湖南省五市十校2018-2019学年高二下学期期末联考数学（文）试题

湖南省五市十校2018-2019学年高二下学期期末联考数学（文）试题

湖南省五市十校2019年上学期高二年级期末考试试题 文科数学 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 ‎1.已知集合，，则P的子集共有（ ）‎ A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出，由此能求出的子集的个数．‎ ‎【详解】解：集合，‎ 的子集共有．‎ 故选：．‎ ‎【点睛】本题考查交集的求法，考查集合的子集个数的求法，是基础题．‎ ‎2.已知复数z满足，则复数z的实部为（ ）‎ A. 2 B. -2 C. 4 D. 8‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简根据实部定义得答案．‎ ‎【详解】解：‎ 则的实部为2．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．‎ ‎3.若，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据指数，对数函数的图像及运算性质可以得解.‎ ‎【详解】解: 根据指数对数的图像可知 ‎ ‎ 所以 故选：C．‎ ‎【点睛】本题考查利用指数，对数函数的图像及运算性质比较大小，属于基础题.‎ ‎4.（2017新课标全国I理科）记为等差数列的前项和．若，，则的公差为 A. 1 B. 2‎ C. 4 D. 8‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 设公差为，，，联立解得，故选C.‎ 点睛:求解等差数列基本量问题时，要多多使用等差数列的性质，如为等差数列，若，则.‎ ‎5.某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表：‎ 广告费用（万元） ‎ ‎4 ‎ ‎2 ‎ ‎3 ‎ ‎5 ‎ 销售额（万元） ‎ ‎49 ‎ ‎26 ‎ ‎39 ‎ ‎54 ‎ 根据上表可得回归方程中的为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为 A. 63.6万元 B. 65.5万元 C. 67.7万元 D. 72.0万元 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析：，‎ ‎∵数据的样本中心点在线性回归直线上，‎ 回归方程中的为9.4，‎ ‎∴42=9．4×3．5+a，‎ ‎∴=9．1，‎ ‎∴线性回归方程是y=9．4x+9．1，‎ ‎∴广告费用为6万元时销售额为9．4×6+9．1=65．5‎ 考点：线性回归方程 ‎6.若双曲线的一个焦点F到其一条渐近线的距离为则双曲线的离心率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意利用点到直线的距离公式，建立方程，即可求得双曲线的离心率．‎ ‎【详解】解：双曲线的一个焦点为，一条渐近线方程为，‎ 所以焦点到渐近线的方程为，整理得，即 ‎ 所以 ‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题考查双曲线的几何性质，考查点到直线距离公式，属于基础题．‎ ‎7.已知且满足，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据的二倍角公式将原式进行整理可求值，再根据的范围即可求出.‎ ‎【详解】解：‎ 即 或故 故选：A．‎ ‎【点睛】本题考查二倍角公式的应用，属于基础题.‎ ‎8.函数为常数且）的图象大致为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 判断函数的零点以及零点个数，求函数的导数，研究函数的单调性，利用排除法进行求解．‎ ‎【详解】解：由得，得或，即函数有两个零点，排除，，‎ 函数的导数，方程中 故有两个不等根，即有两个极值点，排除，‎ 故选：．‎ ‎【点睛】本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数零点，极值点个数和单调性，结合排除法是解决本题的关键，属于基础题．‎ ‎9.公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”，利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出n的值为（　　）（参考数据：sin15°=0.2588，sin7.5°=0.1305）‎ A. 12 B. 24 C. 48 D. 96‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 列出循环过程中S与n的数值，满足判断框的条件，即可结束循环，得到答案．