广东省七校联合体2019-2020学年高二下学期期末联考数学(理)试题 Word版含答案

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广东省七校联合体2019-2020学年高二下学期期末联考数学(理)试题 Word版含答案

七校联合体2020届高二期末联考试卷 ‎ 理科数学 ‎ 命题学校: 命题人: 审题人: ‎ 本试卷共4页,22小题,满分150分,考试用时120分钟.‎ 第Ⅰ卷 一、选择题: 本大题共12小题, 每小题5分, 共60分, 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合,,则等于( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎2.已知是两条不同直线,是三个不同平面,下列命题中正确的为( )‎ A.若,则 B.若,则 ‎ C.若,则 D.若,则 ‎3.若满足则的最大值为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎4.抛物线上一点到轴的距离为,则点到抛物线焦点的距离为( )‎ A. B. C. D. ‎ 图1‎ ‎5.已知,则( )‎ A. B. C. D.‎ ‎6.某几何体的三视图如图1所示,则该几何体的体积是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎7.已知数列的前n项和为,若,则( )‎ A. B. C. D.‎ 图2‎ ‎8.中国古代有计算多项式值的秦九韶算法,图2是实现该算法的程序框图. ‎ 若输入的,依次输入的为2,2,5,则输出的( )‎ A.7 B.12 ‎ C.17 D.34‎ ‎9.已知命题,;,直线 恒过第四象限. 则下列为真命题是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎10.已知当时,取得最大值,则下列说法正确的是( )‎ A.是图像的一条对称轴 B.在上单调递增 ‎ C.当时,取得最小值 D.函数为奇函数 ‎ ‎11.已知函数 (且)的图象上关于轴对称的点至少有对,则实数的取值范围是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎12.已知分别为双曲线的左、右焦点,为双曲线右支上的任意一点,若的最小值为,则双曲线的离心率的取值范围为( )‎ A. B. C. D.‎ 第Ⅱ卷 二、填空题: 本大共4小题,每小题5分,满分20分. ‎ ‎13.已知函数为奇函数,则实数a的值为_________. ‎ ‎14.在中,M是BC的中点,,,,则_________. ‎ 图3‎ ‎15.圆与y轴交于两点,若,则m的值为_____. ‎ ‎16.如图3所示,在三棱柱中,底面,‎ 底面为直角三角形,,,,,‎ 是上一动点,则的最小值是______________.‎ 三、解答题:共6大题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤.‎ ‎17.(本题满分10分)‎ 已知等差数列的前n项和满足 ,.‎ ‎(1)求的通项公式;‎ ‎(2)设,求 .‎ ‎18.(本题满分12分)‎ 已知分别为三个内角的对边,且满足.‎ ‎(1)求;‎ ‎(2)若的面积为,求的取值范围.‎ ‎19.(本题满分12分)‎ 受电视机在保修期内维修费等因素的影响,企业生产每台电视机的利润与该电视机首次出现故障的时间有关. 某电视机制造厂生产甲、乙两种型号电视机,保修期均为2年,现从该厂已售出的两种型号电视机中各随机抽取50台,统计数据如下: ‎ 品牌 甲 乙 首次出现故障时间(年)‎ 电视机数量(台)‎ ‎3‎ ‎5‎ ‎42‎ ‎8‎ ‎42‎ 每台利润(千元)‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎1.8‎ ‎2.8‎ 将频率视为概率,解答下列问题:‎ ‎(1)从该厂生产的甲种型号电视机中随机抽取一台,求首次出现故障发生在保修期内的概率;‎ ‎(2)该厂预计今后这两种型号电视机销量相当,由于资金限制,只能生产其中一种型号电视机,若从经济效益的角度考虑,你认为应该产生哪种型号电视机?说明理由.‎ ‎ ‎ ‎20.(本题满分12分)‎ P A B C D E 如图,在四棱锥中,侧面底面,△是等边三角形,底面为直角梯形,其中,,,为中点.‎ ‎(1)求证:平面⊥平面;‎ ‎(2)求二面角的余弦值.‎ ‎21.(本题满分12分)‎ 已知函数.‎ ‎(1)用单调性的定义判断的单调性;‎ ‎(2)若满足,试求的取值范围;‎ ‎(3)对任一意,若不等式 恒成立,求实数的取值范围.‎ ‎22.(本题满分12分)‎ 如图,分别是椭圆:的左右顶点,为其右焦点,是与的等差中项,是与的等比中项. 点是椭圆上异于、的任意一点,过点作直线轴. 以线段为直径的圆交直线于点、,连接交直线于点 .‎ ‎(1)求椭圆的方程;‎ ‎(2)试问在轴上是否存在一个定点,使得直线必过该定点?若存在,求出点的坐标,若不存在,说明理由.‎ 七校联合体2020届高二期末联考试卷 ‎ 理科数学参考答案 ‎ 一、选择题(每小题5分)‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 C C D B C A B C D B A A 二、填空题(每小题5分)‎ ‎13. 14. 15. 16.‎ 三、解答题 ‎17.解:(1)由已知可得,解得 ………………………3分 ‎∴故的通项公式为 ………………………………………………………5分 ‎(2)‎ ‎ ‎ ‎ ………………………………………8分 ‎ ………………………………………………………9分 ……………………………………………………………10分 ‎18.