【数学】2020届一轮复习人教A版空间点直线平面之间的位置关系课时作业

【数学】2020届一轮复习人教A版空间点直线平面之间的位置关系课时作业

‎42　空间点、直线、平面之间的位置关系 ‎　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎1.α是一个平面,m,n是两条直线,A是一个点,若m⊄α,n⊂α,且A∈m,A∈α,则m,n的位置关系不可能是(　　)‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ A.垂直 B.相交 C.异面 D.平行 答案D 解析∵α是一个平面,m,n是两条直线,A是一个点,m⊄α,n⊂α,∴n在平面α内.‎ ‎∵A∈m,A∈α,∴A是m和平面α相交的点,‎ ‎∴m和n异面或相交,一定不平行.‎ ‎2.在空间中,四条两两不同的直线l1,l2,l3,l4,满足l1⊥l2,l2⊥l3,l3⊥l4,则下列结论一定正确的是(　　)‎ A.l1⊥l4 B.l1∥l4‎ C.l1与l4既不垂直也不平行 D.l1与l4的位置关系不确定 答案D 解析 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,取l1为BC,l2为CC1,l3为C1D1.满足l1⊥l2,l2⊥l3.若取l4为A1D1,则有l1∥l4;若取l4为DD1,则有l1⊥l4.因此l1与l4的位置关系不确定,故选D.‎ ‎3.‎ 如图,α∩β=l,A,B∈α,C∈β,且C∉l,直线AB∩l=M,过A,B,C三点的平面记作γ,则γ与β的交线必通过(　　)‎ A.点A B.点B C.点C但不过点M D.点C和点M 答案D 解析∵AB⊂γ,M∈AB,∴M∈γ.‎ 又α∩β=l,M∈l,∴M∈β.‎ 根据公理3可知,M在γ与β的交线上,‎ 同理可知,点C也在γ与β的交线上.‎ ‎4．[2019·河北张家口模拟]三棱柱ABC－A1B1C1中，△ABC为等边三角形，AA1⊥平面ABC，AA1＝AB，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，则BM与AN所成角的余弦值为(　　)‎ A. B. C. D. 解析：‎ 取BC的中点O，连接NO，AO，MN，因为B1C1綊BC，OB＝BC，所以OB∥B1C1，OB＝B1C1，因为M，N分别为A1B1，A1C1的中点，所以MN∥B1C1，MN＝B1C1，所以MN綊OB，所以四边形MNOB是平行四边形，所以NO∥MB，所以∠ANO或其补角即为BM与AN所成角，不妨设AB＝2，则有AO＝，ON＝BM＝，AN＝，在△ANO中，由余弦定理可得cos∠ANO＝＝＝.故选C.‎ 答案：C ‎5．[2019·安徽联合检测]若在三棱柱ABC－A1B1C1中，∠A1AC＝∠BAC＝60°，平面A1ACC1⊥平面ABC，AA1＝AC＝AB，则异面直线AC1与A1B所成角的余弦值为(　　)‎ A. B. C. D. 解析：解法一　如图，在平面ABC，平面A1B1C1中分别取点D，D1，连接BD，CD，B1D1，C1D1，使得四边形ABDC，A1B1D1C1为平行四边形，连接DD1，BD1，则AB＝C1D1且AB∥C1D1，所以AC1∥BD1，故∠A1BD1即异面直线AC1与A1B所成的角．‎ 连接A1D1，过点A1作A1M⊥AC于点M，连接BM，设AA1＝2，由∠A1AM＝∠BAC＝60°，得AM＝1，BM＝，A1M＝，因为平面A1ACC1⊥平面ABC，A1M⊂平面A1ACC1，所以A1‎ M⊥平面ABC，所以A1M⊥BM，所以A1B＝，在菱形A1ACC1中，易求得AC1＝2＝BD1，在菱形A1B1D1C1中，易求得A1D1＝2，所以cos∠A1BD1＝＝＝，所以异面直线AC1与A1B所成角的余弦值为.‎ 解法二　令M为AC的中点，连接MB，MA1，易得MA，MB，MA1两两垂直．以M为原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系．设AA1＝AC＝AB＝2，则A(1,0,0)，B(0，，0)，A1(0,0，)，C1(－2,0，)，所以＝(－3,0，)，＝(0，，－)，所以cos〈，〉＝＝－，故异面直线AC1与A1B所成角的余弦值为.