2017-2018学年河北省邯郸市鸡泽、曲周、邱县、馆陶四县高二下学期期末联考数学（理）试题（解析版）

2017-2018学年河北省邯郸市鸡泽、曲周、邱县、馆陶四县高二下学期期末联考数学（理）试题（解析版）

‎2017-2018学年河北省邯郸市鸡泽、曲周、邱县、馆陶四县高二下学期期末联考数学（理）试题 一、单选题 ‎1．已知集合，，则 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：由题意先解出集合A,进而得到结果。‎ 详解：由集合A得,‎ 所以 故答案选C.‎ 点睛：本题主要考查交集的运算，属于基础题。‎ ‎2．复数的实部为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析:先化简复数z,再求复数z的实部.‎ 详解：原式=，所以复数的实部为.‎ 故答案为：A.‎ 点睛：（1）本题主要考查复数的除法运算和实部虚部概念，意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2) 复数的实部是a,虚部为b，不是bi.‎ ‎3．的展开式中的系数为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：先求出二项式展开式的通项，再令x的指数为4得到r的值，即得 的展开式中的系数.‎ 详解：由题得二项展开式的通项为,‎ 令10-3r=4,所以r=2,所以的展开式中的系数为.‎ 故答案为：D.‎ 点睛：（1）本题主要考查二项式展开式中某项的系数的求法，意在考查学生对该知识的掌握水平.(2)的展开式中的系数为,不是,要把二项式系数和某一项的系数两个不同的概念区分开.‎ ‎4．《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”，已知某“堑堵”的三视图如图所示，则该“堑堵”的表面积为 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：由三视图得出该几何体是一个以正视图为底面的三棱柱，结合图中数据求出三棱柱的表面积．‎ 详解：由几何体的三视图可得：‎ 该几何体是一个以正视图为底面的三棱柱，‎ 底面面积为：×2×1=1，‎ 底面周长为：2+2×=2+2，‎ 故直三棱柱的表面积为S=2×1+2×（2+2）=6+4．‎ 故答案为：D．‎ 点睛：（1）本题主要考查三视图还原原图和几何体表面积的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和空间想象能力.(2)‎ 由三视图还原原图常用的方法有直接法和模型法，本题利用的是直接法.‎ ‎5．若实数满足条件，则的最小值为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：作出约束条件的平面区域，易知z=的几何意义是点A（x，y）与点D（﹣1，0）连线的直线的斜率，从而解得．‎ 详解：由题意作实数x，y满足条件的平面区域如下，‎ z=的几何意义是点P（x，y）与点D（﹣1，0），连线的直线的斜率，由，解得A（1，1）‎ 故当P在A时，z=有最小值，‎ z==．‎ 故答案为：B．‎ 点睛：（1）本题主要考查线性规划和斜率的应用，意在考查学生对这些知识的掌握水平和数形结合思想方法.(2)表示两点所在直线的斜率.‎ ‎6．在等比数列中，，公比为，前项和为，若数列也是等比数列，则等于 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意，得，因为数列也是等比数列，所以，即，解得；故选C.‎ 点睛：本题若直接套用等比数列的求和公式进行求解，一是计算量较大，二是往往忽视“”的特殊情况，而采用数列的前三项进行求解，大大降低了计算量，也节省的时间，这是处理选择题或填空题常用的方法. ‎ ‎7．直线分别与轴，轴交于，两点，点在圆上，则面积的取值范围是 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：求出A（﹣3，0），B（0，﹣3），|AB|=，设P（1+，），点P到直线x+y+2=0的距离：d=，∈，由此能求出△ABP面积的取值范围．‎ 详解：∵直线x+y+3=0分别与x轴，y轴交于A，B两点，‎ ‎∴令x=0，得y=﹣3，令y=0，得x=﹣3，‎ ‎∴A（﹣3，0），B（0，﹣3），|AB|=，‎ ‎∵点P在圆（x﹣1）2+y2=2上，∴设P（1+，），‎ ‎∴点P到直线x+y+3=0的距离：‎ d=，‎ ‎∵sin∈[﹣1，1]，∴d=，‎ ‎∴△ABP面积的最小值为 ‎△ABP面积的最大值为 故答案为：B．‎ 点睛：（1）本题主要考查直线与圆的位置关系和三角形的面积，考查圆的参数方程和三角恒等变换，考查三角函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解答本题的关键是设点P（1+，），利用圆的参数方程设点大大地提高了解题效率.‎ ‎8．