解:(1)由正弦定理得 …………………………1分 ‎ 在中, ………………………3分 ‎ ………………………………………………………………4分 ‎ 又, ……………………………………………5分 又 . ………………………………………………………………6分 ‎(2) ………………………………………………8分 ‎ 由余弦定理得 ……………………10分 ‎ 当且仅当时,“=”成立,‎ ‎∴ 为所求. ………………………………………………………………………12分 ‎19.解:(1)从甲种型号电视机中随机抽取一台有50种可能,其中首次出现故障发生在保修期内的有种可能,所以首次出现故障发生在保修期内的概率为 ……5分 ‎(2)生产甲种型号电视机的平均利润为(千元) ………8分 生产乙种型号电视机的平均利润为(千元) …………11分 ‎∴ 应该生产甲种型号电视机. …………………………………………………12分 ‎20.解:(Ⅰ) ∵面面,,‎ 面,面面 ‎∴面, ………………………………………………………………………3分 又面, ∴平面⊥平面. ………………………………………5分 ‎(Ⅱ)法一: 取中点,连结,∵为正三角形 ‎∴,由(Ⅰ)知面,面,‎ ‎∴面, ………………………………………………………………………6分 如图,分别以、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系 ………7分 P A B C D E x y z O 设,则,,,,, ‎ 故,,‎ 设面的法向量为,则,‎ 即,取 ,‎ 得 ……………9分 又显然为面的一个法向量, ……10分 ‎∴, ‎ ‎∴二面角的余弦值为. ……………………………………………12分 法二: 取中点,连结,∵为正三角形 ‎∴,由(Ⅰ)知面,面,‎ P A B C D E O M ‎∴面, ………………………………………………………………………6分 过作,连,‎ ‎∵面,∴‎ 又, ∴面,‎ ‎∴,‎ ‎∴为二面角的平面角, ………8分 设,则,, ‎ ‎∴由等面积得到边的高为, ∴, …………………9分 ‎∴, ∴, ………………………………11分 又二面角与二面角互补,‎ ‎∴二面角的余弦值为 ……………………………………………12分 ‎21.解:任取,且,‎ 则 ‎ …………………………………………………………2分 ‎∵, ∴,,‎ ‎∴,‎ ‎∴, …………………………………………………3分 ‎∴‎ ‎∴在上单调递增 …………………………………………………………4分 ‎(2)∵,∴‎ ‎∵在上单调递增,‎ ‎∴, ……………………………………………………………………6分 解得 ………………………………………………………………………7分 ‎(3)由题意得 在上恒成立 分离变量得 在上恒成立 …………………………………8分 ‎∵ ‎ 令 由(1)知 在上单调递增, …………………………10分 ‎∴ …………………………………………………………………11分 ‎∴的取值范围为 …………………………………………………………12分 ‎22.(1)由题意得,, ........................................................1分 ‎ 即, ..........................................................................................2分 ‎ 解得:, ‎ ‎ ∴, ......................................................................................................3分 ‎∴ 所求椭圆的方程为. ..............................................................................4分 ‎(2)假设在轴上存在一个定点,使得直线必过定点 ............5分 设动点,由于点异于,‎ 故且 由点在椭圆上,‎ 故有.......① . ...........6分 又由(I)知,所以直线的斜率. ....................................................................................................................7分 又点是以线段为直径的圆与直线的交点,所以,‎ 所以, ...............................................8分 所以直线的方程: ...............................................................9分 联立的方程,得交点 .‎ 所以两点连线的斜率......②‎ 将.①式代入②式,并整理得: .........................................................10分 又两点连线的斜率 ‎ 若直线必过定点,则必有恒成立 ‎ 即 整理得:....③ .....................11分 ‎ 将①式代入③式,得 ‎ 解得:‎ ‎ 故直线过定点 ..............................................................................................12分
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