‎ ‎【详解】模拟执行程序，可得：n=6，S=3sin60°=，‎ 不满足条件S≥3.10，n=12，S=6×sin30°=3，‎ 不满足条件S≥3.10，n=24，S=12×sin15°=12×0.2588=3.1056，‎ 满足条件S≥3.10，退出循环，输出n的值为24．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题主要考查了循环框图的应用，其中解答中根据给定的程序框图，逐次循环，注意判断框的条件的应用是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题。‎ ‎10.已知是单位向量，且满足，则与的夹角为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设单位向量，的夹角为，根据，代入数据求出的值．‎ ‎【详解】解：设单位向量，的夹角为，‎ ‎，‎ 即，‎ 解得，‎ 与夹角为．‎ 故选：．‎ ‎【点睛】本题考查了平面向量的运算法则以及数量积和夹角的计算问题，是基础题．‎ ‎11.如图，正方体的棱长为4，动点E，F在棱上，动点P，Q分别在棱AD，CD上。若，，，（大于零），则四面体PEFQ的体积 A. 与都有关 B. 与m有关，与无关 C. 与p有关，与无关 D. 与π有关，与无关 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 连接、交于点，作，证明平面，可得出平面，于此得出三棱锥的高为，再由四边形为矩形知，点到的距离为，于此可计算出的面积为 ‎，最后利用锥体的体积公式可得出四面体的体积的表达式，于此可得出结论。‎ ‎【详解】如下图所示，连接、交于点，作，‎ 在正方体中，平面，且平面，‎ ‎，又四边形为正方形，则，且，‎ 平面，即平面，，平面，‎ 且，‎ 易知四边形是矩形，且，点到直线的距离为，‎ 的面积为，‎ 所以，四面体的体积为，‎ 因此，四面体的体积与有关，与、无关，故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查三棱锥体积的计算，解题的关键在于寻找底面和高，要充分结合题中已知的线面垂直的条件，找三棱锥的高时，只需过点作垂线的平行线可得出高，考查逻辑推理能力，属于难题。‎ ‎12.已知M，N分别是曲线上的两个动点，P为直线上的一个动点，则的最小值为（ ）‎ A. B. C. 2 D. 3‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出圆心关于的对称点为，则的最小值是．‎ ‎【详解】解：圆的圆心，半径为 ，圆，圆心，半径为，‎ 圆心关于的对称点为，‎ ‎ 解得故 ‎．‎ 故选：．‎ ‎【点睛】本题考查圆的方程，考查点线对称，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分 ‎13.曲线在点（1，2）处的切线方程为_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对函数求导，得到函数在这一点对应的切线的斜率，利用点斜式写出直线的方程．‎ ‎【详解】解：，，‎ ‎，‎ 切线的方程是，‎ 即，‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题考查利用导数研究曲线上某点切线的方程，属于基础题．‎ ‎14.已知数列是递增的等比数列，，，则________.‎ ‎【答案】25‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据等比数列的性质，，与列方程组，即可求得及，再利用性质即可求得.‎ ‎【详解】解：由等比数列的性质知道，‎ ‎ ‎ ‎，解得或 由于数列是递增的等比数列，故 ‎，‎ ‎ ‎ 故答案为：25.‎ ‎【点睛】本题考查等比数列的性质，属于基础题．‎ ‎15.已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为8，则这个球的表面积为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求正四棱柱的底面边长，然后求其对角线，就是球的直径，再求其表面积．‎ ‎【详解】解：正四棱柱高为4，体积为8，底面积为2，正方形边长为，‎ 正四棱柱的对角线长即球的直径为，‎ 球的半径为，球的表面积，‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查学生空间想象能力，四棱柱的体积，球的表面积，容易疏忽的地方是几何体的体对角线是外接球的直径，属于基础题．