河南省郑州市外国语学校2019-2020学年高一上学期第一次月考数学试题

河南省郑州市外国语学校2019-2020学年高一上学期第一次月考数学试题

www.ks5u.com 郑州外国语学校2019-2020学年高一上期月考1试卷 数学 一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一个是符合题目要求的）‎ ‎1.已知集合，,则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【详解】由已知得，‎ 因为，‎ 所以，故选A．‎ ‎2.下列对应是集合到集合的映射的是（ ）‎ A. ， ，‎ B. ｛是圆｝，｛三角形｝，作圆的内接三角形 C. ． ，‎ D. ， ，中的数开平方 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据映射的定义，作出判断即可．‎ ‎【详解】根据映射的定义，只要把集合A中的每一个元素在集合B中找到一个元素和它对应即可，‎ 对于A：当x=3时，集合B中没有元素和它对应；‎ 对于B：A中每个元素，在B都有无数个元素与之对应，不满足映射的定义，不是映射；‎ 对于C：满足题意;‎ 对于D：A中的元素1，在B有2个元素与之对应，不满足映射的定义，不是映射；‎ 故选：C ‎【点睛】本题考查映射的概念，属于基础题．‎ ‎3.已知函数的定义域为[-2，3]，则函数的定义域为（ ）‎ A. [-1,9] B. [-3,7] C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由函数的定义域为[-2，3]，可得，从而有求解x的取值范围得答案．‎ ‎【详解】由函数y＝的定义域为[-2，3]，‎ ‎∴‎ ‎∴对y＝f（2x+1），有，解得，‎ 即y＝f（2x+1）的定义域为．‎ 故选D．‎ ‎【点睛】定义域的三种类型及求法：(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解；(2) 对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解；(3) 若已知函数的定义域为，则函数的定义域由不等式求出.‎ ‎4.若函数，则的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将函数式变形，代入求值即可．‎ ‎【详解】解：‎ 故选：‎ ‎【点睛】本题考查函数值的计算以及指数幂的运算，属于基础题．‎ ‎5.若，则　　‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知条件得：，再根据指数函数和幂函数的单调性比较大小关系.‎ ‎【详解】由得：‎ 则指数函数单调性可知：‎ 由幂函数单调性可知：‎ 综上所述：‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】本题考查根据指数函数、幂函数单调性比较大小问题，解决问题的关键是建立合适的函数模型，通过单调性来比较.‎ ‎6.函数的图像大致为 (　　)‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 分析：通过研究函数奇偶性以及单调性，确定函数图像.‎ 详解：为奇函数，舍去A,‎ 舍去D;‎ ‎，‎ 所以舍去C；因此选B.‎ 点睛：有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；②由函数的单调性，判断图象的变化趋势；③由函数的奇偶性，判断图象的对称性；④由函数的周期性，判断图象的循环往复． ‎ ‎7.已知函数是R上增函数，则的取值范围是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据分段函数的单调性特点，两段函数在各自的定义域内均单调递增，同时要考虑端点处的函数值.‎ ‎【详解】要使函数在R上为增函数，须有在上递增，在上递增，‎ 所以，解得.‎ 故选D.‎ ‎【点睛】本题考查利用分段函数的单调性求参数的取值范围，考查数形结合思想、函数与方程思想的灵活运用，求解时不漏掉端点处函数值的考虑.‎ ‎8.已知函数的值域为，则的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 通过讨论m的范围，结合二次函数的性质得到关于m的不等式组，解出即可．‎ ‎【详解】m＝0时，f（x）＝1，不合题意；‎ m≠0时，令g（x）＝mx2+mx+1，‎ 只需，‎ 解得：m≥4，‎ 故选D．‎ ‎【点睛】本题考查了幂函数的性质，考查二次函数的性质，考查了分类整合的思想，是一道中档题．‎ ‎9.定义在上的函数满足，当时，，则函数在上有（ ）‎ A. 最小值 B. 最大值 C. 最大值 D. 最小值 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数增减性的定义证明函数是减函数，即可求解.‎ ‎【详解】设且，则，‎ ‎，‎ 因为时，，所以，‎ 所以，‎ 即，‎ 所以函数在上是减函数，‎ 所以在上有最小值.‎ ‎【点睛】本题主要考查了定义法证明抽象函数的单调性及单调性的应用，属于中档题.‎ ‎10.已知是定义在上的偶函数，且在上为增函数，则的解集为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由函数在上的偶函数，可求出的值，然后根据偶函数的性质得到不等式组，解得.‎ ‎【详解】解：因为是定义在上的偶函数，‎ 所以解得故函数的定义域为且在上为增函数 则在上为减函数，‎ 解得即 故选：‎ ‎【点睛】本题考查偶函数的性质，利用函数的单调性解不等式，属于基础题．‎ ‎11.已知，则不等式解集为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 设，则不等式等价为，作出的图象，如图，由图象可知时，，即时，，若，由得，解得，若，由，得，解得，综上，即不等式的解集为，故选C.‎ ‎12.若函数满足对任意，都有成立，则称函数在区间上是“被约束的”．若函数在区间 上是“被2约束的”，则实数a的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【详解】据题意得：对任意的都成立.