‎ 答案：B 二、填空题 ‎6．设P表示一个点，a，b表示两条直线，α，β表示两个平面，给出下列四个命题，其中正确命题的序号是________．‎ ‎①P∈a，P∈α⇒a⊂α；‎ ‎②a∩b＝P，b⊂β⇒a⊂β；‎ ‎③a∥b，a⊂α，P∈b，P∈α⇒b⊂α；‎ ‎④α∩β＝b，P∈α，P∈β⇒P∈b.‎ 解析：当a∩α＝P时，P∈a，P∈α，‎ 但a⊄α，∴①错；‎ a∩β＝P时，②错；‎ 如图∵a∥b，P∈b，‎ ‎∴P∉a，∴由直线a与点P确定唯一平面α，‎ 又a∥b，由a与b确定唯一平面γ，‎ 但γ经过直线a与点P，‎ ‎∴γ与α重合，∴b⊂α，故③正确；‎ 两个平面的公共点必在其交线上，故④正确．‎ 答案：③④‎ ‎7．如图所示，G，H，M，N分别是三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有________(填上所有正确答案的序号)．‎ 解析：图(1)中，直线GH∥MN；‎ 图(2)中，G，H，N三点共面，但M∉平面GHN，因此直线GH与MN异面；‎ 图(3)中，连接MG，HN，GM∥HN，因此GH与MN共面；‎ 图(4)中，G，M，N共面，‎ 但H∉平面GMN，因此GH与MN异面．‎ 所以图(2)，(4)中GH与MN异面．‎ 答案：(2)(4)‎ ‎8．[2019·福建四地六校联考]已知三棱锥A－BCD中，AB＝CD，且直线AB与CD成60°角，点M、N分别是BC、AD的中点，则异面直线AB与MN所成角的大小为________．‎ 解析：如图，取AC的中点P，连接PM，PN，则PM∥AB，且PM＝AB，PN∥CD，且PN＝CD.‎ ‎∴∠MPN或其补角为AB与CD所成的角，则∠MPN＝60°或∠MPN＝120°，‎ ‎∵PM∥AB，‎ ‎∴∠PMN或其补角是AB与MN所成的角，‎ ‎∵AB＝CD，∴PM＝PN，‎ 若∠PMN＝60°，‎ 则△PMN是等边三角形，∴∠PMN＝60°，‎ ‎∴AB与MN所成的角为60°.若∠MPN＝120°，‎ 则∠PMN＝30°，∴AB与MN所成的角为30°，‎ 综上，异面直线AB与MN所成的角为30°或60°.‎ 答案：30°或60°‎ 三、解答题 ‎9.‎ 如图，在四边形ABCD中，已知AB∥CD，直线AB，BC，AD，DC分别与平面α相交于点E，G，H，F，求证：E，F，G，H四点必定共线．‎ 证明：因为AB∥CD，‎ 所以AB，CD确定一个平面β.‎ 又因为AB∩α＝E，AB⊂β，所以E∈α，E∈β，‎ 即E为平面α与β的一个公共点．‎ 同理可证F，G，H均为平面α与β的公共点，‎ 因为若两个平面有公共点，那么它们有且只有一条通过公共点的公共直线，所以E，F，G，H四点必定共线．‎ ‎10．如图，已知不共面的三条直线a，b，c相交于点P，A∈a，B∈a，C∈b，D∈c，求证：AD与BC是异面直线．‎ 证明：假设AD和BC共面，所确定的平面为α，那么点P，A，B，C，D都在平面α内，‎ ‎∴直线a，b，c都在平面α内，与已知条件a，b，c不共面矛盾，假设不成立．‎ ‎∴AD和BC是异面直线．‎ ‎11．[2019·武汉调研]在棱长为3的正方体ABCD－A1B1C1D1‎ 中，E，F分别在棱AB，CD上，且AE＝CF＝1.‎ ‎(1)求异面直线A1E与C1F所成角的余弦值；‎ ‎(2)求四面体EFC1A1的体积．‎ 解析：(1)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，‎ 延长DC至M，使CM＝1，则AE綊CM.‎ 连接AC，EM，∴ME綊AC綊A1C1，连接MC1，‎ ‎∴A1E綊C1M，‎ ‎∴∠FC1M为异面直线A1E与C1F所成的角．‎ 在△FC1M中，C1F＝C1M＝，FM＝2，‎ ‎∴cos∠FC1M＝＝.‎ 故异面直线A1E与C1F所成角的余弦值为.‎ ‎(2)在D1C1上取一点N，使ND1＝1.‎ 连接EN，FN，A1N，‎ ‎∴A1E綊FN，∴A1N綊EF，‎ ‎∵EF⊂平面EFC1，A1N⊄平面EFC1，∴A1N∥平面EFC1，‎ ‎∴VA1－EFC1＝VN－EFC1＝VE－NFC1＝×S△NFC1×3＝××2×3×3＝3.‎ 故四面体EFC1A1的体积为3.‎