‎ ‎16.在古代三国时期吴国的数学家赵爽创制了一幅“赵爽弦图”，由四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间空出一个小正方形（如图阴影部分）。若直角三角形中较小的锐角为a。现向大正方形区城内随机投掷一枚飞镖，要使飞镖落在小正方形内的概率为，则_____________。‎ ‎ ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设正方形边长为，可得出每个直角三角形的面积为，由几何概型可得出四个直角三角形的面积之和为，可求出，由得出并得出的值，再利用降幂公式可求出的值.‎ ‎【详解】设正方形边长为，则直角三角形的两条直角边分别为和，则每个直角三角形的面积为，由题意知，阴影部分正方形的面积为，‎ 所以，四个直角三角形的面积和为，即，‎ 由于是较小的锐角，则，，所以，，‎ 因此，，故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查余弦值的计算，考查几何概型概率的应用，解题的关键就是求出和的值，并通过二倍角升幂公式求出的值，考查计算能力，属于中等题。‎ 三、解答题:共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤,第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答,第22、23题为选考题，考生根据要求作答 ‎（一）必考题：共60分 ‎ ‎17.甲乙两校分别有120名和100名学生参加了某培训机构组织的自主招生培训，考试结果出来以后，培训机构为了进一步了解各校所培训学生通过自主招生的情况，从甲校随机抽取60人，从乙校随机抽取50人进行分析,相关数据如下表 通过人数 末通过人数 总计 甲校 乙校 ‎30‎ 总计 ‎60‎ ‎（1）完成上面列联表。并据此判断是否有99%的把握认为自主招生通过情况与学生所在学校有关；‎ ‎（2）现从甲、乙两校通过的学生中采取分层抽样的方法抽取5人，再从所抽取的5人中随机抽取2人，求2人全部来自乙校的概率.‎ 参考公式：‎ 参考数据：‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.01‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ ‎【答案】（1）有；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）完成表中数据计算可得的观测值，与临界值比较，即可得出结论；‎ ‎（2）设抽取5人中，甲校2名学生分别为、，乙校3名同学分别为，利用列举法能根据古典概型概率公式可求出这2人来自乙校的概率．‎ ‎【详解】（1）列联表如下:‎ 通过人数 未通过人数 总计 甲校 ‎20‎ ‎40‎ ‎60‎ 乙校 ‎30‎ ‎20‎ ‎50‎ 总计 ‎50‎ ‎60‎ ‎110‎ 由上表数据算得：.‎ 所以有99%的把握认为学生的自主招生通过情况与所在学校有关.‎ ‎（2）按照分层抽样的方法，应从甲校中抽2人，乙校中抽3人，甲校2人记为A，B，乙校3人记为,从5人中任取2人共有 10种情况，其中2人全部来自乙校的情况有共3种,所以所求事件的概率为 .‎ ‎【点睛】本题考查独立性检验的应用，考查古典概型概率公式，考查计算能力，属于基础题．‎ ‎18.已知a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且，内角A，B，C成等差数列.‎ ‎（1）求b的值；‎ ‎（2）求周长的取值范围.‎ ‎【答案】（1）3；（2） .‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ ‎（1）由三角形三内角、、成等差数列，可得，再由正弦定理得到b的值．‎ ‎（2）由正弦定理边化角结合角A的范围求值域.‎ ‎【详解】（1）由成等差数列，可求得，‎ 由已知及正弦定理可求得.‎ ‎（2）三角形的周长为 ‎,‎ ‎，，‎ 所以周长的取值范围是 .‎ ‎【点睛】本题考查了正弦定理的应用，正弦函数的定义域与值域，熟练掌握公式是解本题的关键，属于基础题．‎ ‎19.如图，在多面体中，为等边三角形，，，，，F为EB的中点.‎ ‎（1）证明：平面；‎ ‎（2）求多面体的体积.‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）取中点，连接，，由三角形中位线定理，知，结合已知，易得四边形为平行四边形，所以，再由线面平面的判定定理，可得平面；‎ ‎（2）由已知利用勾股定理可知结合可以证得平面进而有平面平面,所以过作的垂线，即为四棱锥的高，进而由体积公式可得解.‎ ‎【详解】（1）取中点，连结 ‎ 四边形AFMD为平行四边形 。