由得. 恒成立. 由得.因为，所以.的对称轴为.由得.由于，所以的取值范围为.选B.‎ 二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分.请将答案填写在题中的横线上）‎ ‎13.已知集合M满足Ü，则集合M的个数是__________个．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 依题意集合必含元素且不能同时含有元素，分类讨论即得．‎ ‎【详解】解：由题意Ü，故或或 一共个满足条件，‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查集合的包含关系，属于基础题．‎ ‎14.计算：=___________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据分数指数幂的运算解答．‎ ‎【详解】解：‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查分数指数幂的运算，属于基础题．‎ ‎15.若在区间上，函数的最小值不小于的最大值，则正数m的取值范围为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 画出函数的图象，利用函数的图象的交点，判断m的取值范围求解即可．‎ ‎【详解】解：如图，作出与的图象，可得 由图可知，当时，在上的最小值总是小于的最大值，当时，在上的最小值总是不小于的最大值，‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查函数与方程的应用，考查数形结合以及函数的最值的求法，属于中档题．‎ ‎16.已知函数，若存在，，当时， ，则的取值范围为_______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先作出函数图象，然后根据图象可得要使存在，，当时， ，从而可分析得取值范围，将转化为关于的函数，求其值域即可．‎ ‎【详解】解：作出函数的图象，‎ 因为存在，，当时， ‎ 的最小值为，的最小值为 即 ‎，‎ 令 函数开口向上，对称轴为的抛物线，‎ 函数在区间上单调递减，上单调递增；‎ 当时 当时 所以 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查函数与方程，数形结合思想，属于难题．‎ 三、解答题（本大题有4小题，共36分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）‎ ‎17.设全集U=R，A={x|1≤x≤3}，B={x|2a＜x＜a+3}‎ ‎（Ⅰ）当a=1时，求（CUA）∩B；‎ ‎（Ⅱ）若（CUA）∩B=B，求实数a的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）或.‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析：（1）当时化简集合根据补集的定义求出，再由交集的定义计算可得到；（2），等价于，根据集合的包含关系可得关于的不等式组，解不等式即可得到实数的取值范围.‎ 试题解析：（1）当时， ,‎ ‎. ‎ ‎（2）,, ；时 或 ，解得或.‎ ‎18.某公司现有A、B两种产品考虑投资，它们的投资金额x与利润y（单位均为百万元）分别满足函数关系式：（其中a、b均为常数）．已知当对A、B投资金额均为3百万时，所获得A、B的利润均为6百万元，目前公司计划对A、B产品总共投资8百万元，两种产品都要投资．‎ ‎（1）若对A产品投资x百万元，试求投资A、B产品获得的总利润f（x）（单位：百万元）；‎ ‎（2）试求当A产品投资多少时，总利润达到最大值，并求出最大值．‎ ‎【答案】(1)（）(2) 当A产品投资2.125百万元时，总利润达到最大值，最大值为16.25百万元 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用待定系数法求函数解析式，代入已知数据求出参数的值即可．‎ ‎（2）换元法求函数的最值，令，将函数转化为关于的二次函数，求出函数的最值即可．‎ ‎【详解】解：由题意， ，6＝3b，得a＝，b＝2．‎ ‎∴，y2＝2x． ‎ ‎（1）对A产品投资x（百万元），则对B产品投资8﹣x（百万元），‎ ‎∴投资A、B产获得的总利润，（）‎ ‎（2）由，设，则，‎ ‎∴原函数化为 ‎∴当t，即，（百万元）时，有最大值（百万元）．‎ 故当A产品投资（百万元）时，总利润达到最大值，最大值为（百万元）．‎ ‎【点睛】本题考查函数模型的应用，利用给定函数模型解决问题，属于中档题．‎ ‎19.已知二次函数满足 ‎（1）求的解析式；‎ ‎（2）求在区间（）上的最小值.‎ ‎【答案】(1) (2) 时， 最小值为；‎ ‎ 时， 最小值为； ‎ 时，最小值为 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）换元法求函数解析式，令，则，代入解析式，求出即得；‎ ‎（2）对对称轴与所给区间的位置分类讨论，求出函数的最小值．‎ ‎【详解】解：（1）令 则， ==‎ ‎ ‎ ‎（2）=开口向上，对称轴 当时， 在上为增函数所以时有最小值为；‎ 当，即时，在上先减后增，‎ 所以时有最小值为 当，即时， 在上为减函数 所以时有最小值为； ‎ 综上所述： 时， 最小值为；‎ ‎ 时， 最小值为； ‎ 时，最小值为 ‎【点睛】本题考查换元法求函数解析式，以及二次函数中的定轴动区间问题，属于中档题．‎ ‎20.已知关于的函数 ，定义域为 ‎（1）当时，解不等式；‎ ‎（2）若函数有零点，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）令，转化为二次不等式解法；‎ ‎（2）有零点即方程有解，即在上有解，‎ ‎【详解】令，由可得.‎ ‎(1)当时，函数可化为，‎ 原不等式可化为或 又故即 可得 所以不等式解集为 ‎（2）有零点即方程有解，‎ 即在上有解， ‎ 又在上是减函数，在上是增函数， ‎ 故当时，；当时，，‎ 即函数的值域为，则 故的取值范围是 ‎【点睛】本题考查复合型二次不等式的解法，函数零点问题，考查了参变分离的方法，属于中档题.‎ ‎ ‎