2020版高中数学 第3章 不等式3.4 不等式的实际应用

申明敬告: 本站不保证该用户上传的文档完整性,不预览、不比对内容而直接下载产生的反悔问题本站不予受理。

文档介绍

2020版高中数学 第3章 不等式3.4 不等式的实际应用

‎3.4 不等式的实际应用 ‎1.能根据实际情景建立不等式模型.(难点)‎ ‎2.掌握运用不等式知识,解决实际问题的方法、步骤.(重点)‎ ‎[基础·初探]‎ 教材整理 不等式的实际应用 阅读教材P81~P83,完成下列问题.‎ ‎1.实际问题中,有许多不等式模型,必须首先领悟问题的实际背景,确定问题中量与量之间的关系,然后适当设未知数,将量与量间的关系变成不等式或不等式组.‎ ‎2.实际问题中的每一个量都有其实际意义,必须充分注意定义域的变化.‎ ‎3.解不等式应用题,一般可按以下四个步骤进行:‎ ‎(1)阅读理解,认真审题,把握问题中的关键量,找准不等关系;‎ ‎(2)引进数学符号,用不等式表示不等关系;‎ ‎(3)解不等式;‎ ‎(4)回答实际问题.‎ ‎1.有如图341所示的两种广告牌,其中图(1)是由两个等腰直角三角形构成的,图(2)是一个矩形,从图形上看,这两个广告牌面积的大小关系为________,并将这种大小关系用含字母a,b的不等式表示出来为________.‎ 图341‎ ‎【解析】 图(1)广告牌面积大于图(2)广告牌面积.‎ 设图(1)面积为S1,则S1=+,图(2)面积为S2,则S2=ab,∴a2+b2>ab.‎ ‎【答案】 图(1)广告牌面积大于图(2)广告牌面积 8‎ a2+b2>ab ‎2.一辆汽车原来每天行驶x km,如果这辆汽车每天行驶的路程比原来多‎19 km,那么在8天内它的行程超过2 ‎200 km,写成不等式为________;如果它每天行驶的路程比原来少‎12km,那么它原来行驶8天的路程就得花9天多的时间,用不等式表示为________.‎ ‎【解析】 原来每天行驶x km,‎ 现在每天行驶(x+19) km.‎ 则不等关系“在8天内的行程超过2 ‎200 km”,‎ 写成不等式为8(x+19)>2 200.‎ 若每天行驶(x-12) km,‎ 则不等关系“原来行驶8天的路程就得花9天多的时间”用不等式表示为>9.‎ ‎【答案】 8(x+19)>2 200 >9 ‎ ‎[小组合作型]‎ 比较法在实际问题中的应用 ‎ (1)某品牌彩电为了打开市场,促进销售,准备对其特定型号彩电降价,有四种降价方案:‎ 方案(1)先降价a%,再降价b%;‎ 方案(2)先降价b%,再降价a%;‎ 方案(3)先降价%,再降价%;‎ 方案(4)一次性降价(a+b)%.‎ 其中a>0,b>0,a≠b,上述四种方案中,降价幅度最小的是(  )‎ A.方案(1)       B.方案(2)‎ C.方案(3) D.方案(4)‎ ‎(2)甲、乙两家饭馆的老板同去超市购买两次大米,这两次大米的价格不同,两家饭馆老板购买的方式也不同,其中甲每次购进‎100 kg大米,而乙每次用去100元钱.购买方式更合算的是________老板.‎ ‎【精彩点拨】 首先用代数式表示出要比较的两个量,然后用比差法比较这两个量的大小.‎ 8‎ ‎【自主解答】 设原价为1,则四种方案中,降价后的价格分别为:‎ ‎(1)(1-a%)(1-b%);(2)(1-b%)(1-a%);‎ ‎(3)2;(4)1-(a+b)%.‎ 由于(1-a%)(1-b%)=(1-b%)·(1-a%)≤2=2,‎ 且(1-a%)(1-b%)>1-(a+b)%,‎ 所以方案(3)降价后价格最高.‎ ‎(2)设两次大米的价格分别为a元/千克,b元/千克(a、b>0,a≠b),则甲两次购买大米的平均价格是=元/千克;‎ 乙两次购买大米的平均价格是==元/千克.‎ ‎∵-==>0,‎ ‎∴>.‎ ‎∴乙饭馆的老板购买大米的方式更合算.‎ ‎【答案】 (1)C (2)乙 比较法在实际中的应用主要体现在决策优化问题中,解决的关键是两个量表示后用作差法或作商法进行大小比较,然后作出实际问题的解答.‎ ‎[再练一题]‎ ‎1.如图342(2),一圆柱的底面半径为5 dm,高为5 dm,BC是底面直径,求一只蚂蚁从A点出发沿圆柱表面爬行到点C的最短路线.小明设计了两条路线:试说明哪条路线最短?‎ 路线1:侧面展开图中的线段AC.如图(1)所示:‎ 路线2:高线AB+底面直径BC.