函数的部分图象可能是 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：首先判断出函数为奇函数，再根据零点的个数判断，问题得以解决．‎ 详解：∵f（﹣x）=sin（﹣x）•ln（x2+1）=﹣（sinx•ln（x2+1））=﹣f（x），‎ ‎∴函数f（x）为奇函数，图象关于原点对称，‎ ‎∵sinx存在多个零点，‎ ‎∴f（x）存在多个零点，‎ 故f（x）的图象应为含有多个零点的奇函数图象．‎ 故答案为：B．‎ 点睛：（1）本题主要考查函数的奇偶性和零点，意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2)根据解析式找图像常用的方法是先找差异再验证.‎ ‎9．抛物线的焦点为，点，为抛物线上一点，且不在直线上，则周长的最小值为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：求△MAF周长的最小值，即求|MA|+|MF|的最小值．设点M在准线上的射影为D，则根据抛物线的定义，可知|MF|=|MD|，因此问题转化为求|MA|+|MD|的最小值，根据平面几何知识，当D、M、A三点共线时|MA|+|MD|最小，由此即可求出|MA|+|MF|的最小值．‎ 详解：求△MAF周长的最小值，即求|MA|+|MF|的最小值，设点M在准线上的射影为D，‎ 根据抛物线的定义，可知|MF|=|MD|，‎ 因此，|MA|+|MF|的最小值，即|MA|+|MD|的最小值.‎ 根据平面几何知识，可得当D，M，A三点共线时|MA|+|MD|最小，‎ 因此最小值为xA﹣（﹣1）=5+1=6，‎ ‎∵|AF|==5，‎ ‎∴△MAF周长的最小值为11，‎ 故答案为：C．‎ 点睛：（1）本题主要考查椭圆的定义、标准方程，以及简单性质的应用，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析转化推理的能力.(2)判断当D，M，A三点共线时|MA|+|MD|最小，是解题的关键．‎ ‎10．正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高和底面边长均为，则该球的体积为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析：设球的半径为R,再根据图形找到关于R的方程，解方程即得R的值，再求该球的体积.‎ 详解：设球的半径为R,由题得 所以球的体积为.‎ 故答案为：A.‎ 点睛：（1）本题主要考查球的内接几何体问题和球的体积的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和空间想象能力.(2)解题的关键是从图形中找到方程.‎ ‎11．在长方体中，，，则异面直线与所成角的余弦值为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线AD1与DB1所成角的余弦值．‎ 详解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，‎ ‎∵在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=1，AA1=2，‎ ‎∴A（1，0，0），D1（0，0，2），D（0，0，0），‎ B1（1，1，2），‎ ‎=（﹣1，0，2），=（1，1，2），‎ 设异面直线AD1与DB1所成角为θ，‎ 则cosθ=‎ ‎∴异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为．‎ 故答案为：A．‎ 点睛：（1）本题主要考查异面直线所成的角的向量求法，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析转化能力.(2) 异面直线所成的角的常见求法有两种，方法一：（几何法）找作（平移法、补形法）证（定义）指求（解三角形）；方法二：（向量法），其中是异面直线所成的角，分别是直线的方向向量.‎ ‎12．已知是定义域为的奇函数，满足．若，则 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：先根据已知求出函数的周期为4，再求出的值，最后求的值.‎ 详解：由题得 所以函数f(x)的周期为4，‎ 因为 所以，‎ 因为2018=4×504+2，‎ 所以=f(1)+f(2)=4+0=4.‎ 故答案为：D.‎ 点睛：（1）本题主要考查函数的奇偶性和周期性，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解答本题的关键在求得函数的周期，.‎ ‎.‎ 二、填空题 ‎13．曲线在点处的切线方程为__________．‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】分析：先求导求切线的斜率，再写切线方程.‎ 详解：由题得，‎ 所以切线方程为 故答案为：.