‎ 又平面，平面,‎ 平面. ‎ ‎（2）‎ ‎,‎ 又 平面 平面 平面平面,‎ 过作的垂线，垂足为，则为四棱锥的高。由题知 底面四边形为直角梯形，其面积 ,‎ ‎ .‎ ‎【点睛】本题考查的知识点是直线与平面平行的判定，平面与平面垂直的判定，多面体体积的求法，熟练掌握空间直线与平面不同位置关系（平行和垂直）的判定定理、性质定理、定义及几何特征是解答本题的关键，属于基础题．‎ ‎20.已知椭圆过点且离心率为.‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）是否存在过点直线与椭圆C相交于A，B两点，且满足．若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.‎ ‎【答案】（1）；（2）存在这样的直线，直线方程为：.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据已知条件利用及即可求得椭圆的方程；‎ ‎（2）根据，利用向量坐标化可得，再分类讨论，将直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理，即可求得直线的方程．‎ ‎【详解】解：（1）由已知点代入椭圆方程得 由得可转化为 由以上两式解得 所以椭圆C的方程为：.‎ ‎（2）存在这样的直线.‎ 当l的斜率不存在时，显然不满足,‎ 所以设所求直线方程代入椭圆方程化简得：‎ ‎① .②‎ ‎,‎ 设所求直线与椭圆相交两点 由已知条件可得,③‎ 综合上述①②③式子可解得符合题意,‎ 所以所求直线方程为：.‎ ‎【点睛】本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查分类讨论的数学思想，正确运用韦达定理是关键，属于基础题．‎ ‎21.已知函数，.‎ ‎（1）讨论的单调性；‎ ‎（2）当时，试判断方程是否有实数根？并说明理由.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）没有.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求出函数的导数，通过讨论与0的关系分析函数的单调性即可；‎ ‎（2）通过分析的导数求出 ，令，求出的最大值小于 的最小值，从而判断无解．‎ ‎【详解】解：（1）由已知可知函数的定义域为，‎ 由,‎ 当时，所以在为增函数,‎ 当时，,‎ 所以的单调递增区间为,单调递减区间为.‎ ‎（2）当时，由（1）可知知在为增函数,在为减函数.‎ 所以,所以.‎ 令，则.‎ 当时，；‎ 当时，,‎ 从而上单调递增，在上单调递减,‎ 所以，‎ 所以，即，‎ 所以，方程没有实数根.‎ ‎【点睛】本题考查了函数的单调性最值问题，考查导数的应用、函数恒成立问题，属于中档题．‎ ‎（二）选考题：共10分,请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.‎ ‎ 选修4一4：坐标系与参数方程 ‎22.‎ 在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知点A 的极坐标(，)，直线l的极坐标方程为ρcos(θ－)＝a，．‎ ‎（1）若点A在直线l上，求直线l的直角坐标方程；‎ ‎（2）圆C的参数方程为(为参数)，若直线与圆C相交的弦长为，求的值。‎ ‎【答案】(1) (2) 或 ‎【解析】‎ 试题分析：（1）通过点A在直线l上，列出方程得到，然后求解直线l的直角坐标方程（2）消去参数，求出的普通方程，通过圆心到直线的距离半径半弦长的关系，即可求的值．‎ 试题解析：（1）由点在直线上，可得=‎ 所以直线的方程可化为 从而直线的直角坐标方程为.‎ ‎（2）由已知得圆C的直角坐标方程为 所以圆C的圆心为（2，0），半径， ‎ 而直线的直角坐标方程为，若直线与圆C相交的弦长为 则圆心到直线距离为，所以 求得或 ‎ 选修4-5：不等式选讲 ‎23.已知函数，不等式的解集是.‎ ‎（1）求a的值；‎ ‎（2）若关于x的不等式的解集非空，求实数k的取值范围.‎ ‎【答案】（1）2；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据绝对值不等式的解法，结合不等式的解集建立方程关系进行求解即可．‎ ‎（2）利用解集非空转化为存在使得成立，利用绝对值三角不等式找到的最小值，即可得解．‎ ‎【详解】解：（1）由，得，即，‎ 当时，，因为不等式的解集是，所以，解得，‎ 当时，，因为不等式的解集是，所以，该式无解，‎ 所以.‎ ‎（2）因为，‎ 所以要使存在实数解，只需，即实数的取值范围是.‎ ‎【点睛】本题主要考查绝对值三角不等式的应用，利用解集非空转化为有解问题是解决本题的关键，属于基础题．‎ ‎ ‎