如图(2)所示:‎ ‎(1)         (2)‎ 图342‎ ‎【解】 设路线1的长度为l1,‎ 则l=AC2=AB2+BC2=52+(5π)2=25+25π2.‎ 设路线2的长度为l2,‎ 则l=(AB+BC)2=(5+10)2=225.‎ 8‎ ‎∵l-l=25+25π2-225=25π2-200=25(π2-8)>0,∴l>l,∴l1>l2.所以选择路线2较短.‎ 一元二次不等式的实际应用 ‎ 某农贸公司按每担200元收购某农产品,并按每100元纳税10元(又称征税率为10个百分点),计划可收购 a万担,政府为了鼓励收购公司多收购这种农产品,决定将征税率降低x(x≠0)个百分点,预测收购量可增加2x个百分点.‎ ‎(1)写出税收y(万元)与x的函数关系式;‎ ‎(2)要使此项税收在税率调节后,不少于原计划税收的83.2%,试确定x的取值范围.‎ ‎【精彩点拨】 认真阅读题意,理解各个量之间的关系,构建函数关系或不等式解决问题.‎ ‎【自主解答】 (1)降低税率后为(10-x)%,农产品的收购量为a(1+2x%)万担,收购总金额为‎200a(1+2x%).‎ 依题意:y=‎200a(1+2x%)(10-x)%‎ ‎=a(100+2x)(10-x)(0<x<10).‎ ‎(2)原计划税收为‎200a·10%=‎20a(万元).‎ 依题意得:a(100+2x)(10-x)≥‎20a×83.2%,‎ 化简得,x2+40x-84≤0,∴-42≤x≤2.‎ 又∵0<x<10,∴0<x≤2.∴x的取值范围是(0,2].‎ 不等式应用题常以函数、数列为背景出现,多是解决现实生活、生产中的最优化问题,在解题中主要涉及到不等式的解法等问题,构造数学模型是解不等式应用题的关键.‎ ‎[再练一题]‎ ‎2.某市新建一处公园,要对园内一块长为‎800 m,宽为‎600 m的长方形地面进行绿化,规划四周种花卉(花卉带的宽度相同),中间种草坪,若要求草坪的面积不小于总面积的一半,求花卉带宽度的范围. ‎ ‎【导学号:18082048】‎ ‎【解】 设花卉带的宽度为x m,则中间草坪的长为(800-2x) m,宽为(600-2x) m.根据题意可得(800-2x)(600-2x)≥×800×600,整理得x2-700x+600×100≥0,即(x-600)(x-100)≥0,所以0100,‎ ‎∴x1-x2<0,x1x2-100>0,‎ ‎∴<0,f(x1)-f(x2)<0,‎ ‎∴函数f(x)=x+在[35,+∞)上是增函数,‎ ‎∴当x≥35时,f(x)min=f(35).‎ 所以,当x=35时,Y2有最小值,此时Y2的最小值小于10 989.故该厂应接受此优惠条件.‎ 求实际问题中最值的一般思路:‎ (1)先读懂题意,设出变量,理清思路,列出函数关系式.‎ (2)把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题.‎ (3)在定义域内,求函数的最大值或最小值时,一般先考虑均值不等式,当均值不等式求最值的条件不具备时,再考虑函数的单调性.‎ (4)正确写出答案.‎ 8‎ ‎[再练一题]‎ ‎3.某单位用2 160万元购得一块空地,计划在该空地上建造一栋至少10层,每层2 000平方米的楼房.经测算,如果将楼房建为x(x≥10)层,则每平方米的平均建筑费用为560+48x(单位:元).‎ ‎(1)写出楼房平均综合费用y关于建造层数x的函数关系式;‎ ‎(2)该楼房应建造多少层时,可使楼房每平方米的平均综合费用最少?最少值是多少?‎ ‎(注:平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用,平均购地费用=)‎ ‎【解】 (1)依题意得 y=(560+48x)+ ‎=560+48x+(x≥10,x∈N+).‎ ‎(2)∵x>0,‎ ‎∴48x+≥2 ‎=1 440,‎ 当且仅当48x=,即x=15时取到“=”,此时,平均综合费用的最小值为560+1 440=2 000(元). 答:当该楼房建造15层时,可使楼房每平方米的平均综合费用最少,最少值为2 000元.‎ ‎1.若集合A={x|-1≤2x+1≤3},B=,则A∩B=(  )‎ A.{x|-1≤x<0} B.{x|0600,‎ 即x2-50x+600<0,‎ 解得20
查看更多