长沙模拟)如图,在直三棱柱ABC-A1B‎1C1‎ 中,AC=BC=CC1=2,AC⊥BC,D为AB的中点.‎ ‎(1)求证:AC1∥平面B1CD;‎ ‎(2)求二面角B-B‎1C-D的正弦值.‎ 解:(1)证明:如图,连接BC1交B‎1C于点E,‎ 则E为BC1的中点.‎ ‎∵D为AB的中点,∴在△ABC1中,AC1∥DE 又AC1⊄平面B1CD,DE⊂平面B1CD,‎ ‎∴AC1∥平面B1CD ‎(2)∵AC=BC,D为AB的中点,‎ ‎∴CD⊥AB.又平面ABC⊥平面ABB‎1A1,‎ ‎∴CD⊥平面ABB‎1A1.‎ ‎∴平面B1CD⊥平面B1BD,‎ 过点B作BH⊥B1D,垂足为H,则BH⊥平面B1CD,‎ 连接EH,‎ ‎∵B‎1C⊥BE,B‎1C⊥EH,‎ ‎∴∠BEH为二面角B-B‎1C-D的平面角.‎ 在Rt△BHE中,BE=,BH==,‎ 则sin∠BEH==.‎ 即二面角B-B‎1C-D的正弦值为.‎ ‎21.[理](本小题满分13分)(2009·东北四市模拟)如图,正四棱柱ABCD-‎ A1B‎1C1D1中,AA1=2AB=4,点E在CC1上,且CE=λCC1.‎ ‎(1)λ为何值时,A‎1C⊥平面BED;‎ ‎(2)若A‎1C⊥平面BED,求二面角A1-BD-E的余弦值.‎ 解:法一:(1)连接B‎1C交BE于点F,连接AC交BD于点G,‎ ‎∴AC⊥BD,由垂直关系得,A‎1C⊥BD,‎ 若A‎1C⊥平面BED,则A‎1C⊥BE,‎ 由垂直关系可得B‎1C⊥BE,‎ ‎∴△BCE∽△B1BC,∴==,‎ ‎∴CE=1,∴λ==.‎ ‎(2)连接A‎1G,连接EG交A‎1C于H,则A‎1G⊥BD.‎ ‎∵A‎1C⊥平面BED,‎ ‎∴∠A1GE是二面角A1-BD-E的平面角.‎ ‎∵A‎1G=3,EG=,A1E=,‎ ‎∴cos∠A1GE==,‎ 法二:(1)以D为坐标原点,射线DA为x轴的正半轴,射线DC为y轴的正半轴,‎ 射线DD1为z轴的正半轴,建立如图所示直角坐标系D-xyz.‎ 依题设,D(0,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),A1(2,0,4),‎ ‎∵CE=λCC1=4λ,∴E(0,2,4λ), ‎ ‎∴=(2,2,0),=(2,0,4),‎ ‎=(-2,2,-4),=(0,2,4λ),‎ ‎∵·=2×(-2)+2×2+0×(-4)=0,‎ ‎∴⊥,∴DB⊥A‎1C.‎ 若A‎1C⊥平面BED,则A‎1C⊥DE,∴⊥,‎ ‎∴·=(-2)×0+2×2+(-4)×4λ=4-16λ=0,‎ ‎∴λ=.‎ ‎(2)设向量n=(x,y,z)是平面DA1B的一个法向量,‎ 则n⊥,n⊥,∴2x+2y=0,2x+4z=0,‎ 令z=1,则x=-2,y=2,∴n=(-2,2,1)‎ 由(1)知平面BDE的一个法向量为=(-2,2,-4)‎ ‎∴cos〈n,〉==.‎ 即二面角A1-BD-E的余弦值为.‎ ‎[文](本小题满分13分)(2010·湘潭模拟)如图,E、F分别为直角三角形ABC的直角边AC和斜边AB的中点,沿EF将△AEF折起到△A′EF的位置,连结A′B、A′C,P为A′C的中点.‎ ‎(1)求证:EP∥平面A′FB;‎ ‎(2)求证:平面A′EC⊥平面A′BC;‎ ‎(3)求证:AA′⊥平面A′BC.‎ 证明:(1)∵E、P分别为AC、A′C的中点,‎ ‎∴EP∥A′A,又A′A⊂平面AA′B,EP⊄平面AA′B,‎ ‎∴EP∥平面AA′B,‎ 即EP∥平面A′FB.‎ ‎(2)∵BC⊥AC,由题意知EF⊥A′E,EF∥BC,‎ ‎∴BC⊥A′E,又∵A′E∩AC=E,‎ ‎∴BC⊥平面A′EC,BC⊂平面A′BC,‎ ‎∴平面A′BC⊥平面A′EC.‎ ‎(3)在△A′EC中,P为A′C的中点,‎ 又A′E=EC,∴EP⊥A′C,‎ 在△A′AC中,EP∥A′A,∴A′A⊥A′C.‎ 由(2)知:BC⊥平面A′EC,又A′A⊂平面A′EC,‎ ‎∴BC⊥AA′,∵BC∩A′C=C,∴A′A⊥平面A′BC.‎
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