‎ 点睛：（1）本题主要考查求导和导数的几何意义，考查求切线方程，意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2) 函数在点处的导数是曲线在处的切线的斜率，相应的切线方程是 ‎14．已知向量，，．若，则__________．‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】分析：先计算出，再利用向量平行的坐标表示求的值.‎ 详解：由题得，‎ 因为，所以（-1）×（-3）-4=0,所以=.‎ ‎ 故答案为：.‎ 点睛：（1）本题主要考查向量的运算和平行向量的坐标表示，意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2) 设=,=，则|| .‎ ‎15．学校艺术节对同一类的四项参赛作品，只评一项一等奖，在评奖揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品预测如下：‎ 甲说：“是或作品获得一等奖”‎ 乙说：“作品获得一等奖”‎ 丙说：“两项作品未获得一等奖”‎ 丁说：“是作品获得一等奖”‎ ‎ 若这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是___________．‎ ‎【答案】B.‎ ‎【解析】分析: 根据题意，依次假设参赛的作品为A、B、C、D，判断甲、乙、丙、丁的说法的正确性，即可判断．‎ 详解: 根据题意，A，B，C，D作品进行评奖，只评一项一等奖，‎ 假设参赛的作品A为一等奖，则甲、乙、丙、丁的说法都错误，不符合题意；‎ 假设参赛的作品B为一等奖，则甲、丁的说法都错误，乙、丙的说法正确，符合题意；‎ 假设参赛的作品C为一等奖，则乙的说法都错误，甲、丙、丁的说法正确，不符合题意；‎ 假设参赛的作品D为一等奖，则乙、丙、丁的说法都错误，甲的说法正确，不符合题意；‎ 故获得参赛的作品B为一等奖；‎ 故答案为：B．‎ 点睛: (1)本题主要考查推理证明,意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)类似这种题目，一般利用假设验证法.‎ ‎16．如图在中，，，点是外一点，,则平面四边形面积的最大值是___________．‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】分析：利用余弦定理，设,设AC=BC=m，则．由余弦定理把m表示出来，利用四边形OACB面积为S=．转化为三角形函数问题求解最值．‎ 详解：△ABC为等腰直角三角形．∵OA=2OB=4，‎ 不妨设AC=BC=m，则．由余弦定理，42+22﹣2m2=16，‎ ‎∴．‎ ‎.‎ 当时取到最大值.‎ 故答案为：.‎ 点睛：（1）本题主要考查余弦定理和三角形的面积的求法，考查三角恒等变换和三角函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解答本题的关键是设，再建立三角函数的模型.‎ 三、解答题 ‎17．记为等差数列的前项和，已知，．‎ ‎（Ⅰ）求的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）求，并求的最小值．‎ ‎【答案】(1) .‎ ‎(2) ；-16.‎ ‎【解析】分析：（Ⅰ）根据已知求出公差d,再写出的通项公式.( Ⅱ)利用等差数列的前n项和公式求，并求的最小值.‎ 详解：（I）设的公差为d，由题意得．‎ 由得d=2． ‎ 所以的通项公式为．‎ ‎（II）由（I）得． ‎ 所以当n=4时，取得最小值，最小值为−16．‎ 点睛：本题主要考查等差数列通项的求法和的求法，意在考查学生对这些知识的掌握水平,属于基础题.‎ ‎18．在如图所示的六面体中，面是边长为的正方形，面是直角梯形，，，.‎ ‎（Ⅰ）求证：//平面；‎ ‎（Ⅱ）若二面角为，求直线和平面所成角的正弦值.‎ ‎【答案】(1)证明见解析.‎ ‎(2) .‎ ‎【解析】试题分析：（1）连接相交于点,取的中点为,连接，易证四边形是平行四边形，从而可得结论；（2）以为坐标原点,为轴、为轴、为 轴建立空间直角坐标系.则,计算法向量，根据公式即可求出.‎ 试题解析：‎ ‎(1):连接相交于点,取的中点为,连接.‎ 是正方形,是的中点,,‎ 又因为,所以且,‎ 所以四边形是平行四边形,‎ ‎,又因为平面平面 平面 ‎(2)是正方形,是直角梯形,,‎ ‎,平面,同理可得平面.‎ 又平面,所以平面平面,‎ 又因为二面角为60°，‎ 所以,由余弦定理得,‎ 所以，因为半面，‎ ‎,所以平面,‎ 以为坐标原点,为轴、为轴、为轴建立空间直角坐标系.‎ 则,‎ 所以,‎ 设平面的一个法向量为,‎ 则即令，则，‎ 所以 设直线和平面所成角为，‎ 则 ‎19．为迎接月日的“全民健身日”，某大学学生会从全体男生中随机抽取名男生参加米中长跑测试，经测试得到每个男生的跑步所用时间的茎叶图（小数点前一位数字为茎，小数点的后一位数字为叶），如图，若跑步时间不高于秒，则称为“好体能”.