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2020版高中数学 第3章 不等式3.4 不等式的实际应用
3.4 不等式的实际应用 1.能根据实际情景建立不等式模型.(难点) 2.掌握运用不等式知识,解决实际问题的方法、步骤.(重点) [基础·初探] 教材整理 不等式的实际应用 阅读教材P81~P83,完成下列问题. 1.实际问题中,有许多不等式模型,必须首先领悟问题的实际背景,确定问题中量与量之间的关系,然后适当设未知数,将量与量间的关系变成不等式或不等式组. 2.实际问题中的每一个量都有其实际意义,必须充分注意定义域的变化. 3.解不等式应用题,一般可按以下四个步骤进行: (1)阅读理解,认真审题,把握问题中的关键量,找准不等关系; (2)引进数学符号,用不等式表示不等关系; (3)解不等式; (4)回答实际问题. 1.有如图341所示的两种广告牌,其中图(1)是由两个等腰直角三角形构成的,图(2)是一个矩形,从图形上看,这两个广告牌面积的大小关系为________,并将这种大小关系用含字母a,b的不等式表示出来为________. 图341 【解析】 图(1)广告牌面积大于图(2)广告牌面积. 设图(1)面积为S1,则S1=+,图(2)面积为S2,则S2=ab,∴a2+b2>ab. 【答案】 图(1)广告牌面积大于图(2)广告牌面积 8 a2+b2>ab 2.一辆汽车原来每天行驶x km,如果这辆汽车每天行驶的路程比原来多19 km,那么在8天内它的行程超过2 200 km,写成不等式为________;如果它每天行驶的路程比原来少12km,那么它原来行驶8天的路程就得花9天多的时间,用不等式表示为________. 【解析】 原来每天行驶x km, 现在每天行驶(x+19) km. 则不等关系“在8天内的行程超过2 200 km”, 写成不等式为8(x+19)>2 200. 若每天行驶(x-12) km, 则不等关系“原来行驶8天的路程就得花9天多的时间”用不等式表示为>9. 【答案】 8(x+19)>2 200 >9 [小组合作型] 比较法在实际问题中的应用 (1)某品牌彩电为了打开市场,促进销售,准备对其特定型号彩电降价,有四种降价方案: 方案(1)先降价a%,再降价b%; 方案(2)先降价b%,再降价a%; 方案(3)先降价%,再降价%; 方案(4)一次性降价(a+b)%. 其中a>0,b>0,a≠b,上述四种方案中,降价幅度最小的是( ) A.方案(1) B.方案(2) C.方案(3) D.方案(4) (2)甲、乙两家饭馆的老板同去超市购买两次大米,这两次大米的价格不同,两家饭馆老板购买的方式也不同,其中甲每次购进100 kg大米,而乙每次用去100元钱.购买方式更合算的是________老板. 【精彩点拨】 首先用代数式表示出要比较的两个量,然后用比差法比较这两个量的大小. 8 【自主解答】 设原价为1,则四种方案中,降价后的价格分别为: (1)(1-a%)(1-b%);(2)(1-b%)(1-a%); (3)2;(4)1-(a+b)%. 由于(1-a%)(1-b%)=(1-b%)·(1-a%)≤2=2, 且(1-a%)(1-b%)>1-(a+b)%, 所以方案(3)降价后价格最高. (2)设两次大米的价格分别为a元/千克,b元/千克(a、b>0,a≠b),则甲两次购买大米的平均价格是=元/千克; 乙两次购买大米的平均价格是==元/千克. ∵-==>0, ∴>. ∴乙饭馆的老板购买大米的方式更合算. 【答案】 (1)C (2)乙 比较法在实际中的应用主要体现在决策优化问题中,解决的关键是两个量表示后用作差法或作商法进行大小比较,然后作出实际问题的解答. [再练一题] 1.如图342(2),一圆柱的底面半径为5 dm,高为5 dm,BC是底面直径,求一只蚂蚁从A点出发沿圆柱表面爬行到点C的最短路线.小明设计了两条路线:试说明哪条路线最短? 路线1:侧面展开图中的线段AC.如图(1)所示: 路线2:高线AB+底面直径BC.如图(2)所示: (1) (2) 图342 【解】 设路线1的长度为l1, 则l=AC2=AB2+BC2=52+(5π)2=25+25π2. 设路线2的长度为l2, 则l=(AB+BC)2=(5+10)2=225. 8 ∵l-l=25+25π2-225=25π2-200=25(π2-8)>0,∴l>l,∴l1>l2.所以选择路线2较短. 一元二次不等式的实际应用 某农贸公司按每担200元收购某农产品,并按每100元纳税10元(又称征税率为10个百分点),计划可收购 a万担,政府为了鼓励收购公司多收购这种农产品,决定将征税率降低x(x≠0)个百分点,预测收购量可增加2x个百分点. (1)写出税收y(万元)与x的函数关系式; (2)要使此项税收在税率调节后,不少于原计划税收的83.2%,试确定x的取值范围. 【精彩点拨】 认真阅读题意,理解各个量之间的关系,构建函数关系或不等式解决问题. 【自主解答】 (1)降低税率后为(10-x)%,农产品的收购量为a(1+2x%)万担,收购总金额为200a(1+2x%). 依题意:y=200a(1+2x%)(10-x)% =a(100+2x)(10-x)(0<x<10). (2)原计划税收为200a·10%=20a(万元). 依题意得:a(100+2x)(10-x)≥20a×83.2%, 化简得,x2+40x-84≤0,∴-42≤x≤2. 又∵0<x<10,∴0<x≤2.∴x的取值范围是(0,2]. 不等式应用题常以函数、数列为背景出现,多是解决现实生活、生产中的最优化问题,在解题中主要涉及到不等式的解法等问题,构造数学模型是解不等式应用题的关键. [再练一题] 2.某市新建一处公园,要对园内一块长为800 m,宽为600 m的长方形地面进行绿化,规划四周种花卉(花卉带的宽度相同),中间种草坪,若要求草坪的面积不小于总面积的一半,求花卉带宽度的范围. 【导学号:18082048】 【解】 设花卉带的宽度为x m,则中间草坪的长为(800-2x) m,宽为(600-2x) m.根据题意可得(800-2x)(600-2x)≥×800×600,整理得x2-700x+600×100≥0,即(x-600)(x-100)≥0,所以0查看更多
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