‎ ‎（Ⅰ） 写出这组数据的众数和中位数；‎ ‎（Ⅱ）要从这 人中随机选取人，求至少有人是“好体能”的概率；‎ ‎（Ⅲ）以这 人的样本数据来估计整个学校男生的总体数据，若从该校男生（人数众多）任取人，记表示抽到“好体能”学生的人数，求的分布列及数学期望.‎ ‎【答案】(1) 这组数据的众数和中位数分别是.‎ ‎(2) .‎ ‎(3)分布列见解析；.‎ ‎【解析】分析：（Ⅰ）利用众数和中位数的定义写出这组数据的众数和中位数. （Ⅱ）利用古典概型求至少有人是“好体能”的概率. （Ⅲ）利用二项分布求的分布列及数学期望.‎ 详解：（I）这组数据的众数和中位数分别是； ‎ ‎（II）设求至少有人是“好体能”的事件为A,则事件A包含得基本事件个数为;‎ ‎ 总的基本事件个数为， ‎ ‎（Ⅲ） 的可能取值为 由于该校男生人数众多，故近似服从二项分布 ‎ ‎，,,‎ 的分布列为 故的数学期望 ‎ 点睛：（1）本题主要考查众数和中位数，考查古典概型的计算，考查分布列和期望的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和计算能力.(2) 若～则 .‎ ‎20．设椭圆 的右顶点为A，上顶点为B.已知椭圆的离心率为，.‎ ‎（I）求椭圆的方程；‎ ‎（II）设直线与椭圆交于两点，与直线交于点M，且点P，M均在第四象限.若的面积是面积的2倍，求k的值.‎ ‎【答案】(1) .‎ ‎(2).‎ ‎【解析】分析：（I）由题意结合几何关系可求得.则椭圆的方程为.‎ ‎（II）设点P的坐标为，点M的坐标为 ，由题意可得.‎ 易知直线的方程为，由方程组可得.由方程组可得.结合，可得，或.经检验的值为.‎ 详解：（I）设椭圆的焦距为2c，由已知得，又由，可得．由,从而．‎ 所以，椭圆的方程为．‎ ‎（II）设点P的坐标为，点M的坐标为，由题意，，‎ 点的坐标为．由的面积是面积的2倍，可得，‎ 从而，即．‎ 易知直线的方程为，由方程组消去y，可得．由方程组消去，可得．由，可得，两边平方，整理得，解得，或．‎ 当时，，不合题意，舍去；当时，，，符合题意．‎ 所以，的值为．‎ 点睛：解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：‎ ‎(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；‎ ‎(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．‎ ‎21．已知函数．‎ ‎（Ⅰ）求函数的最大值； ‎ ‎（Ⅱ）已知，求证．‎ ‎【答案】(1) .‎ ‎(2)证明见解析.‎ ‎【解析】分析：（Ⅰ）先求导，再利用导数求函数的单调区间，再求函数的最大值. （Ⅱ）利用分析法证明，先转化成证明再构造函数，再求证函数.‎ 详解：（I）因为， ‎ 所以 ‎ 当时；当时，‎ 则在单调递增，在单调递减. ‎ 所以的最大值为.‎ ‎（II）由得，，‎ 则，又因为，有，‎ 构造函数 则，‎ 当时，，可得在单调递增，‎ 有， ‎ 所以有． ‎ 点睛：（1）本题主要考查利用导数求函数的单调区间和最值，考查利用导数证明不等式，意 在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理转化能力.(2)解答本题的关键有两点，其一是 先转化成证明其二构造函数，再求证函数 ‎.‎ ‎22．选修4-4：坐标系与参数方程 已知直线： （为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系.圆的极坐标方程为. ‎ ‎（Ⅰ） 求圆心的极坐标；‎ ‎（Ⅱ）设点的直角坐标为，直线与圆的交点为,求的值.‎ ‎【答案】(1) .‎ ‎(2)1.‎ ‎【解析】分析：（I）先把圆的极坐标方程化成直角坐标方程，再写出圆心的直角坐标，再化成极坐标. （Ⅱ）利用直线参数方程t的几何意义解答.‎ 详解：（I）由题意可知圆的直角坐标系方程为，所以圆心坐标为（1,1），‎ 所以圆心的极坐标为. ‎ ‎（II）因为圆的直角坐标系方程为，直线方程为，‎ 得到所以.‎ 点睛：（1）本题主要考查极坐标和直角坐标的互化，考查直线参数方程t的几何意义，意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2) 过定点、倾斜角为的直线的参数方程（为参数）.当动点在定点上方时,. 当动点在定点下方时,.‎ ‎23．选修4-5：不等式选讲 已知关于的不等式 ‎ （Ⅰ）当a=8时，求不等式解集；‎ ‎ （Ⅱ）若不等式有解，求a的范围.‎ ‎【答案】(1).‎ ‎(2).‎ ‎【解析】分析：（Ⅰ）利用零点分类讨论法解不等式. （Ⅱ）转化为，再求分段函数的最小值得解.‎ 详解：（I）当a=8时，则 所以 即不等式解集为. ‎ ‎（II）令，由题意可知；‎ 又因为 所以，即. ‎ 点睛：（1）本题主要考查零点讨论法解不等式，考查不等式的有解问题，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分类讨论思想方法. (2)第2问可以转化为，注意是最小值，不是最大值，要理解清楚，这里是有解问题，不是恒成立问题.‎